2024年陜西省中考數(shù)學(xué)試題含解析

2024年陜西省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），全卷共8頁(yè)，總分120分，考試時(shí)間120分鐘2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類(lèi)型信息點(diǎn)（A或B）3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑5．考試結(jié)束，本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共24分）一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.2.如圖，將半圓繞直徑所在的虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）A. B. C. D.3.如圖，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.4.不等式解集是（）A. B. C. D.5.如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，連接，則圖中的直角三角形有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)6.一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為（）A. B. C. D.7.如圖，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長(zhǎng)為（）A.2 B.3 C. D.8.已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.圖象的開(kāi)口向上 B.當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大C.圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限 D.圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)第二部分（非選擇題共96分）二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9.分解因式：=_______________．10.小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖，將0，，，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是________．（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）11.如圖，是弦，連接，，是所對(duì)的圓周角，則與的和的度數(shù)是________．12.已知點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則________0．13.如圖，在中，，E是邊上一點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為_(kāi)_______．三、解答題（共13小題，計(jì)81分。解答題應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程）14.計(jì)算：．15.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．16解方程：．17.如圖，已知直線(xiàn)l和l外一點(diǎn)A，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角，使得頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)C都在直線(xiàn)l上．（作出符合題意一個(gè)等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）18.如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊上，且．求證：．19.一個(gè)不透明的袋子中共裝有五個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球，這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下顏色后放回，記作隨機(jī)摸球一次．（1）隨機(jī)摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是________．（2）隨機(jī)摸球2次，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．20.星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需；若爸爸單獨(dú)完成，需．當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時(shí)間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成剩余的打掃任務(wù)．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長(zhǎng)時(shí)間．21.如圖所示，一座小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為，小明想利用這個(gè)觀景臺(tái)測(cè)量對(duì)面山頂C點(diǎn)處的海拔高度，他在該觀景臺(tái)上選定了一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，再在上選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，．求山頂C點(diǎn)處的海拔高度．（小明身高忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，）22.我國(guó)新能源汽車(chē)快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車(chē)從A市前往B市，他駕車(chē)從A市一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車(chē)的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車(chē)在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量與行駛路程之間的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）已知這輛車(chē)“滿(mǎn)電量”為，求王師傅駕車(chē)從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車(chē)的剩余電量占“滿(mǎn)電量”的百分之多少．23.水資源問(wèn)題是全球關(guān)注的熱點(diǎn)，節(jié)約用水已成為全民共識(shí)．某校課外興趣小組想了解居民家庭用水情況，他們從一小區(qū)隨機(jī)抽取了30戶(hù)家庭，收集了這30戶(hù)家庭去年7月份的用水量，并對(duì)這30個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表：組別用水量組內(nèi)平均數(shù)ABCD根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)：（1）這30個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在________組（填組別）；（2）求這30戶(hù)家庭去年7月份的總用水量；（3）該小區(qū)有1000戶(hù)家庭，若每戶(hù)家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量節(jié)約，請(qǐng)估計(jì)這1000戶(hù)家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約多少?24.如圖，直線(xiàn)l與相切于點(diǎn)A，是的直徑，點(diǎn)C，D在l上，且位于點(diǎn)A兩側(cè)，連接，分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．（1）求證：；（2）若的半徑，，，求的長(zhǎng)．25.一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線(xiàn)型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線(xiàn)為x軸，以橋塔所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線(xiàn)與纜索所在拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）（1）求纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長(zhǎng)．26.問(wèn)題提出（1）如圖1，在中，，，作的外接圓．則的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（結(jié)果保留π）問(wèn)題解決（2）如圖2所示，道路的一側(cè)是濕地．