2025年高考數(shù)學二輪復習【舉一反三】專練(新高考專用)重難點03函數(shù)性質(zhì)的靈活運用【九大題型】(原卷版)

重難點03函數(shù)性質(zhì)的靈活運用【九大題型】【新高考專用】函數(shù)及其性質(zhì)是高考數(shù)學的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個熱點內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點關注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點和不等式相結(jié)合進行考查，解題時要充分運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解．對于選擇題和填空題部分，重點考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較小；對于解答題部分，一般與導數(shù)相結(jié)合，考查難度較大，需要靈活求解.【知識點1函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解方法】1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2．函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導數(shù)法.(2)函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．3．求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.4．復雜函數(shù)求最值：對于較復雜函數(shù)，可運用導數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.【知識點2函數(shù)的奇偶性及其應用】1．函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.(3)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．(4)復合函數(shù)的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．(5)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．2．函數(shù)奇偶性的應用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關問題.【知識點3函數(shù)的周期性與對稱性常用結(jié)論】1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關于直線對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關于點對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關于點對稱.3．函數(shù)的的對稱性與周期性的關系(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(2)若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．【知識點4抽象函數(shù)及其解題策略】1．抽象函數(shù)及其求解方法我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y=f(x)表示，抽象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.【題型1函數(shù)單調(diào)性的綜合應用】【例1】（2024·海南·模擬預測）已知a>0且a≠1，若函數(shù)fx=ax與gx=log2x2+4ax+7在?1,+∞上的單調(diào)性相同，則a的取值范圍是（

A．0,12 B．12,1 C．【變式1-1】（2024·河北石家莊·模擬預測）已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減，滿足f(log2a)?f(logA．0,18 B．18,8 C．【變式1-2】（2024·湖南郴州·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=x2?2ax+a,x<01eA．(?∞,0] C．[?1,1] D．[1,+【變式1-3】（2024·黑龍江牡丹江·一模）已知gx=x3fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx在區(qū)間?∞,0A．0,13 B．8,+∞ C．(0,【題型2函數(shù)的最值問題】【例2】（2024·江西鷹潭·三模）若fx=x+2+3x?aA．6或?18 B．?6或18C．6或18 D．?6或?18【變式2-1】（2024·福建·三模）定義在R上的偶函數(shù)fx和奇函數(shù)gx滿足fx+gx=2x+1，若函數(shù)A．1 B．3 C．22 D．【變式2-2】（2024·安徽淮北·二模）當實數(shù)t變化時，函數(shù)fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【變式2-3】（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，若對于任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(x)+f(y)=f(xy)+2，當x>1時，都有f(x)>2，且f(3)=3，則函數(shù)f(x)在區(qū)間A．2 B．3 C．4 D．5【題型3函數(shù)奇偶性的綜合應用】【例3】（2024·寧夏吳忠·一模）已知函數(shù)fx=(x?a)2+A．14 B．12 C．0【變式3-1】（2024·河北·模擬預測）已知函數(shù)fx的定義域為R，且f2x+1為奇函數(shù)，f2x+4A．fx的周期為2 B．fx圖象關于直線C．fx+1為偶函數(shù) D．f【變式3-2】（2024·四川雅安·一模）函數(shù)fx=ex+A． B．C． D．【變式3-3】（2024·安徽·模擬預測）已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，若f(x?1)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且g(x)=f(x?12)A．f(32)=1 B．fx=fx+1 C．【題型4利用對稱性解決函數(shù)問題】【例4】（2024·河南·模擬預測）函數(shù)fx=lgA．1,1 B．1,12 C．2,1 【變式4-1】（2024·海南·模擬預測）若函數(shù)fx=lnx+1x+a+2x的圖象關于點(?A．?7 B．?5 C．?3 D．?1【變式4-2】（2024·河南·三模）設函數(shù)fx的定義域為R,y=fx?1+1為奇函數(shù)，y=fx?2為偶函數(shù)，若f2024A．1 B．?1 C．0 D．?3【變式4-3】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是?∞,0∪0,+∞，對任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠xA．?1,0∪0,1 C．?∞,?1∪【題型5對稱性與周期性的綜合應用】【例5】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)fx、gx的定義域均為R，函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關于原點對稱，函數(shù)g(x+1)的圖象關于y軸對稱，f(x+2)+g(x+1)=?1,f(?4)=0，則f(2030)?g(2017)=A．?4 B．?3 C．3 D．4【變式5-1】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數(shù)fx滿足：fx+fx+2+fA．fxB．fC．fD．fx圖象的一個對稱中心為【變式5-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)fx及其導函數(shù)f′x的定義域均為R，記gx=f′x，函數(shù)f2x+3A．gx不為周期函數(shù) B．fx的圖象不關于點C．g211=1【變式5-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）定義在R上的函數(shù)fx滿足f2?x=f①直線x=1為曲線y=fx的對稱軸；②點23,0為曲線y=fx的對稱中心；③函數(shù)fx其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型6類周期函數(shù)】【例6】（23-24高一下·重慶·階段練習）設函數(shù)fx的定義域為R，滿足fx+2=12fx，且當x∈0,2時，A．5,+∞ B．C．214,+∞【變式6-1】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數(shù)fx的定義域為R，且fx+x2是奇函數(shù)，fx?x是偶函數(shù)，設函數(shù)gA．133 B．174 C．92【變式6-2】（24-25高三上·湖北·開學考試）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=13f(x)，且當x∈[0,1)時，f(x)=1?|2x?1|.若對?x∈[m,+∞)，都有f(x)≤A．103,+∞C．133,+∞【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）設函數(shù)fx的定義域為R，滿足fx+2=2fx，且當x∈0,2①f7②若對任意x∈?∞,m，都有fx≤6③若方程fx=mx?5恰有3個實數(shù)根，則m④函數(shù)fx在區(qū)間2n?2,2nn∈N+上的最大值為an，若?n∈A．1 B．2 C．3 D．4【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應用】【例7】（2024·甘肅慶陽·一模）已知函數(shù)fx的定義域為R，ffx+y=fxA．f0=0 B．C．f2024=2024 D．fx【變式7-1】（2024·貴州遵義·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：f1=12A．f0=0 B．fx的周期為4 C．f2x?1關于x=12對稱【變式7-2】（24-25高一上·寧夏石嘴山·階段練習）函數(shù)fx是定義在區(qū)間0,(1)求f(2)證明:f(3)若f4=?4，求【變式7-3】（24-25高一上·重慶·階段練習）函數(shù)fx對任意的實數(shù)a，b，都有fa+b=fa+f(1)求f0(2)求證：fx是R(3)若對任意的實數(shù)x，不等式ft?9?x【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應用】【例8】（2024·陜西西安·三模）已知y=fx是定義域為R的奇函數(shù)，若y=f2x+1的最小正周期為1，則下列說法中正確的個數(shù)是（①f14+f③f(x)的一個對稱中心為(1,0)

