2023考研：線代必練400題

線代必練400題

考冊數(shù)學(xué)

O

目錄

試題部分

第一章行列式.....................................................1

第二章矩陣.....................................................4

第三章向量.....................................................16

第四章線性方程組.................................................25

第五章特征值與特征向量..........................................40

第六章二次型.....................................................51

答案解析部分

第一章行列式.....................................................57

第二章矩陣.....................................................64

第三章向第......................................................94

第四章線性方程組..............................................122

第五章特征值與特征向量........................................173

第六章二次型...................................................221

忒驗都與

第一章行列式

一、選擇題

a?00b\

0u2bi0

1.現(xiàn)階行列式的他等于（）

Qbta0

A：00ai

<.A>??u.aabb,hb.(B)aiaaa十〃〃hb,

(C)(a—bb)(ua1—6//1).(!))(?u—bh)(?/1</1—hhi).

0ab0

2.行列式“()06

0<?d0

0()d

!h).(l?)(adbi).

(C)udhe.(1,))be'—ad.

3.若a.a?a邛?fi都kIMl列向儲?IL4階行列式a-a.am.

a?a".?a"=〃.則I階行列Kia.a：?a?./h+p：等「<)

(A>mn.(IO(m4-//).

((')〃ni.(I))〃，〃.

x-2.r-1,?—2.<—3

2.r-22.r-12.i—22.r—3

L記行列式為八，）?則方程/（.，）。的根

3.r—33.r—2?i.r-53.r-5

4.r4.r—35J7IJ3

的個數(shù)為

（A）I.(li)2,(C>3.(I))I.

1

線代必練400潁

二、填空題

3040

2222

5.設(shè)行列式D=?則第四行各元素余子式之和的值為

0-700

53-22

1-100

21-11

=

6.已知矩陣A9A”表示|A|中（i,j）元的代數(shù)余子式,

3-22-1

C034

則Au-.A1:=

ab0???00

0ab???00

00a???00

7.7,階行列式*??*??

*???■*?

000???ab

b00???0a

1110

1101L

8.=*

1011

0111

'°1???1

???1

9.設(shè)〃階矩陣A=*，則1A1二.

*

???0

1-11r*1

1-1X+1一1

10.行列式=.

1x-11一T

X+1-11—-1

A一-10o

0A-1°

11.行列式-*

00AT

432A+1

2

第一章行列式

a0-11

0a1-1

12.行列式

-11a0

1-]0a

1—aa000

-11-2a00

13.五階行列式D=0-11—aa0

00—11-aa

000-ii-

2002

-12…02

**?9

】4.〃階行列式*■*???

00???22

0o???-12

三、解答題

010-00

001-00

?????

15.設(shè)A為10X10矩陣??????，計算行列式|A一aE|,其

000-01

io1000???00

中E為10階單位矩陣，A為常數(shù).

3

第二章矩陣

一、選擇題

1.設(shè)A與B為〃階方陣,且AB=O?則必有

(A)4—O或6=O.(B)AB=BA.

(C)|A|=0或|B|=0.(D)\A|+|B|=0.

2.設(shè)A和B都是〃X〃矩陣，則必有()

(A)\A+B|=|A|+|6|.(B)AB=BA.

(C)|AB|=|BA|,(D)(A+B)-1=AT

3.設(shè)〃維行向員a=(3，0,…,0,；)?矩陣A=E-aTa,fl=E+2aTa?其中E為

'Ct4/

〃階單位矩陣,則AB等于()

(A)O.(B)-E.(C)E.(D)E4-aTa.

4.設(shè)〃階方陣A,B,C滿足關(guān)系式AbC=E，其中E是〃階單位陣，則必有()

(A)ACB=E.(B)CBA.(C)BAC=E.(D)BCA=E.

5.設(shè)A為〃階方陣,且|A|=aK0,而A'是A的伴隨矩陣，則\A9|=()

(A)a.(B)y.(C)a-T.(D)a".