某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測(cè)點(diǎn)D，E，C，線(xiàn)段和為觀測(cè)步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B為觀測(cè)步道出入口，已知點(diǎn)E在上，且，，，，，現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P，使．再在線(xiàn)段上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)F，并修通三條新步道，使新步道經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)E，并將五邊形的面積平分．請(qǐng)問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F?若存在，求此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（點(diǎn)A，B，C，P，D在同一平面內(nèi)，道路與觀測(cè)步道的寬、觀測(cè)點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）2024年陜西省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），全卷共8頁(yè)，總分120分，考試時(shí)間120分鐘2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類(lèi)型信息點(diǎn)（A或B）3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑5．考試結(jié)束，本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共24分）一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，即可求解．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是.故選C2.如圖，將半圓繞直徑所在的虛線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體問(wèn)題．根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特征判斷即可．【詳解】解：將一個(gè)半圓繞它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是球，故選：C．3.如圖，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)“兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”，得到，再根據(jù)“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，即可得到答案．【詳解】，，，，，．故選B．4.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查解一元一次不等式．通過(guò)去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1，即可求解．【詳解】解：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并得：，解得：，故選：D．5.如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，連接，則圖中的直角三角形有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷．【詳解】解：由圖得，，，為直角三角形，共有4個(gè)直角三角形．故選：C．6.一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查正比例函數(shù)的圖象，坐標(biāo)與中心對(duì)稱(chēng)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，∴，，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：，把代入，得：，∴；故選A．7.如圖，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長(zhǎng)為（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由題意得，∴，∴，即，解得，故選：B．8.已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.圖象開(kāi)口向上 B.當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大C.圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限 D.圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)【答案】D【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：由題意得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象的開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A不符合題意；圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，故選項(xiàng)D符合題意；當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大，當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而減小，故選項(xiàng)B不符合題意；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，圖象的開(kāi)口向下，∴圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選項(xiàng)C不符合題意；故選：D．第二部分（非選擇題共96分）二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9.分解因式：=_______________．【答案】a（a﹣b）．【解析】【詳解】解：=a（a﹣b）．故答案為a（a﹣b）．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解-提公因式法．10.小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖，將0，，，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是________．（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）【答案】0【解析】【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫(xiě)即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，填寫(xiě)如下：，滿(mǎn)足題意；故答案為：0．11.如圖，是的弦，連接，，是所對(duì)的圓周角，則與的和的度數(shù)是________．【答案】##90度【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，由此即得答案．【詳解】是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)的圓心角，，，，，，，，．故答案為：．12.已知點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則________0．【答案】##小于【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，先求出，，再根據(jù)，得出，最后求出即可．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∵，∴，∴．故答案為：．13.如圖，在中，，E是邊上一點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為_(kāi)_______．【答案】60【解析】【分析】本題考查等邊對(duì)等角，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理：過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，得到，進(jìn)而得到四邊形的面積等于，設(shè)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用面積公式求出的面積即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，過(guò)點(diǎn)作，，則：，∵，且，∴，∴四邊形的面積，∵，∴，設(shè)，則：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四邊形的面積為60．故答案為：60．三、解答題（共13小題，計(jì)81分。解答題應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程）14.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)算術(shù)平方根、零次冪、有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：．