江西省贛州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

江西省贛州市2025屆高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=a2?1+(a?1)i為純虛數(shù)，則zA.?2 B.0 C.2 D.42.“a>b”是“ac2>bc2”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若向量a，b的夾角為π3，且a=(1,1)，|a+2A.2 B.2 C.4 4.某普通高中高二年級學(xué)生參加體育學(xué)業(yè)水平考試立定跳遠項目模擬測試，甲、乙兩位同學(xué)連續(xù)5次的測試數(shù)據(jù)如下表(單位：cm):甲210220216220230乙215212216223249下列說法錯誤的是(

)A.甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)的眾數(shù)為220 B.乙同學(xué)測試數(shù)據(jù)的極差為37

C.甲同學(xué)測試數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為220 D.乙同學(xué)測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2235.已知橢圓x24+y2=1與直線x=ty交于A，B兩點，點M滿足AM=3A.4x2+y2=1 B.x6.當(dāng)x∈[0,2π]時，曲線y=cosx與y=32cos(3x?A.7 B.6 C.5 D.47.已知四面體ABCD的四個頂點都在同一球面上，BD=CD=1，BC=3，平面ABD⊥平面BCD.當(dāng)該球的體積最小時，四面體ABCD體積的最大值為(

A.348 B.324 C.8.已知函數(shù)f(x)滿足f(12)=13，f(1)=1，f(x)=3f(x3)，當(dāng)0≤A.3?7 B.3?6 C.3?5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.小華是一位籃球愛好者，每天堅持投籃訓(xùn)練，每天至少訓(xùn)練10組，每組投籃50次，且每一組投籃命中的次數(shù)X服從正態(tài)分布N(27,4)，則(

)(參考數(shù)據(jù)：P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544，P(μ?3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974)A.μ=27 B.σ=4

C.P(X≥33)≈0.0026 D.P(23<X≤29)≈0.818510.已知p，r為正數(shù)，圓C:(x?p)2+y2=r2A.當(dāng)圓C與E有公共點時，r>p

B.當(dāng)E在點(p,2p)處的切線與圓C相切時，r=2p

C.E上一點M到點(2p,p)和圓心C距離之和的最小值為3p

D.當(dāng)r=3p時，直線(1+t)x?y?pt=0被圓11.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b，則(

A.?x∈R，f(2x?a)+f(a?2x)=2b

B.當(dāng)a<0時，f(x)有三個零點

C.若f(x)圖象上存在四點構(gòu)成正方形，則a的最大值為?22

D.存在a，b使得滿足方程f(x)=y三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S13.若曲線y=ax(x>0)與y=2lnx有公切線，則a14.陳某喜歡打排球和踢足球，他打算在連續(xù)的三天假期中每天下午選其中一項進行體育鍛煉.如果某天選排球，第二天還選排球的概率為13;如果某天選足球，第二天還選足球的概率為12.若陳某第1天隨機選其中一項，則陳某第3天選排球的概率為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin(1)求A;(2)若a=2，cosA+cos(B?C)=216.(本小題15分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2(1)求C的方程;(2)已知點M(1,1)，斜率為1的直線l與C交于A，B兩點，若△MAB的面積為6，求l的方程.17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐S?ABC中，AC⊥BC，E為棱SB的中點，O為棱AB上一點，SO⊥平面ABC.

(1)若SA=SC，證明：OE//平面SAC;(2)若SA=2113，SO=AC=BC=2，求直線OE與平面18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=(1)當(dāng)t≤2，x>0時，證明：f(x)>(2)若t=1，對?x∈R，不等式f(x)≥12x2+ax+b19.(本小題17分)給定數(shù)列An:a1，a2，?，an(ai∈N,i=1,2,?,n)，定義“ω變換”為將數(shù)列An變換成Bn:b1，b2，?，bn，其中bi(1)求數(shù)列A4:1，4，2，9經(jīng)過4次“ω(2)證明：數(shù)列A3:a1，a2，(3)已知數(shù)列A3:2024，2，2028經(jīng)過K次“ω變換”后得到的數(shù)列各項之和最小，求K的最小值.答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意得出

a2?1=0a?1≠0，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：∵復(fù)數(shù)z=a2?1+(a?1)i(a∈R)是純虛數(shù)，

∴

a2?1=0a?1≠0，解得a=?1，

∴

z=?2i，

∴

2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了充分條件，必要條件，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題，

利用不等式性質(zhì)結(jié)合充分條件必要條件的定義判斷.【解答】

解：∵若c=0，由a>b不能得到ac2>bc2，

∴充分性不成立，

∵ac2>bc2，則c23.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積，向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，根據(jù)向量的模長公式即可求出結(jié)果.

【解答】

解：|

a|=

1+1=2，

∵|a+2b|=14，兩邊平方得：4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了眾數(shù)、極差、百分位數(shù)及平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)眾數(shù)、極差、百分位數(shù)及平均數(shù)的計算方法計算即可判斷.【解答】

解：對于A，220出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以為眾數(shù)，故A正確；

對于B，因為249?212=37，所以極差為37，故B正確；

對于C，因為5×80%=4，所以80%分位數(shù)為220+2302=225，故C錯誤；

對于D，因為215+212+216+223+2495=2235.【答案】C

【解析】解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x,y)，由x=tyx24+y2=12,消去x可得(4+t2)y2=4,∴y1+y2=0，y1y2=?44+t26.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，屬于一般題.

