2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練(新高考專用)重難點(diǎn)05利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題【六大題型】(原卷版)

重難點(diǎn)05利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【六大題型】【新高考專用】從近幾年的高考情況來看，恒(能)成立問題是高考的常考考點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)問題，其中不等式的恒(能)成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度較大，解題時要學(xué)會靈活求解.【知識點(diǎn)1不等式恒（能）成立問題的解題策略】1．不等式恒（能）成立問題的求解方法解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進(jìn)而解決問題．②恒成立；恒成立；能成立；能成立.(2)分類討論法解決恒（能）成立問題分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.【知識點(diǎn)2雙變量的恒（能）成立問題的解題策略】1．雙變量的恒（能）成立問題的求解方法“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價變換，常見的等價變換有：對于某一區(qū)間I，(1).(2).(3).【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】【例1】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)fx=e2x?e?2x?ax，若x≥0時，恒有fx≥0，則a的取值范圍是（

）A．?∞,2 B．?∞,4 C．【變式1-1】（2024·河南·三模）若關(guān)于x的不等式ex+x+2ln1xA．12 B．e24 C．1【變式1-2】（2024·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù)fx=ax+a(1)討論函數(shù)fx(2)若fx>1恒成立，求實(shí)數(shù)【變式1-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若a=1，證明：fx(2)若fx≥2e【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】【例2】（2024·陜西·二模）?x∈1,2，有l(wèi)nx+ax2A．e,+∞ B．1,+∞ C．e【變式2-1】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=exa?lnx?1?A．0,e B．0,e C．0,e【變式2-2】（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=e(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若?x≥0,f(x)≥x2+2【變式2-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax(1)討論fx(2)當(dāng)a=3時，不等式xfx+lnx+1≤mx在區(qū)間【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】【例3】（2024·湖南·一模）若不等式ex?1?mx?2n?3≥0對?x∈R恒成立，其中m≠0，則nmA．?∞,?lnC．?e,?ln【變式3-1】（2024·陜西西安·一模）若關(guān)于x的不等式ex?2+x≥2ax2?x?lnxA．?∞,1e B．?∞,【變式3-2】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線為x+y+b=0，求實(shí)數(shù)(2)已知函數(shù)gx=fx+a2x【變式3-3】（2024·陜西銅川·三模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若?x∈0,+∞,f【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】【例4】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=emx+m?1x?lnxA．1e,+∞ B．2e,+∞【變式4-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知λ>0，對任意的x>1，不等式e2λx?lne12λA．1e,+∞C．2e,+∞【變式4-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)設(shè)a=1，若關(guān)于x的不等式fx≤b?1ex+1【變式4-3】（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx有極值，求實(shí)數(shù)a(2)若關(guān)于x的不等式fx+x1+cosx【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】【例5】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ae(1)證明：當(dāng)a=1時，?x∈0,+(2)若fx與gx有兩條公切線，求【變式5-1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若對?x∈0,+∞,f(2)證明：對任意正整數(shù)n，不等式k=1n【變式5-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若存在正數(shù)x，使fx≥0成立，求(3)若0<x1<x2，證明：對任意a∈【變式5-3】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知fx(1)若a>?1，證明：f(x)在(0,+∞(2)若?1<a<?1①證明：存在唯一的實(shí)數(shù)x0∈[?2π②記①中fx0=m，證明：當(dāng)x∈【題型6雙變量的恒（能）成立問題】【例6】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2xlnx?ax2，若對任意的x1,xA．12e,+∞ B．1,+∞ 【變式6-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnxx,gx=axeA．?∞,?2 B．?2,?1 C．?1,+∞【變式6-2】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知fx=alnx+12x(1)求gx在?π,π(2)如果對任意的x1∈?π,π，存在x2∈【變式6-3】（2024·四川瀘州·一模）已知函數(shù)fx=ax+1?xlnx的圖像在(1)求函數(shù)fx(2)若?x1,x2∈0,+一、單選題1．（2024·四川達(dá)州·二模）當(dāng)x≥0時，不等式ex?ax≥(x?1)2恒成立，則A．(?∞,1] C．(?∞，e] D．2．（2024·吉林·模擬預(yù)測）若關(guān)于x不等式lnax≤x+b恒成立，則當(dāng)1e≤a≤eA．1e+1 B．e?1 C．13．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式axex+x>1?A．?1e2,+∞ B．?14．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若存在x∈0,+∞，使得不等式a2x4A．12e,+∞ B．1e,+5．（2024·陜西商洛·三模）已知λ>0，對任意的x>1，不等式e2λx?lnx2λA．2e,+∞ B．12e,+6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ex+1?aln(ax)+a(a>0)，若關(guān)于x的不等式f(x)>0A．(0,+∞) B．(0,e) C．7．（2024·四川樂山·二模）若存在x0∈?1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=1?elnx?3x,x>0(x?2)eA．?∞,3 C．6e?2,3二、多選題9．（2024·河南信陽·一模）若關(guān)于x的不等式ex?2+x≥2ax2?xlnxA．1e B．12 C．e10．（2024·新疆·一模）設(shè)fx=1+xlnx,gx=a?1x，若fA．3?ln22 B．3 C．211．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x?2),g(x)=xlnx．若A．?x∈(2,+∞),f(x)<g(x) C．?x0∈(2,+三、填空題12．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若不等式2x3?ax2+1≥0對任意x∈[0,+∞13．（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?aeax，若對任意的x≥114．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)fx=x?2ex+lnx，gx=ax+b，對任意a∈?四、解答題15．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx(2)若fx≥0恒成立，求16．（2024·四川樂山·三模）已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時，討論fx(2)若存在x0∈1,+∞，使得17．（2024·浙江臺州·一模）已知函數(shù)f(x)=x(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)