2024年福建省中考真題數(shù)學試題含答案

2024年福建省中考真題數(shù)學試題含答案數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A. B.C. D.4.在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A. B. C. D.5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.7.如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為中點，則等于（）A. B. C. D.8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意方程是（）A. B.C. D.9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（）A. B.C. D.10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)，使得 B.無論實數(shù)取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)，使得 D.無論實數(shù)取什么值，都有二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．12.不等式的解集是______．13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是______．（單位：分）14.如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．15.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．16.無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：，則______．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.計算：．18.如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．19.解方程：．20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學平均分；（2）若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．22.如圖，已知直線．（1）在所在的平面內求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．23.已知實數(shù)滿足．（1）求證：非負數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．圖1圖2圖3（1）直接寫出值；（2）如果要求折成禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（）圖4A．B．C．D．（3）卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25.如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．（1）求的值；（2）求證：；（3）求證：與互相平分．數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定選擇項．本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等數(shù)．【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是故選：D．2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義解答，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負數(shù)．本題考查了科學記數(shù)法，熟悉科學記數(shù)法概念是解題關鍵．【詳解】故選：C．3.如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內部中間是一個矩形．故選：C．4.在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行線的性質，由，可得，即可求解．【詳解】∵，∴，∵，則，∴，故選：A．5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，解題的關鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項運算法則．利用同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項計算后判斷正誤．【詳解】解：，A選項錯誤；，B選項正確；，C選項錯誤；，D選項錯誤；故選：B．6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是，故選：B7.如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了切線的性質，三角形內角和以及等腰三角形的性質，根據(jù)C為的中點，三角形內角和可求出，再根據(jù)切線的性質即可求解．【詳解】∵，為的中點，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，根據(jù)題意得：，故選：A．9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等；A.由對稱的性質得，由等腰三角形的性質得，，即可判斷；B.不一定等于，即可判斷；C.由對稱的性質得，由全等三角形的性質即可判斷；D.過作，可得，由對稱性質得同理可證，即可判斷；掌握性質是解題的關鍵．【詳解】解：A.，，由對稱得，點，分別是底邊，的中點，與都是等腰三角形，，，，，結論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結論錯誤，故符合題意；C.由對稱得，，結論正確，故不符合題意；D.過作，，，，由對稱得，，同理可證，，結論正確，故不符合題意；故選：B．10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)，使得 B.無論實數(shù)取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)，使得 D.無論實數(shù)取什么值，都有【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，，的大小情況，即可解題．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，當時，，，當時，，，故A、B錯誤，不符合題意；當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．【答案】【解析】【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【詳解】解：12.不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數(shù)系數(shù)化為1，求解即可解．【詳解】解：，，，故答案為：．13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是______．（單位：分）【答案】90【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，解題的關鍵是了解中位數(shù)的求法，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（排序后，位于中間位置的數(shù)為中位數(shù)），結合圖中的數(shù)據(jù)進行計算即可；【詳解】解：∵共有12個數(shù)，∴中位數(shù)是第6和7個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是；故答案為：90．14.如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．【答案】2【解析】【分析】本題考查正方形性質，線段中點的性質，根據(jù)正方形性質和線段中點的性質得到，進而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個小三角形面積求解，即可解題．【詳解】解：正方形的面積為4，，，點，，，分別為邊，，，的中點，，，同理可得，四邊形的面積為．故答案為：2．15.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據(jù)得出，設，則，結合完全平方公式的變形與應用得出，結合，則，即可作答．詳解】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且∴設，則∵∴則∵點在第一象限∴把代入得∴經(jīng)檢驗：都是原方程的解∵∴故答案為：16.