湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

高考資源網(wǎng)(）您身邊的高考專家（AI教學(xué)）訂購熱線漢市常青聯(lián)合體：2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：武漢市第十五中學(xué)命題教師：徐煊審題教師：冷秋君考試時(shí)間：2025年1月15日試卷滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.計(jì)算的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為特殊角三角函數(shù)值即可解決.【詳解】故選：C2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域和分母不為零求解即可；【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：D.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求解.【詳解】,所以要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位，故選:D.4.設(shè)，，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)、、的圖象，結(jié)合圖象可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】作出函數(shù)、、的圖象如下圖所示：因?yàn)?，，，由圖象可得.故選：D.5.函數(shù)的零點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別計(jì)算，判斷其正負(fù)，由零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為，可得.【詳解】已知，；，所以，可知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為，故.故選：C.6.已知銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】注意到，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求角的正弦，再利用誘導(dǎo)公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以且，所以得，由誘導(dǎo)公式得，.所以.故選:D7.“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”模型，其截面如圖所示．若圓柱材料的截面圓的半徑長(zhǎng)為，圓心為，墻壁截面為矩形，且劣弧的長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的截面面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形面積公式和三角形面積公式即可.【詳解】由題意得劣弧的長(zhǎng)為2，半徑，設(shè)，則，即，則扇形的面積為，過點(diǎn)作，則，則，，，則，所以圓材埋在墻壁內(nèi)部的截面面積等于，故選：D.8.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函數(shù)的周期為4，作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)與的圖像在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，然后分及討論即可．【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，又對(duì)任意，都有，則關(guān)于對(duì)稱，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，得函數(shù)與的圖像在上有個(gè)不同的交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得；當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則下列等式正確的是（

）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，），所以，即，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由A項(xiàng)知，所以，又，所以不一定成立，故C項(xiàng)不成立；對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.10.下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項(xiàng)D正確；故選：BD11.關(guān)于函數(shù)的下述四個(gè)結(jié)論，正確的有（）A.若，則B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】①根據(jù)對(duì)稱中心進(jìn)行分析；②根據(jù)對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值特征進(jìn)行分析；③根據(jù)的單調(diào)性進(jìn)行分析；④利用函數(shù)圖象的平移進(jìn)行分析，注意誘導(dǎo)公式的運(yùn)用．【詳解】由知點(diǎn)，是圖象的兩個(gè)對(duì)稱中心，則，A正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)是的對(duì)稱中心，B正確；由，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，D正確，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則的值為__________．【答案】4【解析】【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，所以．故答案為：413.函數(shù)在的值域________．【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，令，結(jié)合的單調(diào)性求解．【詳解】，∵，∴，令，則在遞增，在遞減，當(dāng)時(shí)，y取最小值1，當(dāng)時(shí)，y取最大值，故函數(shù)的值域是，故答案為：．14.已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用其解析式推出，則可將不等式對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為，即對(duì)恒成立，即可求得答案.【詳解】由題意知單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增，又，故不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以，即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，解答時(shí)要注意判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)滿足的性質(zhì)，因而解答的關(guān)鍵是利用函數(shù)滿足的性質(zhì)脫去函數(shù)符號(hào)“f”,將問題轉(zhuǎn)化為，即對(duì)恒成立，即可解決.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟）15.（1）已知，求.（2）已知，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將原式化為即可求出；（2）由平方可得，即可求出.【詳解】（1）∵，原式.（2）∵，∴，∴..∵，∴，∴.16.函數(shù)的部分圖像如圖所示.（1）求及圖中的值，并求函數(shù)的最小正周期；（2）若在區(qū)間上只有一個(gè)最小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），，最小正周期為2（2）【解析】【分析】（1）將代入解出，進(jìn)而求解即可；（2）由余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】將代入得，解得，所以，令得，，解得，，所以圖中對(duì)稱軸為，由對(duì)稱性得，解得.的最小正周期.【小問2詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)令解得，，由余弦函數(shù)的圖像在區(qū)間上只有一個(gè)最小值點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性：（3）若，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求參數(shù)；（2）令，作差法判斷大小即可；（3）問題化為時(shí)恒成立，由指數(shù)、分式性質(zhì)求的區(qū)間值域，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，所以，即.【小問2詳解】單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知：，令，則，而，，，所以，故單調(diào)遞增.【小問3詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)恒成立，而，所以即可，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知定義在上的函數(shù)滿足且，.（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)列方程，求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值即可；（3）由題意得，先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，再求解使得成立的實(shí)數(shù)取值范圍即可.【小問1詳解】由題意知，，即，所以，故【小問2詳解】由（1）知，，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又的對(duì)稱軸為，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.19.列奧納多達(dá)芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文藝復(fù)興三杰之一．他曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達(dá)式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為．（1）證明：；（2）求不等式：的解集；（3）函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）（（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)代入計(jì)算即可；（2）求出的單調(diào)性和奇偶性，得到，，求出解集；（3）參變分離得到在有2個(gè)實(shí)數(shù)根，換元得到，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到的值域，與有兩個(gè)交點(diǎn)，故需滿足，即.【小問1詳解】．【小問2詳解】因?yàn)楹愠闪?，故是奇函?shù)．又因?yàn)樵谏蠂?yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，故是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即，所以，解得，即所求不等式的解集為；【小問3詳解】因?yàn)榈膱D象在區(qū)間上與軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即在有2個(gè)實(shí)數(shù)根，所以在有2個(gè)實(shí)數(shù)根，令，易知在上單調(diào)遞增，所以，則，令，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，作函數(shù)草圖如圖，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有兩