《數(shù)值代數(shù)課件》課件

數(shù)值代數(shù)歡迎來(lái)到數(shù)值代數(shù)課程。本課程將探討計(jì)算機(jī)如何處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及在這個(gè)過(guò)程中可能遇到的挑戰(zhàn)和解決方案。課程介紹理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)數(shù)值分析的核心概念和原理。實(shí)際應(yīng)用探索數(shù)值方法在科學(xué)和工程中的應(yīng)用。編程實(shí)踐使用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)各種數(shù)值算法。課程學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握基礎(chǔ)理論理解數(shù)值方法的數(shù)學(xué)原理。開(kāi)發(fā)算法能力學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)和分析數(shù)值算法。提高編程技能能夠用編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)數(shù)值方法。培養(yǎng)應(yīng)用思維能夠?qū)?shù)值方法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。1.數(shù)值誤差與穩(wěn)定性誤差來(lái)源計(jì)算機(jī)表示和運(yùn)算過(guò)程中inevitably產(chǎn)生誤差。穩(wěn)定性概念算法對(duì)輸入數(shù)據(jù)微小變化的敏感程度。浮點(diǎn)數(shù)定義科學(xué)記數(shù)法的二進(jìn)制表示。精度單精度和雙精度浮點(diǎn)數(shù)的區(qū)別。特殊值包括無(wú)窮大、負(fù)無(wú)窮大和NaN。截?cái)嗾`差與舍入誤差截?cái)嗾`差忽略高階項(xiàng)導(dǎo)致的誤差。舍入誤差有限精度表示導(dǎo)致的誤差。誤差傳播1初始誤差輸入數(shù)據(jù)中的誤差。2計(jì)算過(guò)程運(yùn)算中累積的誤差。3最終結(jié)果誤差對(duì)最終結(jié)果的影響。求解數(shù)值穩(wěn)定性1條件數(shù)分析2前向誤差3后向誤差4算法穩(wěn)定性2.線性方程組求解問(wèn)題描述求解形如Ax=b的線性方程組。求解方法分類(lèi)直接法迭代法直接法1高斯消元法通過(guò)消元將矩陣轉(zhuǎn)化為上三角形。2LU分解將矩陣分解為下三角和上三角矩陣。3平方根法適用于對(duì)稱正定矩陣。迭代法Jacobi方法使用前一次迭代的所有分量。Gauss-Seidel方法使用當(dāng)前迭代的已計(jì)算分量。SOR方法引入松弛因子加速收斂。預(yù)條件化1問(wèn)題分析2選擇預(yù)條件子3應(yīng)用預(yù)條件化4評(píng)估效果3.特征值問(wèn)題定義求解Ax=λx，其中λ為特征值，x為特征向量。應(yīng)用在物理、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。求解方法包括冪法、反冪法、QR分解等。冪法初始向量隨機(jī)選擇非零向量。迭代反復(fù)應(yīng)用矩陣A。歸一化每次迭代后歸一化向量。收斂得到模最大特征值及其特征向量。反冪法1選擇移位選擇接近目標(biāo)特征值的移位。2求逆計(jì)算(A-σI)的逆矩陣。3應(yīng)用冪法對(duì)逆矩陣應(yīng)用冪法。4結(jié)果得到接近移位的特征值及其特征向量。QR分解分解過(guò)程將矩陣A分解為正交矩陣Q和上三角矩陣R的乘積。特征值計(jì)算通過(guò)反復(fù)進(jìn)行QR分解，矩陣A收斂到上三角形。4.多項(xiàng)式與插值多項(xiàng)式表示用多項(xiàng)式近似復(fù)雜函數(shù)。插值問(wèn)題通過(guò)已知點(diǎn)構(gòu)造擬合函數(shù)。應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)據(jù)擬合、曲線繪制等。拉格朗日插值基本思想構(gòu)造經(jīng)過(guò)所有給定點(diǎn)的多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式各基本多項(xiàng)式的線性組合。優(yōu)點(diǎn)形式簡(jiǎn)單，易于理解。缺點(diǎn)高階時(shí)可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。牛頓插值差商計(jì)算遞歸計(jì)算各階差商?；瘮?shù)構(gòu)造使用(x-x?)(x-x?)...(x-x???)。多項(xiàng)式形成差商與基函數(shù)的線性組合。樣條插值定義分段多項(xiàng)式函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)處滿足一定的光滑性條件。常用類(lèi)型線性樣條二次樣條三次樣條5.數(shù)值積分定義近似計(jì)算定積分的數(shù)值方法。應(yīng)用在科學(xué)計(jì)算中廣泛使用。方法類(lèi)型包括牛頓-科特斯公式、龍格-庫(kù)塔方法等。牛頓-科特斯公式1梯形法則一階牛頓-科特斯公式。2辛普森法則二階牛頓-科特斯公式。3高階公式三階及以上的牛頓-科特斯公式。龍格-庫(kù)塔方法1高階精度2單步法3自適應(yīng)步長(zhǎng)4廣泛應(yīng)用自適應(yīng)積分初始估計(jì)使用低階方法進(jìn)行積分。誤差評(píng)估比較不同階數(shù)方法的結(jié)果。區(qū)間細(xì)分根據(jù)誤差大小劃分子區(qū)間。遞歸應(yīng)用對(duì)子區(qū)間重復(fù)應(yīng)用積分方法。6.常微分方程數(shù)值解問(wèn)題描述求解dy/dx=f(x,y)類(lèi)型方程。方法分類(lèi)單步法和多步法。應(yīng)用領(lǐng)域物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。單步法1歐拉方法最簡(jiǎn)單的一階方法。2改進(jìn)的歐拉方法二階精度的預(yù)測(cè)-校正方法。3龍格-庫(kù)塔方法