15先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，6【解析】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算以及求值．根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入即可求解．【詳解】解：；當(dāng)，時(shí)，原式．16.解方程：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的解．17.如圖，已知直線(xiàn)l和l外一點(diǎn)A，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角，使得頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)C都在直線(xiàn)l上．（作出符合題意的一個(gè)等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖．過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，再在直線(xiàn)l上截取點(diǎn)C，使，連接，則是所求作的等腰直角三角形．【詳解】解：等腰直角如圖所示：18.如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊上，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再推出，利用證明，即可得到．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．19.一個(gè)不透明的袋子中共裝有五個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球，這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下顏色后放回，記作隨機(jī)摸球一次．（1）隨機(jī)摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是________．（2）隨機(jī)摸球2次，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．【答案】（1）0.3（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)“頻數(shù)除以總數(shù)等于頻率”求解即可；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖可得，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球有9種結(jié)果，再利用概率公式求解即可．小問(wèn)1詳解】解：由題意得，摸出黃球的頻率是，故答案為：0.3；【小問(wèn)2詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球有9種結(jié)果，∴兩次摸出的小球都是紅球的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查求頻率的公式、畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率、概率公式，熟練掌握畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率的方法是解題的關(guān)鍵．20.星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需；若爸爸單獨(dú)完成，需．當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時(shí)間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成剩余的打掃任務(wù)．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長(zhǎng)時(shí)間．【答案】小峰打掃了．【解析】【分析】本題是一道工程問(wèn)題的應(yīng)用題．設(shè)小峰打掃了，爸爸打掃了，根據(jù)總工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)總工作量為1，小峰打掃了，爸爸打掃了，則小峰打掃任務(wù)的工作效率為，爸爸打掃任務(wù)的工作效率為，由題意，得：，解得：，答：小峰打掃了．21.如圖所示，一座小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為，小明想利用這個(gè)觀景臺(tái)測(cè)量對(duì)面山頂C點(diǎn)處的海拔高度，他在該觀景臺(tái)上選定了一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，再在上選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，．求山頂C點(diǎn)處的海拔高度．（小明身高忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】山頂C點(diǎn)處的海拔高度為．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形應(yīng)用．過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，在和中，利用三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴山頂C點(diǎn)處的海拔高度為．22.我國(guó)新能源汽車(chē)快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車(chē)從A市前往B市，他駕車(chē)從A市一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車(chē)的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車(chē)在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量與行駛路程之間的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）已知這輛車(chē)的“滿(mǎn)電量”為，求王師傅駕車(chē)從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車(chē)的剩余電量占“滿(mǎn)電量”的百分之多少．【答案】（1）y與x之間的關(guān)系式為；（2）該車(chē)的剩余電量占“滿(mǎn)電量”的．【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得當(dāng)時(shí)，y的值，再計(jì)算即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)y與x之間的關(guān)系式為，將，代入得，解得，∴y與x之間的關(guān)系式為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，答：該車(chē)的剩余電量占“滿(mǎn)電量”的．23.水資源問(wèn)題是全球關(guān)注的熱點(diǎn)，節(jié)約用水已成為全民共識(shí)．某校課外興趣小組想了解居民家庭用水情況，他們從一小區(qū)隨機(jī)抽取了30戶(hù)家庭，收集了這30戶(hù)家庭去年7月份的用水量，并對(duì)這30個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表：組別用水量組內(nèi)平均數(shù)ABCD根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)：（1）這30個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在________組（填組別）；（2）求這30戶(hù)家庭去年7月份的總用水量；（3）該小區(qū)有1000戶(hù)家庭，若每戶(hù)家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量節(jié)約，請(qǐng)估計(jì)這1000戶(hù)家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約多少?【答案】（1）B（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息得出相應(yīng)的量，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)組內(nèi)平均用水量和組內(nèi)戶(hù)數(shù)求出這30戶(hù)家庭去年7月份的總用水量即可；（3）用樣本估計(jì)總體即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知：組有10戶(hù)，B組有12戶(hù)，C組有6戶(hù)，D組有2戶(hù)，∴將30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序，排在第15和16的兩個(gè)數(shù)據(jù)一定落在B組，∴這30個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在B組；【小問(wèn)2詳解】解：這30戶(hù)家庭去年7月份的總用水量為：；【小問(wèn)3詳解】解：去年每戶(hù)家庭7月份的用水量約為：，∵每戶(hù)家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量節(jié)約，∴今年每戶(hù)家庭7月份的節(jié)約用水量約為：，∴估計(jì)這1000戶(hù)家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約：．