6.設(shè)A為〃階可逆矩陣.A?是A的伴隨矩陣，則|4?|=()

(A)\AI-1.(B)|A|.(C)|A|".(D)|A|T.

7.設(shè)A是任一〃3）階方陣，A*是其伴隨矩陣,又歸為常數(shù)，且歸力0,±1,則必

有C人）.

(A)kA?.(B)k^lA??(C)k-A?.(D)k^lA?.

8.設(shè)〃階矩陣A非奇異A，是矩陣A的伴隨矩陣，則()

(A)(A*)?=\A\^'A.<B)(A')*=|A|-+,A.

(C)(A*)?=|A|-U.(D)(A*)*=|AL'A.

4

--------------------------------------------------------------------------第二章矩陣

9.設(shè)A,8均為2階矩陣.A?,8?分別為AI的伴隨矩陣.若IA|=2,|B|=3,則

OA

分塊矩陣的伴隨矩陣為()

BO

O3B*O2B']

(A).(B).

2A.O(3AUO

O3A.O2A?

(C).(D)

2B-O3B*O

10.設(shè)A,B,A+B,AT+B1均為n階可逆矩陣，則(A-1等于()

(A)A-+B(B)A4-B.

(C)A(A+B)TB.(D)(A4-B)-1.

11.設(shè)A,b,C均為〃階矩陣，E為〃階單位矩陣?若6=E+AB.C=A+CA，則5—

C為()

(A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.

12.設(shè)矩陣A=(a“)g滿足A'，其中A'是A的伴隨矩陣，/T為A的轉(zhuǎn)置矩

陣.若““，52,53為三個相等的正數(shù)，則為《)

(C)4.(D)>/3.

/(AA、)0—.(B)3.

0

13.設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B，再把8的第2列加到第3列

得C?則滿足AQ=C1的可逆矩陣Q為()

01o,010

(A)100.(B)101

101001

‘010011

(C)100(D)100

011001

".設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣8，再交換B的第2行與第3

10010

行得單位矩陣.記Pl=110,P[=00

00101

(A)P,P：.(B)P”2.(C)P2P},

ana12auan10

15.設(shè)A=a,B=Q”o-n00

031+a“an+a”01

<231an

5

線代必練400題---------------------------------------------------------------------------

0

0，則必有

1

(A)W=B.(B)APiPi.

(C)P.P2AB.(D)P2PA=B.

16.設(shè)

aiiaitauO14<214<2iia1*aII0001

a2ia2?a冢024ana”a*2azi0100

A=,B—?Pi=

a3iasa虱a”aua”aasi0010

aaa<2a44araaaa.1000

1000

0010

l)

P2一，其中A可逆?則B等于(

0100

0001

(A)AlPP.

x2(B)PM"?.(C)PIP2A*.(D)匕A-0.

17.設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得5，再將B第1列的一1倍加到第

110

2歹"得C,記P=010,則

00

(A)C=P-*AP.(B)CPAP

(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.

100

18.設(shè)A,P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且P7P=010，若P=(a?,

002

az??3>,Q=(%+%?。2，%)，則Q"Q為

210110

(A)110(B)120

002002

20O'I00

(C)010(D)020

002,002

6

第二章矩陣

19.設(shè)A為〃(八，2)階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣6,4?.8?分別

為A,B的伴隨矩陣?則()

(A)交換A'的第1列與第2列得S'.

(B)交換A'的第1行與第2行得B?.

(C)交換2的第1列與第2列得一5??

(D)交換A'的第1行與第2行得一B?.

20.設(shè)〃階矩陣A與8等價，則必有

(A)當(dāng)|A|=a(aW0)時，|B|=a?

(B)當(dāng)|A|=a(a#0)時，|8|=一々,

(C)當(dāng)|A|工0時，|=0.

(D)當(dāng)|A|=。時，|H|=0.

21.設(shè)A.8為同階可逆矩陣，則

(A)AB=BA.

