高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題型歸納文科

2、不等式恒成立常見處理方法有三種：

第一種：分離變量求最值——用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論

（＞0,=0,＜0）

第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）——（已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作

為主元）；

（請(qǐng)同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測(cè)2）

例1：設(shè)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為r（x）,r（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為#（x）,

若在區(qū)間D上，g（x）＜。恒成立，則稱函數(shù)y=在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)

Mr曰W/r.XIYIX3x-

數(shù)m是常數(shù)，f（x）=-...—

（1）若y=/（x）在區(qū)間［0,3］上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；

（2）若對(duì)滿足帆42的任何一個(gè)實(shí)數(shù)加，函數(shù)/（%）在區(qū)間①力）上都為“凸函數(shù)”，

求〃的最大值.

例2：設(shè)函數(shù)/*）=」丁+2々一3辦+優(yōu)0＜。＜］/￡氏）

（I）求函數(shù)f（分的單調(diào)區(qū)間和極值；

（II）若對(duì)任意的工￡［〃+1,〃+2］,不等式/（刈〈〃恒成立，求a的取值范圍.

（二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）

第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值

題型特征：/（%）＞80）恒成立=〃（幻=/3-8。）＞0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二

種題型

例3；已知函數(shù)/（幻=V+〃2圖象上一點(diǎn)pg）處的切線斜率為-3,

（I）求他人的值；

（II）當(dāng)xe［-l,4］時(shí),求“X）的值域；

（m）當(dāng)代［1,4］時(shí),不等式f（x）?g（%）恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

二、題型一：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

解法1:轉(zhuǎn)化為或在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型

解法2:利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓

所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；

做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚

兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集

例4：已知QWR,函數(shù)/（%）=、/+￡^1/+（4〃+I?.

（I）如果函數(shù)或%）=（*）是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；

（II）如果函數(shù)/（X）是（-8,+8）上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍.

例5、已知函數(shù)/。）」“3+2.（2-4）/+（1_03之0）.

32

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(X)在［o,1］上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想

三、題型二：根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與X軸)的交點(diǎn)=====即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

解題步驟

第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的

大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；

第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極小

值與0的關(guān)系；

第三步：解不等式(組)即可；

例6、已知函數(shù)/⑴=/一出了一,g(%)=g_履，且/(工)在區(qū)間(2,+8)上為增函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)Z的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(%)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)攵的取值范圍.

根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。

例7、已知函數(shù)f(x)=ax3+—x2-2x+c

2

(1)若x=-l是/(/)的極值點(diǎn)且/(X)的圖像過(guò)原點(diǎn)，求/⑸的極值；

(2)若g(x)=g版2一%+(在(1)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)如使得函數(shù)或x)的圖

像與函數(shù)一。)的圖像恒有含工=-1的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在,求出實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

否則說(shuō)明理由。

題2:切線的條數(shù)問(wèn)題==以切點(diǎn)/為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)

例7、已知函數(shù)/。)=加+東+CR在點(diǎn)7處取得極小值-4,使其導(dǎo)數(shù)r(x)>0的

工的取值范圍為(1,3),求:(1)/(x)的解析式；(2)若過(guò)點(diǎn)P(-l,㈤可作曲線y=f(x)

的三條切線，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

題3:已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)貝!］有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)

解法：根分布或判別式法

例8、

例9、已知函數(shù)/(幻，13+夫2,(”44工0)(1)求八幻的單調(diào)區(qū)間；(2)令g*)=

-x4+f(x)(xGR)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

4

其它例題：

1、(最值問(wèn)題與主元變更法的例子).已知定義在R上的函數(shù)

f(x)=ax3-2ax2+/?>0)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是一11.

(I)求函數(shù)Ax)的解析式；

(II)若/時(shí)，((工)+比w0恒成立，求實(shí)數(shù)工的取值范圍.

2、(根分布與線性規(guī)劃例子)

2

(1)已知函數(shù)/(x)=§/+"2+bx+c

(I)若函數(shù)八元)在1=1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)(0,1)處的切線與直線

3x+y=0平行，求/*)的解析式；

(II)當(dāng)/⑴在x?0,1)取得極大值且在"(1,2)取得極小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)

MS-2,a十1)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部

分，求直線L的方程.

