2023-2024學(xué)年山東省濟南市濟陽區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案

2023-2024學(xué)年山東省濟南市濟陽區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷滿分為40分；第Ⅱ卷滿分為110分．本試題共8頁，滿分為150分．考試時間為120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的考點、姓名、準考證號、座號填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．本次考試不允許使用計算器進行運算．第Ⅰ卷（選擇題40分）第Ⅰ卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答案寫在試卷上無效．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．）1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別判斷出各選項中的幾何體的主視圖，即可得出答案.【詳解】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故本選項符合題意；B、球的主視圖是圓，故本選項不符合題意；C、長方體的主視圖是長方形，故本選項不符合題意；D、三棱柱的主視圖是長方形，故本選項不符合題意；故選：A.【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟知常見幾何體的主視圖是解本題的關(guān)鍵.2.已知線段a、b，如果，那么下列各式中一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A、由，得，故本選項錯誤，不符合題意；B、當(dāng)，時，，但是，故本選項錯誤，不符合題意；C、由，得，故本選項正確，符合題意；D、當(dāng)，時，，但是，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內(nèi)項的積，比較簡單．3.在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學(xué)習(xí)小組擬定的方案，其中正確的方案是（）A.測量其中三個角是否為直角 B.測量兩組對邊是否相等C.測量對角線是否相互平分 D.測量對角線是否相等【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定方法：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，由矩形的判定方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：、測量其中三個角是否為直角，能判定矩形；符合題意；、測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形；不符合題意；、測量對角線是否相互平分，能判定平行四邊形；不符合題意；、測量對角線是否相等，不能判定形狀；不符合題意；故選：．【點睛】本題考查的是矩形的判定定理，牢記矩形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵，難度較?。?.點和點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)，得出，解得即可．【詳解】解：點和點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，故選：D【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．5.若關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根的判別式小于零列式求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程沒有實數(shù)根．6.“敬老愛老”是中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)美德．小剛、小強計劃利用暑期從，，三處養(yǎng)老服務(wù)中心中，隨機選擇一處參加志愿服務(wù)活動，則兩人恰好選到同一處的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好選擇同一場所的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好選擇同一場所的結(jié)果數(shù)為3，∴明明和亮亮兩人恰好選擇同一場館的概率,故選：B．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．7.菱形中對角線相交于點，且，若，，則長是（）A. B. C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得到，，，由勾股定理得到，利用即可得到的長．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，，，∴，則根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴．故選：A【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖是一個圓形的運動場地，其中大圓直徑恰好等于其內(nèi)部兩個完全一樣的小圓的直徑和，現(xiàn)向該場地隨機投擲一顆玻璃珠（假設(shè)它落在場地內(nèi)的每一點都是等可能的），則它落在陰影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出陰影部分面積所占的比例，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)小圓半徑為，則大圓的半徑為，∴陰影部分的面積為，∴玻璃珠落在陰影部分的概率是；故選A．【點睛】本題考查幾何概率．準確的求出陰影部分的面積，是解題的關(guān)鍵．9.如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，邊與點B在同一直線上．已知直角三角紙板中，，測得眼睛D離地面的高度為，他與“步云閣”的水平距離為，則“步云閣”的高度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得，有即可求得，結(jié)合眼睛離地面的高度即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，，∴，解得，∵眼睛D離地面的高度為，∴，∴，故選：B．10.如圖，動點P在函數(shù)的圖象上運動，軸于點M，軸于點N，線段、分別與直線交于點E、F，則的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由于P的坐標(biāo)為，且，，那么N的坐標(biāo)和M點的坐標(biāo)都可以a表示，那么的長度也可以用a表示，接著F點、E點的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分別用a表示，最后即可求出．【詳解】解：作軸，的坐標(biāo)為，且，，的坐標(biāo)為，M點的坐標(biāo)為，，令，則，令，則，則，∴，則是等腰直角三角形，∴，在中，，，點的坐標(biāo)為，同理可得出E點的坐標(biāo)為，，，，即．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過反比例函數(shù)上的點P坐標(biāo)，來確定E、F兩點的坐標(biāo)，進而通過勾股定理求出線段乘積的值．第Ⅱ卷（非選擇題110分）二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11.某反比例函數(shù)的圖象過點，則該反比例函數(shù)的解析式為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)反比例函數(shù)為：結(jié)合反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，利用待定系數(shù)法求解解析式即可．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)為：而反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以反比例函數(shù)為：．故答案為：．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，掌握“待定系數(shù)法”是解本題的關(guān)鍵．12.若關(guān)于x方程：有一個根為2，則另一個根為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進行求解即可．【詳解】解：設(shè)方程的另一個根為，則：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和為，兩根之積為”是解題的關(guān)鍵．13.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是______．（填序號）【答案】①③##③①【解析】【分析】分別求出四個三角形的三條邊，然后根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似進行判定即可．【詳解】解：圖①中三角形的三邊長分別為：，2，；圖②中三角形的三邊長分別為：，，3；圖③中三角形的三邊長分別為：2，，；圖④中三角形的三邊長分別為：，3，；∵，，∴，∴網(wǎng)格中相似的兩個三角形是①③，故答案為：①③．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，分母有理化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理求出四個三角形的三條邊．14.如圖，在中，D是邊上的點，，，，則的長為______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，由于，加上為公共角，則可判斷，然后利用相似比可求出的長．【詳解】解：，，，，即，解得：，即的長為2．故答案為：2．15.定義運算“★”：，關(guān)于x的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)根，則t的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意得出一元二次方程，然后根據(jù)根的判別式得出，求出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵，∴可變?yōu)椋?，整理得：，∵關(guān)于x的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在反比例函數(shù)的圖象上．點的坐標(biāo)為．連接．若，則的值為___________．【答案】##【解析】【分析】過點作軸于點，過點作于點，證明，進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)點，進而得出，根據(jù)點在反比例函數(shù)的圖象上．列出方程，求得的值，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作軸于點，過點作于點，∴，∵，∴∴∴∵點的坐標(biāo)為．∴，∴∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴解得：或（舍去）∴故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10個小題，共86分）17.解方程：.【答案】，【解析】【分析】先移項，然后兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，再根據(jù)完全平方公式整理，然后求解即可；【詳解】方程，，，即∴，【點睛】本題考查了解一元二次方程，要根據(jù)方程的特點選擇合適的方法解方程，本題選用配方法比較簡便．18.已知：如圖，矩形中，．求證：【答案】見詳解【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得和，結(jié)合題意得，可證，即有結(jié)論成立．【詳解】證明：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，即，在和∴，則．19.已知關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，求k的值．【答案】或0【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根時，根的判別式等于0，得到方程并求解，即得答案．【詳解】關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得或0．20.如圖，某小區(qū)矩形綠地的長、寬分別為，，現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地，若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．【答案】新的矩形綠地的長為，寬為．【解析】【分析】設(shè)綠地的長、寬增加的長度為，然后根據(jù)擴充后的矩形綠地面積為，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)將綠地的長、寬增加，則新的矩形綠地的長為，寬為，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，.答：新的矩形綠地的長為，寬為.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．21.為了解我國的數(shù)學(xué)文化，小明和小紅從《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《海島算經(jīng)》(依次用A、B、C表示)三本書中隨機抽取一本進行閱讀，小明先隨機抽取一本，小紅再從剩下的兩本中隨機抽取一本．請用列表或畫樹狀圖的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．并求抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的概率．【答案】【解析】【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果，再找出抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有種等可能的結(jié)果，其中抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)為種，所以抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的概率為【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目然后根據(jù)概率公式計算事件或事件的概率．22.已知：如圖，是的角平分線，過點D分別作和的平行線交于點E，交于點F．