(B)存在可逆矩陣P,使PAP=B.

(C)存在可逆矩陣C,^CTAC=B.

(D)存在可逆矩陣P和Q?使PAQ=B.

22.設(shè)A是矩陣，C是〃階可逆矩陣，矩陣A的秩為廠?矩陣6=AC的秩為廠一

則()

(A)r>r,.(B)r<Crt.

(C)r=ri.(D)r與r1的關(guān)系依C而定.

23.設(shè)A是mX〃矩陣，。是nXm矩陣，貝I」()

(A)當(dāng)m>n時，必有行列式|AB1^0.

(B)當(dāng)m>n時，必有行列式|AB|=0.

(C)當(dāng)n>m時，必有行列式|AB|^0.

(D)當(dāng)n>zn時?必有行列式|AB|-0.

24.設(shè)A為mX，矩陣，B為〃Xm矩陣.E為,〃階單位矩陣，若Ab=E，則

()

(A)r(A)=m,r(B)—m.(B)r(A)=m,r(B)=n.

(C)r(A)=n,r(B)=m.(D)r(4)=n,r(B)=n.

25.設(shè)A.B都是〃階非零矩陣，且Ab=O,則A和b的秩()

(A)必有一個等于零.(B)都小于〃.

9)一個小于〃，一個等于〃,(D)都等于〃.

7

線代必練400題----------------------------------------------------------------------------

123

26.已知Q=24￡，P為3階非零矩陣?且滿足PQ=。，則

369

(A)t=6時，P的秩必為1.(B)￡=6時，P的秩必為2.

(C)fX6時,P的秩必為I.(D)￡X6時，P的秩必為2.

27.設(shè)〃5》3)階矩陣

1

1

1

1

若矩陣A的秩為1,則。必為

(A)1.(0-1.(D)—

《B)En一

bb]

28.設(shè)3階矩陣A=bb，若A的伴隨矩陣/T的秩為1,則必有

bb

(A)a=6或。+2b=0.(8)。=6或。+26#0.

(C)aH6且a+26=0.(D)a#8且a+25X0.

29.設(shè)A,B為〃階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩?(XV)表示分塊矩陣，則()

(A)r(AAB)=r(4).(B)r(ABA)=r(A).

(C)r(AB)=max(r(A),r(B)}.(D)r(AH)=r(ATBT).

二、填空題

(OA)

30.設(shè)A為m階方陣，"為〃階方陣，且|A|-a,|"|=〃,C=，則

BO

|C|=.

10111

31.設(shè)A=020，而〃>2為假數(shù)，則A"—24t=.

101

8

-----------------------------第二章矩陣

1-11

32.設(shè)。為3維列向量是a的轉(zhuǎn)置.若a-=-11—1?W,jaTa=

1-11

33.已知a=（1,2,3）/=（1』二），設(shè)，其中a，是a的轉(zhuǎn)置，則上=.

34.設(shè)4X4矩陣A=（a，h，h，九），3=（夕.九，七，九），其中a，夕，九，匕，九均為

4維列向量?旦已知|A|=4.|B|=1,則行列式|A+B|=.

211

35,設(shè)矩陣A=,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足=8+2E，則

1-121

|B[=?

36.設(shè)明，a-均為3維列向量，記矩陣

A=（aI?a2?as）,B=（a?4-a?4-as.a?+2az+4a，，ai+3a24-9cr3），

如果|A|=1.那么|E|=.

37,設(shè)三階方陣A,B滿足A?b-A-B=E，其中E為三階單位矩陣，A=

101

020?則|5|=.

-201

38.設(shè)A.8均為〃階矩陣，|4|=2.|8|=-3,則|24，丁”=

’0001

0010

39.設(shè)矩陣A=?則AT=?