無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：，則______．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】128【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，由題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.計算：．【答案】4【解析】【分析】本小題考查零指數(shù)冪、絕對值、算術平方根等基礎知識，考查運算能力．根據(jù)零指數(shù)冪、絕對值、算術平方根分別計算即可；【詳解】解：原式．18.如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查菱形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．根據(jù)菱形的性質證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：四邊形是菱形，，，，，．19.解方程：．【答案】．【解析】【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得．去括號得：，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的根．20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學平均分；（2）若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．【答案】（1）86；（2）不能，舉例見解析．【解析】【分析】本小題考查加權平均數(shù)等基礎知識，（1）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的意義求解即可．【小問1詳解】由題意，得A地考生的數(shù)學平均分為．【小問2詳解】不能．舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學平均分為．因為，所以不能判斷B地考生數(shù)學平均分一定比地考生數(shù)學平均分高．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本小題考查二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想等．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標．【小問1詳解】解：將代入，得，解得，所以，二次函數(shù)的表達式為．【小問2詳解】設，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以點坐標為．22.如圖，已知直線．（1）在所在的平面內求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）的面積為1或．【解析】【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定以及分類討論思想：（1）先作出與垂直的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可；（2）分；；三種情況，結合三角形面積公式求解即可小問1詳解】解：如圖，直線就是所求作的直線．【小問2詳解】①當時，，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：，，．②當時，分別過點作直線的垂線，垂足為，．，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當時，同理可得，．綜上所述，面積為1或．23.已知實數(shù)滿足．（1）求證：為非負數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不可能都為整數(shù)，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，進而計算，根據(jù)非負數(shù)的性質，即可求解；（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．【小問1詳解】解：因為，所以．則．因為是實數(shù)，所以，所以為非負數(shù)．【小問2詳解】不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．①當都為奇數(shù)時，則必為偶數(shù)．又，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則必為偶數(shù)．又因為，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．【點睛】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創(chuàng)新意識等，考查綜合應用所學知識分析、解決問題的能力：考查化歸與轉化思想、分類與整合思想等．24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．圖1圖2圖3（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（）圖4A．B．C．D．（3）卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【答案】（1）2；（2）C；（3）見解析．【解析】【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）由折疊和題意可知，，，四邊形是正方形，得到，即，即可求解；（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；（3）由題意可得，每張型號卡紙可制作10個正方體，每張型號卡紙可制作2個正方體，每張型號卡紙可制作1個正方體，即可求解．【小問1詳解】解：如圖：上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，，，∵四邊形是正方形，∴，即，∴，即，∵，∴，∴的值為：．【小問2詳解】解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和“意”在對應面上，而對應面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，∴C選項符合題意，故選：C．【小問3詳解】解：卡紙型號型號型號型號需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為，則要制作一個邊長為的正方體的展開圖形為：∴型號卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖：型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖：型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖：∴可選擇型號卡紙2張，型號卡紙3張，型號卡紙1張，則（個），∴所用卡紙總費用為：（元）．25.如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．（1）求的值；（2）求證：；（3）求證：與互相平分．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結果；（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結論；（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，從而得出，得出，再上平行線判定得出，再證得，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果．【小問1詳解】，且是的直徑，．，在中，．，在中，．，；【小問2詳解】過點作，交延長線于點．．，，．，，，，，．，，，．【小問3詳解】如圖，連接．是的直徑，．，．由（2）知，，，，．．，．由（2）知，，．，，，四邊形是平行四邊形，與互相平分．【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉化思想等．2024年蘭州市初中學業(yè)水平考試數(shù)學注意事項：1.全卷共120分，考試時間120分鐘．2.考生必須將姓名、準考證號、考場號、座位號等個人信息填（涂）寫在試卷及答題卡上．3.考生務必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應位置上．4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.的絕對值是（

