2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第5講古典概型創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第5講古典概型[考綱解讀]1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式，能計(jì)算一些隨機(jī)事務(wù)包含基本領(lǐng)件及其事務(wù)發(fā)生的概率．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．了解隨機(jī)數(shù)意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考的熱點(diǎn)之一．預(yù)料2024年將會(huì)考查：①古典概型的基本計(jì)算；②古典概型與其他學(xué)問相結(jié)合．題型以解答題為主，也可出選擇題、填空題，與實(shí)際背景相結(jié)合，試題難度中等.1.基本領(lǐng)件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本領(lǐng)件都是eq\o(□,\s\up1(01))互斥的．(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成eq\o(□,\s\up1(02))基本領(lǐng)件的和．2．古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(1)有限性：試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件eq\o(□,\s\up1(01))只有有限個(gè)．(2)等可能性：每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性eq\o(□,\s\up1(02))相等．3．假如一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本領(lǐng)件的概率都是eq\o(□,\s\up1(01))eq\f(1,n)；假如某個(gè)事務(wù)A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事務(wù)A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).1．概念辨析(1)在一次試驗(yàn)中，其基本領(lǐng)件的發(fā)生肯定是等可能的.()(2)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事務(wù)．()(4)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測(cè)其重量，屬于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)同時(shí)拋擲兩枚骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案A解析記拋擲兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則可得到數(shù)組(a，b)共有36組，其中滿意a＋b＝7的共有6組，分別為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率為P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)答案A解析從1,2,3,4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12種等可能發(fā)生的結(jié)果，其中大于30的兩位數(shù)有31,32,34,41,42，43，共6個(gè)，所以這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機(jī)等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析從5名醫(yī)生中選派兩名醫(yī)生的基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的基本領(lǐng)件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事務(wù)概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選D.(4)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析全部可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6種，2本數(shù)學(xué)書相鄰的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4種(先排列數(shù)學(xué)書，再把兩本數(shù)學(xué)書作為整體和語文書進(jìn)行排列)．所以依據(jù)概率的計(jì)算公式，所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選C.題型一古典概型的簡(jiǎn)潔問題1．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，這25種基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是相等的．第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.2．將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同學(xué)排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當(dāng)A，C之間是B時(shí)，有2×2＝4種排法，當(dāng)A，C之間是D時(shí)，有2種排法，所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).3．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦．在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(11,16)答案A解析在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，其基本領(lǐng)件總數(shù)n＝26＝64，恰有3個(gè)陽爻的基本領(lǐng)件數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20，所以在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A.1．求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事務(wù)，設(shè)出所求事務(wù)A；(2)分別求出基本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事務(wù)A中所包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務(wù)A的概率．2．基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有依次的問題及較困難問題中基本領(lǐng)件數(shù)的探求排列、組合法當(dāng)基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)符合排列、組合模型時(shí)，可以用排列、組合數(shù)公式干脆計(jì)數(shù)1．(2024·湖南雅禮中學(xué)模擬)甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡都送給丁的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)答案C解析全部的狀況有(甲送給丙、乙送給丁)(甲送給丁，乙送給丙)(甲、乙都送給丙)(甲、乙都送給丁)共4種，這4種狀況發(fā)生的可能性是相等的．其中甲、乙將賀年卡都送給丁的狀況只有一種，所以甲、乙將賀年卡都送給丁的概率是eq\f(1,4).2．(2024·南昌模擬)2024年廣東新高考將實(shí)行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都打算選歷史，假如他們都對(duì)后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案D解析小明與小芳選課全部可能的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種，他們選課相同的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)種，故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).題型二古典概型的交匯問題角度1古典概型與平面對(duì)量相結(jié)合1．