24.如圖，直線(xiàn)l與相切于點(diǎn)A，是的直徑，點(diǎn)C，D在l上，且位于點(diǎn)A兩側(cè)，連接，分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．（1）求證：；（2）若的半徑，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）利用切線(xiàn)和直徑的性質(zhì)求得，再利用等角的余角相等即可證明；（2）先求得，，證明和是等腰直角三角形，求得的長(zhǎng)，再證明，據(jù)此求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵直線(xiàn)l與相切于點(diǎn)A，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，，∵直線(xiàn)l與相切于點(diǎn)A，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵是的直徑，∴，∴也是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25.一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線(xiàn)型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線(xiàn)為x軸，以橋塔所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線(xiàn)與纜索所在拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）（1）求纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）的長(zhǎng)為．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意設(shè)纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求解即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，由，把代入求得，，據(jù)此求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：由題意得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得，解得，∴纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】解：∵纜索所在拋物線(xiàn)與纜索所在拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴纜索所在拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴把代入得，，解得，，∴或，∵，∴的長(zhǎng)為．26.問(wèn)題提出（1）如圖1，在中，，，作的外接圓．則的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（結(jié)果保留π）問(wèn)題解決（2）如圖2所示，道路的一側(cè)是濕地．某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測(cè)點(diǎn)D，E，C，線(xiàn)段和為觀測(cè)步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B為觀測(cè)步道出入口，已知點(diǎn)E在上，且，，，，，現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P，使．再在線(xiàn)段上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)F，并修通三條新步道，使新步道經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)E，并將五邊形的面積平分．請(qǐng)問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F?若存在，求此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（點(diǎn)A，B，C，P，D在同一平面內(nèi)，道路與觀測(cè)步道的寬、觀測(cè)點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）；（2）存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F，此時(shí)的長(zhǎng)為．【解析】【分析】（1）連接，證明等邊三角形，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解；（2）點(diǎn)P在以為圓心，圓心角為的圓上，如圖，由題意知直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，得到四邊形是平行四邊形，求得，作于點(diǎn)，解直角三角形求得和的長(zhǎng)，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）連接，∵，∴，∵，∴等邊三角形，∵，∴，∴的長(zhǎng)為；故答案為：；（2）存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F，此時(shí)的長(zhǎng)為．理由如下，解：∵，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P，使，∴點(diǎn)P在以為圓心，為弦，圓心角為的圓上，如圖，∵，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)都平分四邊形的面積，∵新步道經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)E，并將五邊形的面積平分，∴直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，作于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，即，∴，在中，，∴．答：存在滿(mǎn)足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F，此時(shí)的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷1．本場(chǎng)考試時(shí)間100分鐘，試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，答題紙共2頁(yè)．2．作答前，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定位置填寫(xiě)姓名、報(bào)名號(hào)、座位號(hào)．井將核對(duì)后的條形碼貼在答題紙指定位置．3．所有作答務(wù)必填涂或書(shū)寫(xiě)在答題紙上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、選擇題（每題4分，共24分）1.如果，那么下列正確的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【詳解】解：A．兩邊都加上，不等號(hào)的方向不改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；B．兩邊都加上，不等號(hào)的方向不改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；C．兩邊同時(shí)乘上大于零的數(shù)，不等號(hào)的方向不改變，故正確，符合題意；D．兩邊同時(shí)乘上小于零的數(shù)，不等號(hào)的方向改變，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查求函數(shù)定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0，解不等式即可得到答案，熟練掌握求函數(shù)定義域的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：函數(shù)的定義域是，解得，故選：D．3.以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．分別計(jì)算出各選項(xiàng)中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)不符合題意；B．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故B選項(xiàng)不符合題意；C．，該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)不符合題意；D．，該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：D．4.科學(xué)家同時(shí)培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個(gè)開(kāi)花時(shí)間最短的并且最平穩(wěn)的．種類(lèi)甲種類(lèi)乙種類(lèi)丙種類(lèi)丁種類(lèi)平均數(shù)2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A.