《函數(shù)極限存在條》課件

函數(shù)極限存在條件本節(jié)課我們將深入探討函數(shù)極限存在的條件，并介紹一些重要的定理和方法。函數(shù)極限的概念函數(shù)極限函數(shù)極限指的是當自變量趨近于某個值時，函數(shù)的值趨近于一個固定值的概念。極限值這個固定值被稱為函數(shù)的極限值，它可能與函數(shù)在該點的值相同，也可能不同。函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性如果函數(shù)的極限存在，那么極限值是唯一的。有界性如果函數(shù)的極限存在，那么該函數(shù)在靠近極限點的一個鄰域內(nèi)有界。保號性如果函數(shù)的極限大于零，那么該函數(shù)在靠近極限點的一個鄰域內(nèi)也大于零。運算性質(zhì)函數(shù)極限的加減乘除運算滿足相應的運算法則。函數(shù)極限存在的條件1左右極限相等當自變量趨于某一點時，函數(shù)的左極限和右極限都存在，且相等。2極限值唯一當自變量趨于某一點時，函數(shù)的極限值只有一個。3極限值有限當自變量趨于某一點時，函數(shù)的極限值不能是無窮大或無窮小。左極限和右極限左極限當x從左側趨近于a時，函數(shù)f(x)的極限稱為左極限，記作limx→a-f(x)。右極限當x從右側趨近于a時，函數(shù)f(x)的極限稱為右極限，記作limx→a+f(x)。函數(shù)極限存在的幾何意義函數(shù)極限存在的幾何意義是指，當自變量x趨近于某個特定值a時，函數(shù)f(x)的值無限接近于一個確定的數(shù)值L，這個數(shù)值L就是函數(shù)f(x)在x趨近于a時的極限。換句話說，函數(shù)f(x)的圖形在x趨近于a的時候，會無限接近于y=L的直線。如果極限存在，函數(shù)f(x)的圖形在x趨近于a時，會趨于一條水平線y=L。無窮小量的概念當自變量x無限接近于某個定值a（或趨于無窮大）時，如果函數(shù)f(x)無限接近于0，則稱f(x)為x趨于a（或趨于無窮大）時的無窮小量。用數(shù)學語言表示：lim(x→a)f(x)=0或lim(x→∞)f(x)=0無窮小量可以理解為在某個點附近，函數(shù)的值趨于零的過程。無窮小量的性質(zhì)1加減性兩個無窮小量的和或差仍為無窮小量。2乘積性無窮小量與有界量的積仍為無窮小量。3商性無窮小量與非零常數(shù)的商仍為無窮小量。無窮小量的基本性質(zhì)加法兩個無窮小量的和仍然是無窮小量。乘法無窮小量與有界量的乘積仍然是無窮小量。除法兩個無窮小量的商，如果分母不為零，則仍然是無窮小量。無窮小量的比較定義設α(x)和β(x)是兩個無窮小量，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0則稱α(x)是比β(x)高階的無窮小量，記作α(x)=o(β(x))(x→a)性質(zhì)如果α(x)是比β(x)高階的無窮小量，那么lim(x→a)[α(x)/β(x)]=0反之，如果lim(x→a)[α(x)/β(x)]=c(c≠0)則稱α(x)與β(x)是同階無窮小量，記作α(x)~β(x)(x→a)無窮小量的等價無窮小量當自變量趨于某一值時，兩個無窮小量之比的極限為非零常數(shù)，則這兩個無窮小量稱為等價無窮小量。等價無窮小量在極限計算中可以相互替換，簡化計算。例如，當x趨于0時，sinx和x是等價無窮小量，因為lim(x→0)sinx/x=1。函數(shù)極限存在的充分必要條件左極限等于右極限當x趨近于a時，函數(shù)f(x)的左極限等于右極限，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)。極限值存在當x趨近于a時，函數(shù)f(x)的極限值存在，即lim(x→a)f(x)存在。夾逼定理定理描述設函數(shù)f(x)、g(x)和h(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足：f(x)≤g(x)≤h(x)limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=A則limx→x0g(x)=A應用場景夾逼定理可以用來求一些難以直接求極限的函數(shù)的極限，例如：當函數(shù)表達式中包含三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)時當函數(shù)表達式中包含分段函數(shù)時單調(diào)有界定理單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)有界函數(shù)單調(diào)有界定理的應用1求極限利用單調(diào)有界定理判斷極限是否存在2證明收斂性證明數(shù)列或函數(shù)的收斂性3構造函數(shù)根據(jù)單調(diào)有界定理構造滿足特定條件的函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上取遍所有介于函數(shù)值之間的值。2最大值最小值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值。3零點定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并且在區(qū)間的兩個端點處函數(shù)值異號，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點。