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，平面對(duì)量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事務(wù)“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求使得事務(wù)“|a|≤|b|”發(fā)生的概率．解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共有36種．(1)若a⊥b，則有m－3n＝0，即m＝3n，符合條件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事務(wù)“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，則有m2＋n2≤10，符合條件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，故所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型與函數(shù)、方程相結(jié)合2．(2024·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地勻稱的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解的概率是()A.eq\f(7,36) B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36) D.eq\f(5,18)答案C解析投擲骰子兩次，所得的點(diǎn)數(shù)a和b滿意的關(guān)系為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*，))∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.當(dāng)b＝1時(shí)，沒有a符合條件；當(dāng)b＝2時(shí)，a可取1；當(dāng)b＝3時(shí)，a可取1,2；當(dāng)b＝4時(shí)，a可取1,2,3,4；當(dāng)b＝5時(shí)，a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)b＝6時(shí)，a可取1,2,3,4,5,6.故滿意條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解的概率P＝eq\f(19,36)，故選C.3．(2024·遼寧省試驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，則函數(shù)f(x)＝logeq\s\do4(\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為________．答案eq\f(1,2)解析由已知條件，得eq\f(a,b)的全部取值種數(shù)為3×4＝12.當(dāng)eq\f(a,b)>1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，符合此條件的eq\f(a,b)有eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，eq\f(7,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4)，eq\f(7,6)，共6種，所以函數(shù)f(x)＝logeq\s\do4(\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).角度3古典概型與幾何問題結(jié)合4．將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________．答案eq\f(7,12)解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種等可能的結(jié)果，其中滿意直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，則當(dāng)a＝1時(shí)，b＝1,2,3,4,5,6，共6種，當(dāng)a＝2時(shí)，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當(dāng)a＝3時(shí)，有4種，當(dāng)a＝4時(shí)，有3種，當(dāng)a＝5時(shí)，有2種，當(dāng)a＝6時(shí)，有1種，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合5．(2024·綿陽模擬)目前有聲書正受到越來越多人的寵愛．某有聲書公司為了解用戶運(yùn)用狀況，隨機(jī)選取了100名用戶，統(tǒng)計(jì)出年齡分布和用戶付費(fèi)金額(金額為整數(shù))狀況如下圖．有聲書公司將付費(fèi)高于20元的用戶定義為“愛付費(fèi)用戶”，將年齡在30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有eq\f(3,8)的“年輕用戶”是“愛付費(fèi)用戶”．(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有95%的把握認(rèn)為用戶“愛付費(fèi)”與其為“年輕用戶”有關(guān)？愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶合計(jì)年輕用戶非年輕用戶合計(jì)(2)若公司采納分層抽樣方法從“愛付費(fèi)用戶”中隨機(jī)選取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率．P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)依據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如下：愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶合計(jì)年輕用戶244064非年輕用戶63036合計(jì)3070100由表中數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×24×30－40×62,30×70×64×36)≈4.76>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“愛付費(fèi)用戶”和“年輕用戶”有關(guān)．(2)由分層抽樣可知，抽取的5人中有4人為“年輕用戶”，1人為“非年輕用戶”，則從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本領(lǐng)件共有Ceq\o\al(2,5)＝10個(gè)．其中滿意抽取的2人均是“年輕用戶”的事務(wù)共有Ceq\o\al(2,4)＝6個(gè)．所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1．求解古典概型的交匯問題的步驟(1)依據(jù)相關(guān)學(xué)問構(gòu)建事務(wù)滿意的條件．(2)依據(jù)條件列舉全部符合的基本領(lǐng)件．(3)利用古典概型的概率計(jì)算公式求概率．2．破解概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合問題的“三步曲”1．把一顆骰子投擲兩次，視察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(11,12)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)答案B解析易知全部基本領(lǐng)件有36個(gè)，若m∥n，則eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即b＝2a.所以m與n共線包含的基本領(lǐng)件為(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3個(gè)，所以m與n不共線的概率為1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，其次個(gè)數(shù)表示b的取值．滿意a2>b2的有6個(gè)基本領(lǐng)件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).3．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________．答案eq\f(1,3)解析點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種狀況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4．