2025屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試專題6極值點偏移課件

微專題6極值點偏移大題考法1

PART01第一部分(2)若函數(shù)f(x)在x＝e處取得極值，且f′(x1)＝f′(x2)，x1<x2，證明：2<x1＋x2<e.令g(x)＝2x(lnx－1)(x>0)，因為g′(x)＝2lnx，當x＝1時，g′(x)＝0；當x∈(0，1)時，g′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．且當x∈(0，e)時，g(x)＝2x(lnx－1)<0；當x∈(e，＋∞)時，g(x)＝2x(lnx－1)>0，故0<x1<1<x2<e.先證x1＋x2>2，只需證x2>2－x1，易知x2>1，2－x1>1，下面證明：g(x1)＝g(x2)>g(2－x1).設t(x)＝g(2－x)－g(x)，x∈(0，1)，則t′(x)＝－g′(2－x)－g′(x)，t′(x)＝－2ln(2－x)－2lnx＝－2ln[(2－x)·x]>0，故t(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，又t(1)＝0，故t(x)<0，所以t(x1)＝g(2－x1)－g(x1)<0，則g(2－x1)<g(x1)＝g(x2)，所以2－x1<x2，即得x1＋x2>2.下面證明：x1＋x2<e.令g(x1)＝g(x2)＝m，當x∈(0，1)時，g(x)－(－2x)＝2xlnx<0，所以g(x)<－2x成立，對稱構造法是解決極值點偏移的基本方法，主要有四個基本步驟：①求函數(shù)f(x)的極值點x0；②構造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；③確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；④結合F(x0)＝0，判斷F(x)的符號，從而確定f(x)，f(2x0－x)的大小關系．記憶口訣為：極值偏離對稱軸，構造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設函數(shù)g(x)＝f(x)＋a，若x1，x2∈(0，e]是函數(shù)g(x)的兩個不同零點，①求實數(shù)a的取值范圍；②求證：x1x2＜1.解：①若x1，x2∈(0，e]是g(x)的兩個不同零點，則y＝f(x)的圖象與直線y＝－a在(0，e]上有兩個不同交點．由(1)知f(x)max＝f(1)＝－1，又f(e)＝1－e，則f(x)在(0，e]上的大致圖象如圖所示，由圖象可知1－e≤－a＜－1，所以1＜a≤e－1，即實數(shù)a的取值范圍為(1，e－1].大題考法2PART02第二部分(2)證明：若f(x)有兩個零點x1，x2，則x1x2<1.消參減元在消去參數(shù)后常利用比(差)值換元進行減元，進而建立與所求解問題相關的函數(shù)．就是根據(jù)已知條件首先建立x1，x2之間的關系，然后利用x1，x2之比(差)作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．此法用比值或差值(一般用t表示)表示x1，x2，繼而將所求解問題轉化為關于t的函數(shù)問題．其解題要點如下：建方程根據(jù)題設條件建立x1，x2所滿足的方程定關系根據(jù)x1，x2所滿足的方程，利用方程解的理論，建立x1，x2與參數(shù)之間的關系消參減元根據(jù)x1，x2之間的關系，化簡或轉化所求解問題，進行消參減元構造函數(shù)根據(jù)消參減元后的式子結構特征，構建相應的函數(shù)求解問題利用導數(shù)研究所構造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而解決相關問題已知函數(shù)f(x)＝