）A. B. C. D.2.已知∠A＝80°，則∠A補角是（）A.100° B.80° C.40° D.10°3.2024年一季度，蘭州市堅持穩(wěn)中求進、綜合施策，全市國民經(jīng)濟起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元．數(shù)據(jù)87790000000用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.計算：（）A.a B. C. D.5.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A.同位角相等，兩直線平行 B.內錯角相等，兩直線平行C.同旁內角互補，兩直線平行 D.對頂角相等7.如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（）A. B. C. D.8.七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個七巧板，2個九連環(huán)，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（）A. B. C. D.9.關于一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（）A. B. C. D.10.數(shù)學家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學著作之一，書中記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）A. B. C. D.11.如圖，在中，，，，則（）A. B. C. D.12.如圖1，在菱形中，，連接，點M從B出發(fā)沿方向以的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿方向以的速度運動至C，設運動時間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解______．14.如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點F，若，則______．15.“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當順時針轉動3周時，上的點P隨之旋轉，則______．16.甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個推斷：①甲的成績更穩(wěn)定；②乙的平均成績更高；③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是______．（填序號）三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．18.解不等式組：19.先化簡，再求值：，其中．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點B是反比例函數(shù)圖象上一點，軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，連接．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；（2）當時，求的面積．21.如圖，在中，，D是的中點，，，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長．22.在校園科技節(jié)期間，科普員為同學們進行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關性能，同學們進一步展開研究．如圖2建立直角坐標系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點O的水平距離的幾組關系數(shù)據(jù)如下：水平距離0341015202227豎直高度03.244168987.043.24（1）根據(jù)上表，請確定拋物線的表達式；（2）請計算當水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為時，水火箭距離地面的豎直高度．23.觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出以點A為頂點的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：證明：，與是等腰三角形．．（依據(jù)1______）．，（依據(jù)2______），．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O為頂點的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）24.為落實“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人，某校組織調研學生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級共180名學生中隨機抽取20名學生，對每位學生的體育和美育水平進行測評后按百分制分數(shù)量化，并進行等級評定（成績用x表示，分為四個等級，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）．對數(shù)據(jù)進行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下．信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組人數(shù)m727信息三：20位學生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計如下（共20個點）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：______；（2）下列結論正確的是______；（填序號）①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；②參與測評的20名學生美育成績的中位數(shù)對應的等級是“合格”；③在信息三中，相比于點A所代表學生，點B所代表的學生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進一步提升；（3）請結合以上信息，估計七年級全體學生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)．25.單擺是一種能夠產(chǎn)生往復擺動裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求的長．（結果精確到）參考數(shù)據(jù)：，．26.如圖，內接于，為的直徑，點D為上一點，，延長至E，使得．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．27.綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在中，點M，N分別為，上的動點（不含端點），且．【初步嘗試】（1）如圖1，當為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點M逆時針旋轉得到，連接，則，請思考并證明：【類比探究】（2）小梁嘗試改變三角形的形狀后進一步探究：如圖2，在中，，，于點E，交于點F，將繞點M逆時針旋轉得到，連接，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請直接寫出的最小值．28.在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，是線段外一點，在的延長線上，且，因為點Q在線段上，所以點P是線段的“延長2分點”．（1）如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點”；（2）如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點P是圖形的“延長2分點”，求b的最小值：（3）如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點的等腰直角三角形上存在點P，使得點P是圖形的“延長2分點”．請直接寫出t的取值范圍．市2024年蘭州市初中學業(yè)水平考試數(shù)學注意事項：1.全卷共120分，考試時間120分鐘．2.考生必須將姓名、準考證號、考場號、座位號等個人信息填（涂）寫在試卷及答題卡上．3.考生務必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應位置上．4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.的絕對值是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了絕對值的意義，熟練掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身是解題的關鍵．根據(jù)絕對值的意義解答即可．【詳解】解：的絕對值是，故選：A．2.