（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，試求四邊形的面積．【答案】（1）見解析（2）24【解析】【分析】（1）由已知易得四邊形是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得，進而證明，則四邊形是菱形；（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，可得，根據(jù)勾股定理得，則，最后根據(jù)菱形的面積即可求出答案．【小問1詳解】證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴∴，∴四邊形是菱形；【小問2詳解】解：如圖所示，連接，與交于點O，∵四邊形是菱形，∴互相垂直且平分，∴，根據(jù)勾股定理得，∴，∴四邊形的面積．

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知菱形對角線垂直平分是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在中，，，．點、分別在、上，且點以的速度由點向點運動，同時點以的速度由點向點運動，當(dāng)其中一點到達終點時運動停止，設(shè)運動時間為（）．（1）當(dāng)時，求的值；（2）在運動過程中，是否存在一個時刻，使線段的長度為？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，，理由見解析【解析】【分析】（1）證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可求解；（2）由勾股定理得，解方程，即可求解．【小問1詳解】解：由題意可知，，，

，

，，，，

，即解得：，【小問2詳解】存在，理由如下：

，

，即整理得：，解得：（舍去）【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．24.某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培蔬菜．某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（）與時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中段是恒溫階段，段是某反比例函數(shù)圖象的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）求段反比例函數(shù)圖象的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）恒溫階段保持的時間有多少小時？（3）大棚里栽培的一種蔬菜在溫度為到的條件下最適合生長，若某天恒溫系統(tǒng)開啟前的溫度是，那么這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長的時間有多長？【答案】（1）（2）恒溫階段保持的時間有10小時（3）這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長的時間有19.6小時【解析】【分析】本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題時要先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，再觀察圖象特點，結(jié)合反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)作答．（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）由（1）知，觀察圖象可得；（3）先求出段的解析式，代入臨界值，分別求出段和段溫度為的時間，再相減即可即可．【小問1詳解】解：設(shè)對應(yīng)函數(shù)解析式為，把代入中得：，，當(dāng)時，，解得，即；；小問2詳解】解：由（1）知，，恒溫階段保持的時間有：（小時），答：恒溫階段保持的時間有10小時；【小問3詳解】解：設(shè)的解析式為：，把、代入中得：，解得：，的解析式為：，當(dāng)時，，解得，，，（小時），答：這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長的時間有19.6小時．25.閱讀以下材料通過列表描點我們可以畫出的圖象如圖：觀察圖象可以得出以下結(jié)論：時，函數(shù)有最小值，最小值是0．若y隨x的增大而增大，x的取值范圍是，若y隨x的增大而減少，x的取值范圍是．提出問題：當(dāng)時如何求函數(shù)最大值或最小值？解決問題：借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們利用觀察函數(shù)的圖像探索函數(shù)（）的最大（小）值．（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數(shù)（）的圖象：x…1234…y…

…（2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，當(dāng)______時，函數(shù)（）有最______值（填“大”或“小”），是______．若y隨x的增大而增大，x的取值范圍是______，若y隨x的增大而減少，x的取值范圍是______．（3）知識能力運用：直接寫出函數(shù)當(dāng)______時，該函數(shù)有最______值（填“大”或“小”），是______．【答案】（1）見解析（2）1，小，2，，（3）2，大，【解析】【分析】（1）將的值分別代數(shù)函數(shù)之中求出的值，并填