分別畫出y=cosx與y=32【解答】

解：y=cosx與y=32cos由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)為6個.故選：B.7.【答案】B

【解析】解：

因為平面ABD⊥平面BCD，所以點A在平面BCD的射影E落在BD上，

當(dāng)點E為BD的中點時，AE最大，此時四面體ABCD的體積取最大，

如圖所示：

在△BCD中，設(shè)其外接圓的圓心為O，取BC的中點F，連接DF，則點O在DF的直線上，

由余弦定理得，

cos∠BDC=12+12?322×1×1=?12，則∠BDC=120°，

設(shè)處接圓的半徑為r，則2r=3sin120°，得r=1，

當(dāng)四面體ABCD的外接球的體積最小時，此時球心應(yīng)為點O8.【答案】A

【解析】解：由題意得f(1)=1，f(x3)=13f(x)，故f(13)=13f(1)=13，f(19)=13f(13)=19，

f(127)=13f(19)=127，f(181)=13f(127)=181，9.【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查正態(tài)分布的均值、方差、概率，屬于基礎(chǔ)題．

對于A、B選項，根據(jù)變量符合正態(tài)分布，可得出μ和σ的值.

對于C、D選項，根據(jù)3σ原則，可計算出P(X≥33)、P(23<X≤29)的值.

【解析】

由題意可得，X服從正態(tài)分布N(27,4)，則μ=27，σ=2，故A正確，B錯誤，

P(X≥33)=P(X≥μ+3σ)≈1?0.99742=0.0013，故C錯誤，

P(23<X≤29)=P(μ?2σ<X≤μ+σ)=P(μ?2σ<X≤μ+2σ)+P(μ?σ<X≤μ+σ)2≈0.9544+0.682610.【答案】BC

【解析】【分析】略【解答】

解：對于選項A，由題意可知圓心C(p,0)，拋物線E的頂點為O(0,0)，則|OC|=p，當(dāng)圓C與E有公共點時，r≥p，故選項A錯誤;

對于選項B，由題意可知點(p,2p)在拋物線E上，設(shè)E在點(p,2p)處的切線方程為y=k(x?p)+2p，與拋物線E的方程聯(lián)立，消去y得k2x2+2[k(2?kp)?2p]x+(2p?kp)2=0，則Δ=4[k(2?kp)?2p]2?4k2(2p?kp)2=0，解得k=1，所以切線方程為y=x+p，則圓心C到切線的距離d=|2p|2=2p，所以r=2p，故選項B正確;

對于選項C，由題意可知拋物線E的焦點為C(p,0)，準(zhǔn)線方程為x=?p，則M到點(p,2p)和圓心C距離之和的最小值為點(p,2p)到準(zhǔn)線x=?p的距離，即為3p，故選項C正確;

對于選項D，直線(1+t)x?y?pt=0可化為x?y+t(x?p)=0，則直線恒過點(p,2p)，當(dāng)r=3p時，圓11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)值的計算、函數(shù)的對稱性、含參函數(shù)的零點、交點個數(shù)，屬于中檔題.

對于A選項，代入函數(shù)值驗證即可.

對于B選項，當(dāng)a≥0時，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)至多有一個零點，故B錯誤;

對于C選項，若f(x)圖象上存在四點A、B、C、D構(gòu)成正方形，易得直線AC、BD的斜率存在且不為0，

由A選項可得f(x)的圖象關(guān)于點M(0,b)對稱，則正方形的中心為點M，設(shè)直線AC:y=kx+b，則BD:y=?1kx+b，

正方形的對角線互相平分，故|AM|=|BM|，再聯(lián)立直線AC、BD的方程與函數(shù)方程即可得到對應(yīng)表達式，再用分離參數(shù)法求a的取值范圍即可得到a的最大值.

對于D選項，滿足方程f(x)=y3?3y2+2y的曲線與y軸有三個交點，則令x=0得b=y3?3y2+2y，令g(y)=y3?3y【解答】

對于A，f(2x?a)+f(a?2x)=(2x?a)3+a(2x?a)+b+(a?2x)3+a(a?2x)+b=2b，故A正確;

對于B，f′(x)=3x2+a，當(dāng)a≥0時，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)至多有一個零點，故B錯誤;

對于C，若f(x)圖象上存在四點A、B、C、D構(gòu)成正方形，易得直線AC、BD的斜率存在且不為0，

由A選項可得f(x)的圖象關(guān)于點M(0,b)對稱，設(shè)直線AC:y=kx+b，則BD:y=?1kx+b，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∵正方形的對角線互相平分，∴|AM|=|BM|，

∴x12+(y1?b)2=x22+(y2?b)2，則(1+k2)x12=(1+1k2)x22，

聯(lián)立y=kx+by=x3+ax+b?x=0，x2=k?a≥0，故a≤0，

y=?1kx+by=x3+ax+b?x=0，x2=?1k?a≥0，故a≤0，

所以k2(k?a)=?1k?a，則a=k4+1k(k2?1)=k2+1k2k?1k=t12.【答案】2

【解析】【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的運算，其中熟記等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.