(2024·武威模擬)某市第三中學(xué)統(tǒng)計(jì)了高三年級(jí)學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測(cè)成果(滿分150分)，現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成果如莖葉圖所示：(1)依據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成果的中位數(shù)，并將同學(xué)乙的成果的頻率分布直方圖填充完整；(2)依據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)及穩(wěn)定程度(不要求計(jì)算出詳細(xì)值，給出結(jié)論即可)；(3)現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意選出2個(gè)成果，記事務(wù)A為“其中2個(gè)成果分別屬于不同的同學(xué)”，求事務(wù)A發(fā)生的概率．解(1)甲的成果的中位數(shù)是119，乙的成果的中位數(shù)是128.乙成果的頻率分布直方圖如下圖所示．(2)從莖葉圖可以看出，乙的成果的平均數(shù)比甲的成果的平均數(shù)高，乙同學(xué)的成果比甲同學(xué)的成果更穩(wěn)定集中．(3)甲同學(xué)的不低于140分的成果有2個(gè)，乙同學(xué)的不低于140分的成果有3個(gè)，現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意選出2個(gè)成果，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種結(jié)果．其中這2個(gè)成果分屬不同同學(xué)的狀況共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種．因此事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·廣西五市聯(lián)考)在{3,5}和{2,4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被5整除的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案C解析全部基本領(lǐng)件為32,34,52,54,23,25,43,45，共8種，其中能被5整除的是25,45，共2種，故這個(gè)數(shù)能被5整除的概率為eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).2．從集合A＝{－2，－1,2}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,4)答案A解析(a，b)全部可能的結(jié)果為3×3＝9種．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0))時(shí)，直線不經(jīng)過第四象限，符合條件的(a，b)的結(jié)果為(2,1)，(2,3)，共2種，所以直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率P＝eq\f(2,9)，故選A.3．(2024·武漢市高三調(diào)研)從裝有3雙不同鞋的柜子中，隨機(jī)取2只，則取出的2只鞋不成對(duì)的概率為()A.eq\f(14,15) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)答案B解析從3雙不同的鞋子中隨機(jī)取2只，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種可能結(jié)果，成對(duì)的有3種結(jié)果，不成對(duì)的有12種結(jié)果，所以所求概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故選B.4．(2024·沈陽模擬)我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》…《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著非常豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為()A.eq\f(14,15) B.eq\f(1,15)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)答案A解析設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事務(wù)A，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，因此P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).5．(2024·漢中二模)在一次數(shù)學(xué)考試中，4位同學(xué)各自由選作題第22題和第23題中任選一題作答，則至少有1人選作第23題的概率為()A.eq\f(5,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(15,16)答案D解析由題意，得基本領(lǐng)件總數(shù)n＝24＝16，至少有1人選作第23題的對(duì)立事務(wù)是無人選擇第23題，∴至少有1人選作第23題的概率P＝1－eq\f(1,16)＝eq\f(15,16).6．(2024·合肥三模)若a，b是從集合{－1,1,2,3,4}中隨機(jī)選取的2個(gè)元素，則使得函數(shù)f(x)＝x5a＋xbA.eq\f(3,20) B.eq\f(3,10)C.eq\f(9,25) D.eq\f(3,5)答案B解析從集合{－1,1,2,3,4}中隨機(jī)選取兩個(gè)元素共有Aeq\o\al(2,5)＝20種，要使得函數(shù)f(x)＝x5a＋xb是奇函數(shù)，a，b必需都為奇數(shù)，共有Aeq\o\al(2,3)＝6種，則函數(shù)f(x)＝x5a＋xb是奇函數(shù)的概率為P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中隨意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個(gè)，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選C.8．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為________．答案eq\f(3,5)解析如圖，從A，B，C，D，O這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)，共有10種取法，滿意兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長(zhǎng)的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6種，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).9．如圖所示是某市2019年4月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天．該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率為________．答案eq\f(5,12)解析某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝12,4月1日至4月12日空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)有5天，即該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m＝5，所以該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(5,12).10．(2024·江蘇蘇州模擬)若a，b∈{0,1,2}，則函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點(diǎn)的概率為________．答案eq\f(2,3)解析a，b∈{0,1,2}，當(dāng)函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b沒有零點(diǎn)時(shí)，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，∴(a，b)有3種狀況：(1,2)，(2,1)，(2,2)．基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×3＝9，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b有零點(diǎn)的概率為P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).組實(shí)力關(guān)1．如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，現(xiàn)從該三棱錐的6條棱中任選2條，則這2條棱相互垂直的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，從該三棱錐的6條棱中任選2條，共有15種不同的選法，其中相互垂直的2條棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5種狀況，所以這2條棱相互垂直的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).2．