2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試專題2立體幾何中的證明與計(jì)算課件

微專題2立體幾何中的證明與計(jì)算大題考法1

PART01第一部分大題考法1平行、垂直關(guān)系的證明

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，BC⊥平面PAB，∠APB＝90°，PB＝BC，N為PC的中點(diǎn)．(1)若M為AB的中點(diǎn)，求證：MN∥平面APD；【證明】設(shè)AC∩BD＝G，連接NG，MG，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以G是AC，BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，所以NG∥PA，MG∥AD.因?yàn)镹G?平面APD，PA?平面APD，MG?平面APD，AD?平面APD，所以NG∥平面APD，MG∥平面APD.因?yàn)镹G∩MG＝G，NG，MG?平面MNG，所以平面MNG∥平面APD.又因?yàn)镸N?平面MNG，所以MN∥平面APD.(2)求證：平面BDN⊥平面PAC.【證明】因?yàn)锽C⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以BC⊥PA，因?yàn)椤螦PB＝90°，所以BP⊥PA.因?yàn)锽C∩BP＝B，BC，BP?平面PBC，所以PA⊥平面PBC.因?yàn)锽N?平面PBC，所以BN⊥PA.因?yàn)镻B＝BC，N為PC的中點(diǎn)，所以BN⊥PC.因?yàn)镻C∩PA＝P，PC，PA?平面PAC，所以BN⊥平面PAC.又因?yàn)锽N?平面BDN，所以平面BDN⊥平面PAC.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥DC，CB＝DC＝1.點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱AB上一點(diǎn)，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD.證明：(1)AC⊥平面PBC；得∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，AC?平面ABCD，所以AC⊥平面PBC.(2)EF∥平面PAD.大題考法2PART02第二部分(1)若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；【解】證明：由于PA⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以AD⊥AB.因?yàn)锳B2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以BC∥AD，因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.利用空間向量解答立體幾何中空間角的問題的一般步驟是：(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量、平面的法向量．(3)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系．(4)根據(jù)定理、結(jié)論求出相應(yīng)的角．(2024·北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，點(diǎn)E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2.(1)若F為線段PE的中點(diǎn)，求證：BF∥平面PCD；(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．解：因?yàn)锳B⊥平面PAD，PE?平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.連接EC，易知四邊形ABCE為矩形，故直線EC，ED，PE兩兩垂直，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC，ED，PE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，命題角度?求距離

(2024·天津卷)如圖，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)．(1)求證D1N∥平面CB1M；(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)B到平面CB1M的距離．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1.(1)求證：AC∥平面BA1C1；解：證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1.因?yàn)锳C?平面BA1C1，A1C1?平面BA1C1，所以AC∥平面BA1C1.(2)若AB⊥BC，求：①AA1與平面BA1C1所成角的正弦值；②直線AC到平面BA1C1的距離．解：因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，又AB⊥BC，所以AB，BC，BB1兩兩互相垂直．如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BB1，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B1(0，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，1，0)，大題考法3PART03第三部分(1)證明：EF⊥PD；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．(1)破解平面圖形折疊問題的解題步驟：①看定與變：弄清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．②雙圖并用：在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形．③用公式：利用兩向量的夾角公式，點(diǎn)到面的距離公式等進(jìn)行求解．④下結(jié)論：得出正確的結(jié)論．(2)破解空間中的探索性問題的解題步驟：①觀圖巧證明：找出點(diǎn)或線的位置關(guān)系，并用向量表示出來，然后加以證明．②假設(shè)存在：假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在．③構(gòu)建方程(組)：利用參數(shù)表示相關(guān)的點(diǎn)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行或角的關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．④得出結(jié)論：若能求出參數(shù)的值且符合限定的范圍，則說明假設(shè)成立，即存在，否則不存在．解：證明：連接BD，記AC∩BD＝O，連接OP，由四邊