甲種類(lèi) B.乙種類(lèi) C.丙種類(lèi) D.丁種類(lèi)【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了用平均數(shù)和方差做決策，根據(jù)平均數(shù)的定義以及方差的定義做決策即可．解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【詳解】解：∵由表格可知四種花開(kāi)花時(shí)間最短的為甲種類(lèi)和乙種類(lèi)，四種花的方差最小的為乙種類(lèi)和丁種類(lèi)，方差越小越穩(wěn)定，∴乙種類(lèi)開(kāi)花時(shí)間最短的并且最平穩(wěn)的，故選：B．5.四邊形為矩形，過(guò)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，過(guò)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，如果四個(gè)垂線(xiàn)拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形【答案】A【解析】【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進(jìn)而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過(guò)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，過(guò)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，，如果四個(gè)垂線(xiàn)拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為菱形，故選：A．6.在中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，分別以為圓心畫(huà)，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓含在圓內(nèi)，即，在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：當(dāng)?shù)轿恢脮r(shí)，圓與圓圓心距離最大，為，，圓與圓相交，故選：B．二、填空題（每題4分，共48分）7.計(jì)算：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．8.計(jì)算______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．9.已知，則___________．【答案】1【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開(kāi)方數(shù)大于0可知，則可得出，求出x即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，∴，解得：，故答案為：1．10.科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】【解析】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案為：．11.若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）【答案】減小【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出，結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的值隨的增大而減?。驹斀狻拷猓赫壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得：，又，的值隨的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p?。?2.菱形中，，則___________．【答案】##57度【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用菱形性質(zhì)得出，利用等邊對(duì)等角得出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形菱形，∴，∴，故答案為：．13.某種商品的銷(xiāo)售量y（萬(wàn)元）與廣告投入x（萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額1000萬(wàn)元，當(dāng)投入90萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售量5000萬(wàn)元，則投入80萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售量為_(kāi)__________萬(wàn)元．【答案】4500【解析】【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式及求函數(shù)值，設(shè)，根據(jù)題意找出點(diǎn)代入求出解析式，然后把代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，把，代入，得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，即投入80萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售量為4500萬(wàn)元，故答案為：4500．14.一個(gè)袋子中有若干個(gè)白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機(jī)從中摸一個(gè)球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個(gè)綠球．【答案】3【解析】【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)袋子中綠球有個(gè)，則根據(jù)概率計(jì)算公式得到球的總數(shù)為個(gè)，則白球的數(shù)量為個(gè)，再由每種球的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，列出不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)袋子中綠球有個(gè)，∵摸到綠球的概率是，∴球的總數(shù)為個(gè)，∴白球的數(shù)量為個(gè)，∵每種球的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，∴，且x為正整數(shù)，∴，且x為正整數(shù)，∴x的最小值為1，∴綠球的個(gè)數(shù)的最小值為3，∴袋子中至少有3個(gè)綠球，故答案為：3．15.如圖，在平行四邊形中，E為對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)，，若，則___________（結(jié)果用含，的式子表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了平面向量的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線(xiàn)段之間的關(guān)系．先求出，從而可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，．是上一點(diǎn)，，，，，故答案為：．16.博物館為展品準(zhǔn)備了人工講解、語(yǔ)音播報(bào)和增強(qiáng)三種講解方式，博物館共回收有效問(wèn)卷張，其中人沒(méi)有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬(wàn)人的參觀中，需要增強(qiáng)講解的人數(shù)約有__________人．【答案】【解析】【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖及用樣本的某種“率”估計(jì)總體的某種“率”，正確得出需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比是解題關(guān)鍵．先求出需求講解的人數(shù)占有效問(wèn)卷的百分比，再根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖求出需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵共回收有效問(wèn)卷1000張，其中700人沒(méi)有講解需求，剩余300人有需求講解，∴需求講解的人數(shù)占有效問(wèn)卷的百分比為，由條形統(tǒng)計(jì)圖可知：需要增強(qiáng)講解的人數(shù)為人，∴需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比為，∴在總共萬(wàn)人的參觀中，需要增強(qiáng)講解的人數(shù)約有（人），故答案為：17.在平行四邊形中，是銳角，將沿直線(xiàn)翻折至所在直線(xiàn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，若，則__________．【答案】或##或【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)在之間時(shí)，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，由翻折性質(zhì)知：，沿直線(xiàn)翻折至所在直線(xiàn)，，。