(2024·撫州摸底)高校生小明與另外3名高校生一起安排到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教．若每個(gè)村小學(xué)至少安排1名高校生，則小明恰好安排到甲村小學(xué)的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案C解析小明與另外3名高校生安排到甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，其中小明恰好安排到甲村小學(xué)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種方法，所以小明恰好安排到甲村小學(xué)的概率為eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).3．(2024·廣州模擬)已知等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項(xiàng)和，S4＝π(其中π為圓周率)，a4＝2a2A.eq\f(14,30) B.eq\f(15,30)C.eq\f(16,30) D.eq\f(17,30)答案A解析∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4＝π(其中π為圓周率)，a4＝2a2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋\f(4×3,2)d＝π，,a1＋3d＝2a1＋d，))解得a1＝d＝eq\f(π,10)，∴an＝eq\f(π,10)＋(n－1)×eq\f(π,10)＝eq\f(nπ,10)，∴前30項(xiàng)中，第6項(xiàng)至第14項(xiàng)和第26項(xiàng)至第30項(xiàng)的余弦值是負(fù)數(shù)，∴現(xiàn)從今數(shù)列的前30項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率為P＝eq\f(14,30).4．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則構(gòu)成橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1且離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組共有36種狀況，當(dāng)a>b時(shí)，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的狀況有：當(dāng)b＝1時(shí)，有a＝3,4,5,6四種狀況；當(dāng)b＝2時(shí)，有a＝5,6兩種狀況．總共有6種狀況，則概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理當(dāng)a<b時(shí)，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6).綜上可知e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).5．(2024·郴州三模)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類學(xué)問的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成未補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表，并推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”總計(jì)男女合計(jì)(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．現(xiàn)在從本次調(diào)查的“環(huán)保達(dá)人”中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5名市民參與環(huán)保學(xué)問問答，再從這5名市民中抽取2人參與座談會(huì)，求抽取的2名市民中，既有男“環(huán)保達(dá)人”，又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)由題意填寫列聯(lián)表如下：非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”總計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算K2＝eq\f(100×45×15－10×302,25×75×55×45)≈3.030<3.841，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)．(2)由題意可知，利用分層抽樣的方法，得男“環(huán)保達(dá)人”3人，女“環(huán)保達(dá)人”2人．從中抽取2人的全部狀況為Ceq\o\al(2,5)＝10種，其中既有男“環(huán)保達(dá)人”，又有女“環(huán)保達(dá)人”的狀況為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種．故所求的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·上饒模擬)探討機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生來回校時(shí)間的統(tǒng)計(jì)資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離x(單位：千米)和學(xué)生花費(fèi)在上學(xué)路上的時(shí)間y(單位：分鐘)有如下關(guān)系．到學(xué)校的距離x(千米)1.82.63.14.35.56.1花費(fèi)的時(shí)間y(分鐘)17.819.627.531.336.043.2假如統(tǒng)計(jì)資料表明y與x有線性相關(guān)關(guān)系，(1)推斷y與x是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；(相關(guān)系數(shù)r的肯定值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，精確到0.01)(2)求線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(精確到0.01)；(3)將eq\o(y,\s\up6(^))<27的時(shí)間數(shù)據(jù)eq\o(y,\s\up6(^))i稱為漂亮數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)eq\o(y,\s\up6(^))i中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部為漂亮數(shù)據(jù)的概率．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,6,y)i＝175.4，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝764.36，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝80.30，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝14.30，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝471.65,eq\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝82.13.參考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－))2))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2).解(1)r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))2yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(80.30,82.13)≈0.98>0.75，∴y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．(2)依題意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝3.9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)eq\i\su(i＝1,6,y)i≈29.23，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝80.30，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝14.30，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,