連續(xù)函數(shù)的運算加減法兩個連續(xù)函數(shù)的和或差仍然是連續(xù)函數(shù)。乘法兩個連續(xù)函數(shù)的積仍然是連續(xù)函數(shù)。除法兩個連續(xù)函數(shù)的商仍然是連續(xù)函數(shù)，但分母不能為零。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應用求解方程利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，可以求解一些方程的解，例如求解f(x)=0的解。證明不等式利用連續(xù)函數(shù)的介值定理和單調(diào)性，可以證明一些不等式。討論函數(shù)性質(zhì)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以討論函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性等性質(zhì)。間斷點的分類1可去間斷點函數(shù)在該點左右極限存在且相等，但函數(shù)值不存在或與極限值不相等。2跳躍間斷點函數(shù)在該點左右極限存在但不相等。3無窮間斷點函數(shù)在該點至少有一個極限為無窮大。間斷函數(shù)的連續(xù)性可去間斷點如果函數(shù)在間斷點處的左右極限存在且相等，則該間斷點稱為可去間斷點?？梢酝ㄟ^重新定義函數(shù)值來消除該間斷點，使其成為連續(xù)函數(shù)。跳躍間斷點如果函數(shù)在間斷點處的左右極限存在但不相等，則該間斷點稱為跳躍間斷點。無法通過重新定義函數(shù)值來消除該間斷點。無窮間斷點如果函數(shù)在間斷點處的左右極限至少有一個為無窮大，則該間斷點稱為無窮間斷點。該間斷點無法通過重新定義函數(shù)值來消除。間斷函數(shù)的性質(zhì)間斷函數(shù)在間斷點處沒有定義，無法直接計算。間斷函數(shù)在間斷點處可能存在極限，也可能不存在。間斷函數(shù)的圖像在間斷點處會有跳躍或斷開，導致圖像不連續(xù)。復合函數(shù)的極限定義設函數(shù)y=f(u)在點u0的鄰域內(nèi)有定義，且limu→u0f(u)=A，函數(shù)u=g(x)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，且limx→x0g(x)=u0，則limx→x0f[g(x)]=A.性質(zhì)當limx→x0g(x)=u0時，limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u).當limx→x0g(x)=u0且f(u)在u0處連續(xù)時，limx→x0f[g(x)]=f(limx→x0g(x))=f(u0).反函數(shù)的極限定義如果函數(shù)f(x)在x=a處有極限，且f(x)的反函數(shù)存在，則反函數(shù)在y=f(a)處也有極限，且極限值為f(a).性質(zhì)如果函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則其反函數(shù)g(y)在y=f(a)處也連續(xù).無窮大量的概念和性質(zhì)定義當自變量趨于某個值（或無窮大）時，如果函數(shù)的絕對值無限增大，則稱該函數(shù)為無窮大量。性質(zhì)無窮大量與有限量的和、差、積仍然是無窮大量。注意無窮大量不能直接進行加減運算，但可以進行除法運算。無窮大量的比較1定義如果兩個無窮大量之比的極限存在且不為零，則稱這兩個無窮大量是同階無窮大量。2高階無窮大量如果兩個無窮大量之比的極限為零，則稱其中極限為零的那個無窮大量是另一個無窮大量的高階無窮大量。3低階無窮大量如果兩個無窮大量之比的極限為無窮大，則稱其中極限為無窮大的那個無窮大量是另一個無窮大量的低階無窮大量。無窮大量的等價無窮大量定義如果兩個無窮大量之比的極限為一個非零的常數(shù)，則稱這兩個無窮大量是等價無窮大量。符號用符號"~"表示兩個無窮大量等價，即A~B表示A和B是等價無窮大量。性質(zhì)如果A~B，則lim(A/B)=1。極限運算1求和lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)2求差lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)3求積lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)4求商lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)極限存在的充要條件左極限等于右極限對于一個函數(shù)，當自變量x趨近于某一點時，如果左極限和右極限都存在并且相等，那么該函數(shù)在該點的極限就存在。ε-δ定義對于一個函數(shù)，當自變量x趨近于某一點時，如果存在一個正數(shù)δ，使得當|x-a|<δ時，|f(x)-A|<ε，那么該函數(shù)在該點的極限就存在，并且等于A。極限問題的解法技巧化簡法利用等價無窮小量或其他代數(shù)技巧化簡表達式。圖形法利用函數(shù)圖像直觀地求解極限。夾逼定理利用夾逼定理求解函數(shù)極限