，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，同理知：，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，，，故答案為：或．18.對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱(chēng)為該拋物線(xiàn)的“開(kāi)口大小”，那么拋物線(xiàn)“開(kāi)口大小”為_(kāi)_________．【答案】4【解析】【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡(jiǎn)求值等知識(shí)，讀懂題意，理解新定義拋物線(xiàn)的“開(kāi)口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線(xiàn)的“開(kāi)口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，，中存在一點(diǎn)，有，解得，則，拋物線(xiàn)“開(kāi)口大小”為，故答案為：．三、簡(jiǎn)答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了絕對(duì)值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡(jiǎn)法則是解題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：．20.解方程組：．【答案】，或者，．【解析】【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用代入法進(jìn)行求解．【詳解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴方程組的解為或者．21.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）上有一點(diǎn)，且與直線(xiàn)交于另一點(diǎn)．（1）求k與m的值；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)軸與直線(xiàn)交于點(diǎn)C，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）把B的坐標(biāo)代入，求出n，然后把B的坐標(biāo)代入，求出k，最后把A的坐標(biāo)代入求出m即可；（2）根據(jù)軸求出C的縱坐標(biāo)，然后代入，求出C的橫坐標(biāo)，利用勾股定理求出，最后根據(jù)正弦的定義求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知：設(shè)l與y軸相交于D，∵軸，軸軸，∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同，均為2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22.同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．（1）求：兩個(gè)直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用表示）；（2）請(qǐng)畫(huà)出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：不與給定的圖形狀相同；畫(huà)出三角形的邊．【答案】（1）等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；底為，高為，面積為；（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析．【解析】【分析】（）①解直角三角形即可求解；由題意可知四邊形是矩形，利用線(xiàn)段的和差可求出矩形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求出面積；（）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設(shè)計(jì)，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：①如圖，為等腰直角三角板，，則；如圖，為含的直角三角形板，，，，則，；綜上，等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；由題意可知，∴四邊形是矩形，由圖可得，，，∴，故小平行四邊形的底為，高為，面積為；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，即為所作圖形．23.如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【小問(wèn)1詳解】證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；【小問(wèn)2詳解】證明：連接交于點(diǎn)，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問(wèn)題第的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線(xiàn)后得到的新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)和．（1）求平移后新拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）直線(xiàn)（）與新拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，與原拋物線(xiàn)交于點(diǎn)Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點(diǎn)P在原拋物線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）或；（2）①；②．【解析】【分析】（1）設(shè)平移拋物線(xiàn)后得到的新拋物線(xiàn)為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)平移拋物線(xiàn)后得到的新拋物線(xiàn)為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線(xiàn)為；【小問(wèn)2詳解】解：①如圖，設(shè)，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，∴軸，∴，∴，由平移的性質(zhì)可得：，即；如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，∴，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線(xiàn)的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.25.梯形中，，點(diǎn)E在邊上，且．（1）如圖1所示，點(diǎn)F在邊上，且，聯(lián)結(jié)，求證：；（2）已知；①如圖2所示，聯(lián)結(jié)，如果外接圓的心恰好落在的平分線(xiàn)上，求的外接圓的半徑長(zhǎng)；②如圖3所示，如果點(diǎn)M在邊上，聯(lián)結(jié)、、，與交于N，如果，且，，求邊的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）①；②【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，由，得到，由已知數(shù)據(jù)得到，，故，因此；（2）①記點(diǎn)O為外接圓圓心，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，連接，先證明，再證明，則，即，求得；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)Q，由，求得，可證明，角度推導(dǎo)得，則，求出，繼而得到，由，則，設(shè)，則，由，設(shè)，，由，得到，設(shè)，可證明，求出，則，在中，運(yùn)用勾股定理得：，則，在中，由勾股定理得，，故．【小問(wèn)1詳解】證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】①解：記點(diǎn)O為外接圓圓心，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，連接，∵點(diǎn)O為外接圓圓心，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴外接圓半徑為；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)Q，∵，∴，∴，由①知，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由，得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)，∵，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，而，∴在中，由勾股定理得，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．

2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷1．本場(chǎng)考試時(shí)間100分鐘，試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，答題紙共2頁(yè)．2