北京市海淀首經(jīng)貿(mào)2023-2024學(xué)年高三5月質(zhì)檢卷數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

北京市海淀首經(jīng)貿(mào)2022-2023學(xué)年高三5月質(zhì)檢卷數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.2.連接雙曲線及的4個頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.4.的展開式中的系數(shù)是-10,則實數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-25.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風(fēng)折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.6.方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿足()A. B. C. D.7.已知數(shù)列,,,…,是首項為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.48.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.9.已知集合,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.11.已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,若、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知集合,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若圓上有且僅有一對點(diǎn),使得的面積是的面積的2倍,則的值為_______.14.已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米,用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價格分別為30元和20元,那么圓桶造價最低為________元.15.已知三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積是________.16.已知平面向量與的夾角為,,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)存在零點(diǎn),求的求值范圍.18.(12分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件,對之前加工的100個零件的加工時間進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下:加工1個零件用時(分鐘)20253035頻數(shù)(個)15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座,用時40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.19.(12分)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,平面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).(1)求證:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC與平面DQF所成角的正弦值.20.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.21.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù),,且.(1)當(dāng)時,求函數(shù)的減區(qū)間;(2)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(3)若方程的兩個實數(shù)根是,試比較,與的大小,并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.2.D【解析】

先求出四個頂點(diǎn)、四個焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個頂點(diǎn)構(gòu)成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.3.C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點(diǎn)為開始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4.C【解析】

利用通項公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.5.B【解析】如圖,已知,,

∴,解得

,∴,解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.6.D【解析】

由題設(shè)中所給的定義,方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..7.A【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.8.A【解析】

用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項;由于,所以,排除C選項;由于當(dāng)時,,排除D選項.故A選項正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.9.B【解析】

計算,再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計算能力.10.A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點(diǎn):函數(shù)的定義域.11.B【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值.【詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,、滿足,由等比數(shù)列的通項公式得,即,,可得,且、都是正整數(shù),求的最小值即求在,且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值,討論、取值.當(dāng)且時,的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思想,是中等題.12.C【解析】

求出集合,計算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

寫出所在直線方程,求出圓心到直線的距離,結(jié)合題意可得關(guān)于的等式,求解得答案.【詳解】解:直線的方程為,即.圓的圓心到直線的距離,由的面積是的面積的2倍的點(diǎn),有且僅有一對,可得點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍,可得過圓的圓心,如圖:由,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.14.【解析】

設(shè)桶的底面半徑為,用表示出桶的總造價,利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為,高為,則,故,圓通的造價為解法一:當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.解法二:,則,令,即,解得,此函數(shù)在單調(diào)遞增;令,即,解得,此函數(shù)在上單調(diào)遞減;令,即,解得,即當(dāng)時,圓桶的造價最低.所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,注意驗證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,求得的值,然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個等式全部相加得,,因此,三棱錐的外接球面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算,根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補(bǔ)成長方體是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.16.【解析】

根據(jù)已知求出,利用向量的運(yùn)算律,求出即可.【詳解】由可得,則,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)或;(2).【解析】

(1)通過討論的范圍,將絕對值符號去掉,轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集,之后取并集,得到原不等式的解集;(2)將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問題解決,數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】(1)有題不等式可化為,當(dāng)時,原不等式可化為,解得;當(dāng)時,原不等式可化為,解得,不滿足,舍去;當(dāng)時,原不等式可化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因為,所以若函數(shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn),函數(shù)在上單調(diào)增,在上單調(diào)遞減,且.數(shù)形結(jié)合可知.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題,涉及到的知識點(diǎn)有分類討論求絕對值不等式的解集,將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)的問題來解決,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于簡單題目.18.(1)分布列見解析,;(2)0.8575【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列,并計算出數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨(dú)立事件概率計算公式,計算出劉師傅講座及加工個零件作示范的總時間不超過分鐘的概率.【詳解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)設(shè),分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間,事件表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時間不超過100分鐘”,則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查對立事件概率計算,考查相互獨(dú)立事件概率計算,屬于中檔題.19.(1)見解析(2)【解析】

(1)連接交于點(diǎn),連接,通過證明,證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量和平面的法向量,計算出線面角的正弦值.【詳解】(1)證明:連接交于點(diǎn),連接,因為四邊形為正方形,所以點(diǎn)為的中點(diǎn),又因為為的中點(diǎn),所以;平面平面,平面.(2)解:,設(shè),則,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如圖建立的空間直角坐標(biāo)系.在等腰梯形中,可得.則.那么設(shè)平面的法向量為,則有,即,取,得.設(shè)與平面所成的角為,則.所以與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進(jìn)行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一:(1)當(dāng)時,,當(dāng),,當(dāng)時,,所以解法二:(1)如圖當(dāng)時,解法三:(1)當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立.當(dāng)時解法一:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,因為成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因為,,,所以,,又因為,所以,所以,原不等式得證.補(bǔ)充:解法三:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.21.(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo),由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點(diǎn),∴,∵平面且,∴平面,以為原點(diǎn),分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點(diǎn),因為四邊形為平行四邊形,所以為中點(diǎn),又因為四邊形為菱形,所以為中點(diǎn),

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