2013年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)37 立體幾何中的向量方法

高考試題分類解析.（2013·廣東高考理科·Ｔ18）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D,E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD=BE=，O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起，得到如圖所示的四棱椎，其中.證明：平面；求二面角的平面角的余弦值【解題指南】本題以折疊問(wèn)題為背景，考查線面垂直的證明及空間二面角的求法，對(duì)于立體幾何中的折疊問(wèn)題要注意折疊前后變與不變，求空間角則要注意空間向量的應(yīng)用.【解析】（1）因?yàn)樵谥校螦=90°，BC=6，CD=BE=，O為BC的中點(diǎn)，故AD=AE=2（即）；連接，在中，根據(jù)余弦定理可得，，則，，,從而平面；（2）方法一：過(guò)O作DC的垂線，垂足為，連接，則為二面角的平面角.在中，，由此得，，，即二面角的平面角的余弦值為.方法二：設(shè)F為DE的中點(diǎn)，則兩兩垂直，以分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可寫出平面中的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，由此得，是平面的一個(gè)法向量，，即二面角的平面角的余弦值為.15.（2013·山東高考理科·Ｔ18）如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH.

（Ⅰ）求證：AB//GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值

.【解析】(1)因?yàn)镈,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥/DC.又EF平面PCD,DC?平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF?平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH,又EF∥AB,所以AB∥GH.(2)方法一:在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ.因?yàn)镻B⊥平面ABQ,所以AB⊥PB,又BP∩BQ=B,所以AB⊥平面PBQ,由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.又FH?平面PBQ,所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC,所以∠FHC為二面角D-GH-E的平面角.設(shè)BA=BQ=BP=2,連接FC,在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=又H為△PBQ的重心,所以HC=PC=QUOTE53.同理FH=在△FHC中,由余弦定理得cos∠FHC=即二面角D-GH-E的余弦值為.方法二:由AQ=2BD,D為AQ的中點(diǎn)可得,△ABQ為直角三角形,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),設(shè)A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),則E(1,0,1),F(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0),所以QUOTEPC→=(0,1,-2),QUOTEDC→=(-1,0,0),QUOTEFE→=(1,0,0),QUOTEQE→=(1,-2,1).設(shè)平面GCD的一個(gè)法向量為=(x1,y1,z1),則QUOTEn1·PC→=0,n1·設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為=(x2,y2,z2),則取=(0,1,2),可得因?yàn)槎娼荄-GH-E為鈍角,所以二面角D-GH-E的余弦值為16.（2013·陜西高考理科·Ｔ18）如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,. (Ⅰ)證明:A1C⊥平面BB1D1D; (Ⅱ)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.【解題指南】線面垂直問(wèn)題只需證直線A1C垂直平面BB1D1【解析】(1)因?yàn)锳1O⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以A1O⊥BD,又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中,AC⊥BD,且A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1ACA1C?平面A1故A1C⊥B在正方形ABCD中,AO=1.在Rt△A1OA中,A1O=1.設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1,則四邊形A1OCE1為正方形,所以A1C⊥E1又BD?平面BB1D1D,E1O?平面BB1D1D,且BD∩E1O=O,所以可得A1C⊥平面BB1D1(2)建立直角坐標(biāo)系,使用向量解題。以O(shè)為原點(diǎn)，以為X軸正方向，以為Y軸正方向，以QUOTEOA1→為z軸正方向,建立直角坐標(biāo)系如圖,則.由(1)知,平面BB1D1D的一個(gè)法向量設(shè)平面OCB1的法向量為。所以，平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為17.（2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考理科·Ｔ18）如圖，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB.（1）證明：BC1//平面A1CD,（2）求二面角D-A1CBBCAA1B1C1DE【解題指南】（1）連接AC1,構(gòu)造中位線,利用線線平行證線面平行.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面A1CD與平面A1CE的法向量,借助求得的二面角的余弦值,從而得正弦值.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)F，連結(jié)，則F為的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以DF//，又因?yàn)?，所?(2)由AA，可設(shè)：AB＝2a,則則所以，又因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