利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，列出方程組，即可求解公差.【解答】

解：

因為a3=3，S9=63，

所以a1+2d=39a1+9×82d=63

13.【答案】[?2【解析】【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了導(dǎo)數(shù)研究方程的解，屬于較難題.

設(shè)切點并寫出兩曲線對應(yīng)的切線方程，根據(jù)公切線列方程組，注意切點橫坐標(biāo)及參數(shù)a范圍，進而轉(zhuǎn)化為方程在某區(qū)內(nèi)有解問題.【解答】解：由

y=axx>0

，則

y′=ax′=?ax2所以，切線為

y?am=?am2由

y=2lnx,(x>0)

，則

y′=2lnx′=2x

所以，切線為

y?2lnn=2n(x?n)

根據(jù)題設(shè)，若它們切線為公切線，則有

2n=?am22a又

m,n>0

，即

a<0

且

lnn?1<0

，即

0<n<e

由上關(guān)系式并消去

m

并整理得

2a=?n(lnn?1)2

在令

f(n)=?n(lnn?1)2

，則當(dāng)

f′(n)>0

，則

?1<lnn<1

，即

1e<?n<e

，此時當(dāng)

f′(n)<0

，則

lnn<?1

或

lnn>1

，即

0<n<1e

或

n>e

，此時又

f(1e)=?1e(所以

2a∈[?4e,0)

，即故答案為：

[?214.【答案】3172【解析】【分析】本題考查互斥事件發(fā)生一件的概率計算，相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算，屬中檔題.

利用相互獨立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式即可得出.【解答】

解：設(shè)Ai(i=1,2,3)表示第i天選排球，Bi(i=1,2,3)表示第i天選足球，設(shè)陳某第3天選排球為事件A，則P(A1)=P(B1)=12

A事件是由A115.【答案】解：(1)由題意，2sinA2cosA2+3(cos2A2?sin2A2)=2

從而sinA+3cosA=2

化簡得，sin(A+π3)=1

∵0<A<π，∴π【解析】略16.【答案】解：(1)由題意可知，c=2

在△F1PF2中，由cos∠F1PF2=79，得sin∠F1PF2=429，

從而，解得|PF1||PF2|=9

又由余弦定理得，PF12+|PF2|2?2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=16

化簡得PF12+|PF【解析】略17.【答案】解：(1)連接OC，∵SO⊥平面ABC，SA=SC，

∴RtΔSOA≌RtΔSOC.∴OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

又∵∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB，

∴∠OCB=∠OBC

∴OC=OB，OA=OB=OC，

所以O(shè)為AC的中點

而E為SC中點，

∴OE//SA

又∵OE?平面SAB，SA?平面SAB，

∴OE//平面SAB

(2)由題意，AC⊥BC，AB=BC=2，AB=22，又∵SO⊥平面ABC，AB?平面ABC，

∴SO⊥AB，在Rt△SAO中，SA=2113，∴AO=223

如圖，以點C為坐標(biāo)原點，CA，CB所在直線為x軸、y軸，過點C且平行于SO的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,0)，S(43,23,2)，E(23,43,1)，O(43,23,0)，

所以O(shè)E=(?2【解析】本題考查線面平行的判定，線面角，屬于中檔題.

(1)推出OE//SA，根據(jù)線面平行的判定定理，即可求證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求解.18.【答案】解：(1)證明：由題意，因為t≤2，x∈(0,+∞)，所以ex?tx+12x2≥ex?2x+12x2，

所以只需證ex?2x+12x2>58，即證ex?2x+12x2?58>0，

設(shè)g(x)=ex?2x+12x2?58，則g′(x)=ex+x?2，

令t(x)=ex+x?2，

t′(x)=ex+1>0，

故g′(x)=ex+x?2在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增，

.而g′(0)=?1<0，g′(12)=e?32>0，

從而存在x0∈(0,12)，使得g′(x0)=0，即ex0+x0?2=0，

所以，當(dāng)x∈(0,x0)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(x0,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

因此，g(x)min=g(x0)=ex0?2x0+12x02?58

=12x02?3x0+118>12.(12)2?3?12+118=0，

所以，e【解析】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于較難題

(1)求導(dǎo)可得g′(x)=ex+x?2在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增，再研究原函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果；

(2)當(dāng)t=1時，不等式可化為ex?(a+1)x?b≥0，不妨設(shè)h(x)=ex?(a+1)x?b，則h′(x)=ex?(a+1)19.【答案】解：(1)由題知：數(shù)列A4:1，4，2，9經(jīng)過1～4次“ω變換”后得到的數(shù)列依次為：3，2，7，8;1，5，1，5;4，4，4，4;0，0，0，0;

(2)充分性：當(dāng)a1=a2