第六章 空間力系的平衡

第六章空間力系的平衡【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解空間一力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影；2.掌握空間匯交力系平衡方程及其應(yīng)用；3.理解力對軸之矩的概念及計算；4.掌握空間一般力系的平衡方程及其應(yīng)用。第六章空間力系的平衡作用在剛體上的力系，通常其各力的作用線可以在空間任意分布，這樣的力系稱為空間任意力系，簡稱空間力系?？臻g力系是力系的最一般形式。例如，圖6-1所示用起重機(jī)起吊一塊矩形鋼筋混凝土預(yù)制板，板的重力W和繩的拉力F1、F2、F3、F4組成一空間力系；又如圖6-2所示，作用于冷卻塔上的重力W、風(fēng)力F、桿的支撐力F1、F2、F3、F4、F5和F6，這些力組成空間力系。第六章空間力系的平衡前面所討論的平面匯交力系、平面一般力系等，都是空間力系的特例。本章簡單介紹空間匯交力系和空間一般力系的平衡問題。6.1空間匯交力系力的作用線匯交于一點的空間力系稱為空間匯交力系。空間匯交力系在一般情況下將合成為一個合力。合力的作用線通過原力系的匯交點，合力矢量等于各分力矢量的矢量和，即R=∑Fi (6-1)一般講，匯交力系的合成可以歸結(jié)為力矢量求和的問題，而匯交力系的平衡可以歸結(jié)為求解力矢量和等于零的條件。由于空間幾何作圖和度量比較困難，一般不用幾何法求解空間問題，本節(jié)討論在空間直角坐標(biāo)系中用解析法求解空間匯交力系的平衡問題。6.1空間匯交力系一、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影確定力在軸上的投影可以有兩種方法1．一次投影法如圖6-3所示一力F，需求其在三條坐標(biāo)軸x、y、z軸上的投影。為此，建立坐標(biāo)系如圖，圖中虛線是以力F為對角線，邊與三個坐標(biāo)平面xoy平面、yoz平面及zox平面平行畫長方體。如果力F與三條坐標(biāo)軸的夾角分別為α、β、γ，根據(jù)力在坐標(biāo)軸上投影的定義，顯然力在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz的大小分別為6.1空間匯交力系上面式中cosα、cosβ、cosγ稱為力矢量F的方向余弦。所以力在某軸上的投影等于力矢量與該軸正方向之間的夾角的余弦與力的大小的乘積。由此可知：力在任意兩個同向平行軸上的投影相等。大小相等、方向相同的兩個力在同一軸上的投影相等。對于夾角α、β、γ，它們滿足：cos2α+cos2β+cos2γ=1。顯然當(dāng)力矢量F的大小和方向確定時，力在空間直角坐標(biāo)系三個軸上的投影由(6-2)式唯一確定。6.1空間匯交力系反過來，當(dāng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz確定時，力矢量F的大小和方向也唯一確定，此時

F2=F2（cos2α+cos2β+cos2γ）=Fx2+Fy2+Fz2而力矢量的方向可由方向余弦確定：6.1空間匯交力系2．二次投影法如圖6-4所示，若已知力F與z軸的夾角γ，以及力F在平面xoy上的投影Fxy與x軸得夾角

，則可先將力F投影到z軸和xy坐標(biāo)平面上，分別得到投影Fz

和矢量Fxy，即Fz

＝Fcos

Fxy＝Fsin

然后再將Fxy向x、y軸投影，得

6.1空間匯交力系二、空間匯交力系平衡根據(jù)平面匯交力系平衡的解析條件，同理可得，空間匯交力系平衡的充分與必要條件是合力等于零，或者空間匯交力系的各分力在空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零。其表達(dá)式為上式稱為空間匯交力系的平衡方程。此方程包含三個獨立的代數(shù)方程，利用空間匯交力系的平衡條件，可以求解三個未知力或平衡問題的三個未知量。

6.1空間匯交力系例6-1如圖6-5所示，重為W的物體用三根連桿支承，求每根連桿所受的力。6.1空間匯交力系解：（1）取結(jié)點A為研究對象，匯交于A點的力有懸掛重物的繩索拉力（等于重力W）和三根連桿作用于A點的力F1、F2、F3。假設(shè)F1、F2、F3都是壓力，方向指向A點。（2）建立坐標(biāo)系如圖6-5所示。在這里F1、F2、F3與各坐標(biāo)軸的夾角（銳角）的余弦，可由各有關(guān)邊長的比例求得，而各力在坐標(biāo)軸上的投影也可按邊長比例計算，對于投影的正負(fù)號可以直接判定。6.1空間匯交力系根據(jù)平衡條件，建立平衡方程