解：(I).由(。)=2工2+2ar+b,函數(shù)/(無(wú))在工=1時(shí)有極值，

/?+2=0

V/(0)=1:.c=\

又?:/*)在(。，1)處的切線與直線3x+y=0平行，

.?.廣(0)=6=—3故a=-

*

??

21

/(x)=—x3+~x2-3x+l..................................1分

(ID解法一：Sf(x)=2x2+2ax+b及/(x)在工c(0,1)取得極大值且在xw(l,2)

取得極小值，

7X0)>0b>0

：?r⑴<。即2a+8+2<0令M(x,y),則

/⑵>04a+力+8>0

x=b-2

y=a+\

x+2>0

??.pyT.?

2y+x+2<0故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,

[b=x+2

4y+x+6>0

易得A(—2,0),B(-2,-1),C(2,-2),0(0,-1),E(0,

S^ABC=2

同時(shí)DE為AABC的中位線，3蚪=；S四邊形”

:,所求一條直線L的方程為：x=o

另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分，設(shè)直線

L方程為)=丘，它與AC,BC分別交于F、G,貝!Jk>0,S四邊形DEGF=1

2；=2二。得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為:2

由xF=---------

6

由＜八得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為:------------

4y十；v十6—0°4左十1

[aA]9

??$四邊形DEGF=S^OGE~SROFD=-x-x---------------xlx---------=1即16公+2攵-5=0

2244+122后+1

5

解得：J或k,=----(舍去)故這時(shí)直線方程為：y=^x

8

綜上，所求直線方程為：x=0或

1

y=2x.12分

(II)解法二：由八幻=2尤2+2以+6及f(x)在工€(0,1)取得極大值且在XE(1,2)

取得極小值,

r(o)>ob>0

即ha+Z?+2<0令M(x,y),則一"\

???r(i)<o

\y=a+\

r⑵>。4〃+b+8>0

x+2>0

?a=y~1???，2y+x+2<0故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,

b=x+2,八

[4y+x+6>0

易得A(—2,0),8(—2,-1),C(2,-2),0(0,-1),E(0,-1),5^BC=2

同時(shí)DE為aABC的中位線，SSEC=；S四邊形MM???所求一條直線L的方程為:

另一種情況由于直線BO方程為：y=設(shè)直線B0與AC交于H,

由T

得直線L與AC交點(diǎn)為:

2y+x+2=0

c1101

5ADEC=2X2X2=2,

c1…1C11

SM0H=-x2xl--x2x-=-

???所求直線方程為：…或尸為

3、(根的個(gè)數(shù)問(wèn)題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d(a>0)的圖象如圖所

Zj\o

(I)求c、d的值；

(n)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程為

3X+y-ll=0,求函數(shù)f(x)的解析式；

(HI)若x0=5,方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍。

解：由題知：f，,(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b

(I)由圖可知函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,3),且廣(1)=0

fd=3ft/=3

得40<=>'

3〃+2b+c—3?！?b=0[c=0

(II)依題意尸⑵=-3且F(2)=5

12。+4〃-3。-2/?=-3版殂

\解得a=1,A=-6

[8。+48-8-4〃+3=5

所以f{x}=A3-6f+9x+3

(ID)依題意f(x)=a^+b^-(3a+2b)x+3(a>0)

/z(x)=3ax+2bx-3a-2b由/r(5)=Onb=-9a①

若方程F(x)=8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足f(5)<8a<f

(1)②

由①②得-25a+3<8a<7a+3=、VaV3

所以當(dāng)《VaV3時(shí)，方程F(x)=8a有三個(gè)不同的根。.......12分

4、(根的個(gè)數(shù)問(wèn)題)已知函數(shù)/(x)=#_辦2_工+[(4wR)

(1)若函數(shù)/(%)在x=X，x=G處取得極值，且歸-到=2,求〃的值及/⑴的單

調(diào)區(qū)間;

(2)若。討論曲線/⑴與g(x)=gf-(2〃+1)犬+?(-2。工1)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

226

解：(1)f(x)=X2-2(1X-1

。二02分

令八幻>0得xv-1南>1

令/'(x)<0得一Ivxvl

???/")的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(1,內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間為.......5分

2

(2)由題f(x)=g(x)得I/-AX2-x+l=—x_(2a+l)x+—

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即一/一(。+—)x2+lax+—=0

326

令9(x)=-d-(a