已知∠A＝80°，則∠A的補角是（）A.100° B.80° C.40° D.10°【答案】A【解析】【分析】直接利用互補兩角的關系進而得出答案．【詳解】解：∵∠A＝80°，∴∠A補角為：180°﹣80°＝100°．故選A．【點睛】主要考查了互補兩角的關系，正確把握定義是解題關鍵．3.2024年一季度，蘭州市堅持穩(wěn)中求進、綜合施策，全市國民經(jīng)濟起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元．數(shù)據(jù)87790000000用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)．絕對值大于1的數(shù)可以用科學記數(shù)法表示，一般形式為，其中，，為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此可以解答．【詳解】解：數(shù)據(jù)87790000000用科學記數(shù)法表示為．故選：C4.計算：（）A.a B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可．【詳解】解：故選：D．5.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先判斷k、b的符號，再判斷直線經(jīng)過的象限，進而可得答案．【詳解】解：∵，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的關系，屬于基礎題型，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與其系數(shù)的關系是解題的關鍵．6.如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A.同位角相等，兩直線平行 B.內錯角相等，兩直線平行C.同旁內角互補，兩直線平行 D.對頂角相等【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行線的判定，由，即可得出福大街與平安大街互相平行，即內錯角相等，兩直線平行．【詳解】解：∵，∴福大街與平安大街互相平行，判斷的依據(jù)是：內錯角相等，兩直線平行，故選：B．7.如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查三角形的中位線的實際應用，由題意，易得為的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，即可得出結果．【詳解】解：∵點D，E，分別為的中點，∴為的中位線，∴；故選：C．8.七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個七巧板，2個九連環(huán)，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)概率公式計算概率，分析可知6個益智玩具中有1個七巧板，根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：∵一共6個盒子里面有6個益智玩具，6個益智玩具中有1個七巧板，∴從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是：，故選：D．9.關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的取值，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；當方程有兩個相等的實數(shù)根時，；當方程沒有實數(shù)根時，．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：，故選：．10.數(shù)學家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學著作之一，書中記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查根據(jù)實際問題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，列出方程組即可．【詳解】解：設買了甜果x個，苦果y個，由題意，得：；故選A．11.如圖，在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質．根據(jù)等腰三角形的性質，可得，再由三角形外角的性質，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故選：B12.如圖1，在菱形中，，連接，點M從B出發(fā)沿方向以的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿方向以的速度運動至C，設運動時間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查菱形的性質和二次函數(shù)的性質，根據(jù)題意可知，，結合菱形的性質得，過點M作于點H，則，那么，設菱形的邊長為a，則，那么點M和點N同時到達點D和點C，此時的面積達到最大值為，利用最大值即可求得運動時間，即可知菱形邊長．【詳解】解：根據(jù)題意知，，，∵四邊形為菱形，，∴，過點M作于點H，連接交于點O，如圖，則，那么，的面積為，設菱形的邊長為a，∴，∴點M和點N同時到達點D和點C，此時的面積達到最大值為，∴，解得，（負值舍去），∴．故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解______．【答案】【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【詳解】解：（x﹣1）2．故答案為：（x﹣1）2．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵．14.如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點F，若，則______．【答案】2【解析】【分析】本題考查正方形的性質，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質，得到為含30度角的直角三角形，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形，為等邊三角形，，，∴，∴，∴；故答案為：2．15.“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當順時針轉動3周時，上的點P隨之旋轉，則______．【答案】108【解析】【分析】本題主要考查了求弧長．先求出點P移動的距離，再根據(jù)弧長公式計算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：點P移動的距離為，∴，解得：．故答案為：10816.甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個推斷：①甲的成績更穩(wěn)定；②乙的平均成績更高；③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是______．（填序號）【答案】①②##②①【解析】【分析】本題考查了平均數(shù)、方差的意義．解答本題的關鍵是掌握它們的定義：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．根據(jù)方差、平均數(shù)的意義進行判斷即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)圖象可知甲的波動比乙小，則甲的成績更加穩(wěn)定，故①正確；根據(jù)圖象可知甲的平均成績穩(wěn)定在5以下，而乙的平均成績穩(wěn)定在7.5左右，則乙的平均成績更高，故②正確；如果每人再射擊一次，但乙的成績不一定比甲高，只能是可能性較大，因為乙的平均成績更高，但是波動較大，故③錯誤．故答案為：①②．三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式的運算，先根據(jù)二次根式的性質化簡，進行乘法運算，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．18.解不等式組：【答案】【解析】【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即可得出結果．【詳解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：．19.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，先通分計算括號內，將除法變乘法，進行約分化簡后，再代值計算即可．【詳解】解：原式；當時，原式．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點B是反比例函數(shù)圖象上一點，軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，連接．