④f(x)的一條對稱軸為x=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-1】（2024·四川綿陽·一模）若函數(shù)fx的定義域為R，且f2x+1偶函數(shù)，fx?1關于點3,3①fx的一個周期為2

②③fx的一條對稱軸為x=5

④A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)fx(1)判斷fx(2)當x∈0,+∞時，判斷(3)若實數(shù)x滿足f2x+1>f【變式8-3】（24-25高一上·吉林長春·期中）已知定義域為R的函數(shù)fx(1)求實數(shù)a，b的值；(2)判斷fx(3)若存在t∈0,4，使fk+t【題型9函數(shù)的新定義問題】【例9】（2024·云南昆明·模擬預測）對于定義域為D的函數(shù)y=fx，若存在區(qū)間a,b?D，使得①fx在區(qū)間a,b②當fx的定義域為a,b時，fx的值域也為a,b，則稱區(qū)間已知定義在1,k上的函數(shù)fx=m2?2xA．4,42 B．42,6 C．4,6【變式9-1】（2024·上海閔行·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx，對于給定集合A，若?x1,x2∈R，當P：若fx是“1封閉”函數(shù)，則fx一定是“k封閉”函數(shù)Q：若fx是“a,b封閉”函數(shù)(a,b∈N?)，則則下列判斷正確的為（

）A．P對，Q對 B．P不對，Q對 C．P對，Q不對 D．P不對，Q不對【變式9-2】（2024·上海虹口·二模）若函數(shù)y=fx滿足：對任意x1,x2∈R,x(1)設fx=ex，gx=x(2)設fx=x+asin2x函數(shù)y=fx(3)已知函數(shù)y=fx具有性質(zhì)P，且圖像是一條連續(xù)曲線，若y=fx在R上是嚴格增函數(shù)，求證：【變式9-3】（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域D．若存在常數(shù)a(a∈R)，使得對于任意的x1∈D，都存在x2∈D，滿足f(x1)+g(x2(1)若f(x)=lnx，g(x)=ex，試判斷函數(shù)y=g(x)是否是y=f(x)關于0的“(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數(shù)y=g(x)是y=f(x)關于a的“S函數(shù)”，y=f(x)又是y=g(x)關于a的“S函數(shù)”，證明：[f(x)]min(3)已知f(x)=|x?1|，g(x)=x，其定義域均為[0,t]．給定正實數(shù)t，若存在唯一的a，使得y=g(x)是y=f(x)關于a的“S函數(shù)”，求t一、單選題1．（2024·貴州六盤水·模擬預測）定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞增，且f(2)=0，則“xf(x)<0”是“x>2”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=x+1x，若正數(shù)a，b滿足a+b=1，則f(a)f(b)的最小值是（A．2 B．174 C．4 D．3．（2024·廣東韶關·一模）已知函數(shù)fx=x2?2ax?1,x<12xA．?∞,2 B．1,2 C．1,+∞4．（2024·廣東河源·模擬預測）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1為奇函數(shù)，且y=f2x的圖象關于直線x=1對稱，若f0=?1A．?1 B．0 C．1 D．25．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)fx的定義域為0,+∞，且x+yfx+y=xyfA．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<b<a6．（2024·四川南充·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關于點12,12對稱，且滿足f(x)=12f(5x)，f(0)=0，當0≤A．1256 B．1128 C．1647．（2024·陜西榆林·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(0)<0，f(3?x)=f(1+x)，g(2?x)+g(x)=2，g(x+12)=f(2x)+1，則下列說法中錯誤A．x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸B．2是g(x)的一個周期C．函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心為3,0D．若n∈N?且n<2023，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=0，則8．（2024·湖北荊州·三模）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)m=6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．我們記一個正整數(shù)nn≠1經(jīng)過Kn次上述運算法則后首次得到1（若n經(jīng)過有限次上述運算法則均無法得到1，則記KnA．Kn可看作一個定義域和值域均為NB．KnC．對任意正整數(shù)nn≠1，都有D．K二、多選題9．（2024·山西陽泉·三模）已知定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)在(?∞C．f(x)是偶函數(shù) D．f(x)在(0,+∞10．（2024·四川德陽·一模）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+fA．f0=2 B．C．6是fx的一個周期 D．11．（2024·湖南永州·模擬預測）已知定義在R上的偶函數(shù)fx和奇函數(shù)gx滿足A．fx的圖象關于點2,1B．fxC．k=1D．存在函數(shù)?x，使得對?x∈R三、填空題12．（2024·廣東湛江·一模）若函數(shù)f(x)=a?b2x?b13．（