6.2空間一般力系一、力對軸之矩在生活和生產(chǎn)實際中，經(jīng)常會遇到物體繞定軸轉(zhuǎn)動的問題。門的開啟和關(guān)閉即是最常見的例子。如圖6-6所示的門，設(shè)力F作用于門上的A點，為了研究力F使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，可將它分解為一個與轉(zhuǎn)軸z平行的分力Fz和一個通過A點且垂直于z軸的平面上的分力Fxy。6.2空間一般力系由經(jīng)驗可知，與轉(zhuǎn)軸z平行的分力Fz，無論大小如何，均不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動；因此，能使門轉(zhuǎn)動的只是分力Fxy。所以力F使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)等于其分力Fxy使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。而分力Fxy使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)可用分力Fxy對O點之矩來表示（O點是分力Fxy所在平面和z軸的交點）。6.2空間一般力系由此可見，力使物體繞某軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)可用此力在垂直于該軸的平面上的分力對此平面與該軸的交點之矩來度量。我們將該力矩稱為力對軸之矩。如將力F對z軸之矩表示為Mz(F)或簡記為Mz，則有Mz=

Fxyd

(6-7)式中：d——分力Fxy所在的平面與z軸的交點O到力Fxy作用線的垂直距離。6.2空間一般力系

Mz=

Fxyd正負(fù)號表示力使物體繞z軸轉(zhuǎn)動的方向，按右手螺旋法則確定。將右手四指與力F的方向一致，再彎曲右手四指握住z軸，若大拇指的指向如與z軸的正向相同時，力對z軸之矩取正；反之取負(fù)。如圖6-7所示。力對軸之矩的單位是N

m或kN·m。顯然，當(dāng)力F與z軸平行（此時Fxy=0）或者相交（此時d=0）時，力F對z軸之矩為零。6.2空間一般力系二、空間力系的合力矩定理力對軸之矩可以根據(jù)定義直接進(jìn)行計算，但是當(dāng)根據(jù)定義直接進(jìn)行計算有困難時，還常常利用合力矩定理進(jìn)行計算。即空間力系的合力對某一軸之矩等于力系中各力對同一軸之矩的代數(shù)和，其表達(dá)式為Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）（6-8）上式即是空間力系的合力矩定理（證明從略）。6.2空間一般力系

例6-2如圖6-8所示，正方形板ABCD用球鉸A和鉸鏈B與墻壁連接，并用繩索CE拉住使其維持水平位置。已知繩索的拉力F=200N，試求分別力F對x、y、z軸之矩。6.2空間一般力系解：先計算力F對x、y軸之矩利用合力矩定理。將力F分解為兩個分力Fxy和Fz

其中：Fz=Fz×sin30°=200×sin30°=100N因分力Fxy與x、y軸都相交，它對x、y軸之矩都為零，因此Mx（F）=Mx（Fxy）+Mx（Fz）=Mx（Fz）=100×2=200N·mMy（F）=My（Fxy）+My（Fz）=My（Fz）=－100×2=－200N·m力F與z軸相交，它對z軸之矩等于零Mz（F）=06.2空間一般力系三、空間一般力系的平衡參照平面一般力系的平衡條件和平衡方程，同理可得，空間一般力系的平衡條件是空間一般力系的各分力在空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零，以及空間一般力系的各分力對空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸x、y、z之矩的代數(shù)和都等于零。其平衡方程表達(dá)式為

6.2空間一般力系上式稱為空間一般力系的平衡方程，是方程的一般式。此方程包含六個獨立的代數(shù)方程，利用空間匯交力系的平衡條件，可以求解六個未知力或平衡問題的六個未知量。與平面一般力系的平衡方程相似，空間一般力系的平衡方程也可以有其他形式，但無論怎樣列方程，獨立平衡方程的數(shù)目只有6個。在應(yīng)用空間一般力系的平衡方程求解空間一般力系的平衡問題時，力矩方程比較靈活，選擇合理的軸線建立力矩方程，可使一個方程只含一個未知量，利于求解。6.2空間一般力系例6-3如圖6-9所示，均質(zhì)長方板由六根直桿支撐保持水平，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為P，在A處作用一水平力F，F(xiàn)平行于y軸，且F=2P。求各桿的內(nèi)力。

6.2空間一般力系解：取長方體板為研究對象，各直桿均為二力桿，設(shè)它們均受拉力。板的受力如圖所示，根據(jù)平衡條件建立平衡方程。6.2空間一般力系（續(xù)）6.2空間一般力系例6-4如圖6-10所示，懸臂剛架上作用有q=2kN/m的均布荷載，以及作用線分別平行于x軸、y軸的集中力F1、F2。已知F1=5kN，F(xiàn)2=4kN，求固定端A處的約束反力。6.2空間一般力系解：取懸臂剛架為研究對象，設(shè)約束反力如圖。作用于剛架上的力有荷載q、F1、F2，A處的反力FAx、FAy、FAz及MAx、MAy、MAz。根據(jù)平衡條件，建立出平衡方程由

Fx=0可得：FAx+F1=0

解得：FAx=－5kN由

Fy=0可得：FAy+F2=0

解得：FAy=－4kN由

FZ=0可得：FAz－q×4=0

解得：FAz=8kN6.2空間一般力系由

Mx=0可得：MAx－F2×4－q×4×2=0

解得：MAx=32kN·m由

My=0可得：MAy+F1×5m=0

解得：MAy=－25kN·m由∑Mz=0可得：MAz－F1×4=0解得：MAz=20kN·m

第六章空間力系的平衡小結(jié)1.空間一力向空間直角坐標(biāo)軸上任一軸的投影，可有一次投影法，