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；（2）當時，求的面積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，兩點之間的距離公式等知識，掌握反比例函數(shù)的性質以及一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式．（2）由已知條件求出點C，點B，點D的坐標，過點B作軸交一次函數(shù)的圖象交于點E，過點A作與點F，利用兩點之間的距離公式分別求出，，的值，最后根據(jù)即可求出答案．【小問1詳解】解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，∴，，∴，，∴反比例函數(shù)為：，一次函數(shù)的解析式為：．【小問2詳解】∵，∴，∵軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，∴點B的橫坐標為4．點D的橫坐標為4．∴，∴，∴過點B作軸交一次函數(shù)的圖象交于點E，過點A作與點F，∴，點E的縱坐標為，∴，把代入，得，∴，∴點，∴，∴21.如圖，在中，，D是的中點，，，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質，三腰三角形三線合一的性質，勾股定理等知識，掌握這些性質是解題的關鍵．（1）由等腰三角形三線合一的性質得出，有平行線的性質得出，結合已知條件可得出，即可證明四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．由矩形的性質得出，，，由已知條件可得出，由勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法可得出，即可求出．【小問1詳解】證明：∵，D是BC的中點，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．【小問2詳解】由（1）可知四邊形矩形．∴，，，∵D是的中點，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．22.在校園科技節(jié)期間，科普員為同學們進行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關性能，同學們進一步展開研究．如圖2建立直角坐標系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點O的水平距離的幾組關系數(shù)據(jù)如下：水平距離0341015202227豎直高度03.244.168987.043.24（1）根據(jù)上表，請確定拋物線的表達式；（2）請計算當水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為時，水火箭距離地面的豎直高度．【答案】（1）拋物線的表達式（2）水火箭距離地面的豎直高度米【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質，根據(jù)題意可設拋物線的表達式，結合體圖標可知拋物線的頂點坐標為，代入求解即可；由題意知，代入拋物線的表達式即可求得水火箭距離地面的豎直高度．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可知拋物線過原點，設拋物線的表達式，由表格得拋物線的頂點坐標為，則，解得，則拋物線的表達式，【小問2詳解】解：由題意知，則，那么，水火箭距離地面的豎直高度米．23.觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出以點A為頂點的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：證明：，與是等腰三角形．．（依據(jù)1______）．，（依據(jù)2______），．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O為頂點的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）見詳解，（2）等邊對等角（等腰三角形的性質）；三角形內角和定理；（3）見詳解【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線，（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長至點D，且，連接即可知以點A為頂點的為直角；（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內角和定理；（3）根據(jù)過定點作已知直線的垂線的方法作圖即可．【詳解】解：[操作體驗]（1）[推理論證]（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質）；依據(jù)2：三角形內角和定理；故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質）；三角形內角和定理；[拓展探究]（3）24.為落實“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人，某校組織調研學生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級共180名學生中隨機抽取20名學生，對每位學生的體育和美育水平進行測評后按百分制分數(shù)量化，并進行等級評定（成績用x表示，分為四個等級，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）．對數(shù)據(jù)進行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下．信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組人數(shù)m727信息三：20位學生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計如下（共20個點）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：______；（2）下列結論正確的是______；（填序號）①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；②參與測評的20名學生美育成績的中位數(shù)對應的等級是“合格”；③在信息三中，相比于點A所代表的學生，點B所代表的學生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進一步提升；（3）請結合以上信息，估計七年級全體學生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)．【答案】（1）4（2）①③（3）18【解析】【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖的相關知識，個體占比，中位數(shù)定義，用樣本估計總體等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．（1）用樣本總體減去良好成績的人生，合格成績的人數(shù)，待提高成績的人數(shù)即可得出答案．（2）①用體育成績低于80分的人數(shù)8除以樣本總體20即可得出判斷．②用中位數(shù)的定義判斷即可．③根據(jù)坐標得出點A和點B各自的美育和體育的成績判斷即可．（3）用樣本估計總體即可．【小問1詳解】解：，故答案為：4．【小問2詳解】①根據(jù)20位學生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計圖可知：體育成績低于80分的人數(shù)有8人，∴體育成績低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的，故①正確．②∵一共有20人，成績從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，∴中位數(shù)位于之間，即參與測評的20名學生美育成績的中位數(shù)對應的等級是“良好”，故②錯誤．③在信息三中，點A的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，點B的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，所以相比于點A所代表的學生，點B所代表的學生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進一步提升，故③正確，故有①③正確，故答案為①③．【小問3詳解】根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績都在90分以及以上的只有2人．故七年級全體學生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)有人．25.單擺是一種能夠產(chǎn)生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動