0100

1000

300100

40.設(shè)矩陣A=140E—010，則逆矩陣（A—2E尸

003001

5200

2100

，則A的逆矩陣A-=

41.設(shè)4階方陣A=■

001-2

0011

1—1

42.設(shè)矩陣A=.B=A?-3A+2E?則=

23

9

線代必練400題-----------------------------------

100

43.設(shè)A=220A?是A的伴隨矩陣，則(A*),=

345

44.設(shè)矩陣A滿足A2+A—4E=O，其中E為單位矩陣，則(A.

202

45,設(shè)A.B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣.已知Ab=2A+b,3=040

202

則(A-EL1=.

1-20

46.已知AB—8=4,其中B=210,則A=.

002

47.設(shè)〃維向量a=(a,0,…，0,a)T,aV0,E為〃階單位矩陣.矩陣

A=E—aar,B=E+-^-aa

其中A的逆矩陣為8.則a=

OA

48.設(shè)A和B為可逆矩陣，X為分塊矩陣，則XT=

BO

0即0???0

00ai???0

??■*

49.設(shè)A=*??*?*?其中a,K0,1=1.2?…，叫則A'=

000???aI

a?00???0

T00

￡

50.設(shè)三階方陣A.B滿足關(guān)系式、A-BA=6A+6A.Jt中A=00

4

007

B=.

210

51.設(shè)矩陣4=120，矩陣3滿足ABA'=2A4?+E,其中A?為A的伴隨矩

001

陣，E是單位矩陣，則|B|=,

10

第二章矩陣

52.設(shè)A為3階矩陣，|A|=3,A'為A的伴隨矩陣，若交換A的第1行與第2行得

到矩陣B，則|BA?|=.

53.設(shè)A,5為3階矩陣，且|4|=3.|B|=2,|A*+B|=2,則|A+B”=?

1000

-2300

54.設(shè)A=,E為4階單位矩陣?且S=(E+A)T(E-A)，則

0-450

00—67

(E+5)7=

0100

0010

55.設(shè)矩陣A=，則A』的秩為.

0001

0000

???

Q\b\a\b2。也

abia2b2???0也

設(shè)t，其中詼#0，10(/=1,2,…，/!)則矩陣A

56.A=???

???*

a“b\???ah

的秩r(A)=?

a-1-1110

57?設(shè)矩陣-1a-1與。一11等價，則a=.

-1-1a101

k\11

1k11

58.設(shè)矩陣A=?且秩r(A)=3,則k=?

11k1

111k

59.設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A'的秩為.

102

60.設(shè)A是4X3矩陣,且A的秩武4)=2,而8=020?則r(AB)=

—103

12-2

61.設(shè)A=4t3,B為三階非零矩陣，且AB=0,則，=.

3-11

62.設(shè)A=(a”)為3階非零矩陣，|A|為A的行列式，A。為%)的代數(shù)余子式，若

a0+A“=0(i.j=l,2,3)?則|A|=.

11

線代必練400速

(100]

63.設(shè)矩陣滿足8A=25A-8￡,其中A0-20?E為單位矩陣,

001

A?為A的伴隨矩陣，則B=

三、解答題

64.設(shè)A是〃階矩陣，滿足AAT=E（E是ri階單位陣.4丁是A的轉(zhuǎn)置矩陣），|A|V

。，求|A+E|.

的伴隨矩陣，A的行列式|A|=J,求行列式

65.設(shè)A是3階方陣，A?是A

|(3A)1-2A?|的值.

00100

66.已知AP，其中B000,P一10，求A及"

0021

301)

67.設(shè)矩陣A和B滿足AH=A+28?其中A10,求矩陣H.

014

43]

68.設(shè)矩陣A和8滿足AB=A+2B，求矩陣5，其中A=110

3

00fl

69.已知X=AX+E，其中A-11.B0，求矩陣*.

-10-15-3

1

-12

第二章矩陣

70.設(shè)為3階矩陣，E為三階單位陣,滿足AB+EM/P+E，又知A=

0

020?求矩陣5.

01

11一1

71.已知A=01，且才一AB=E，其中E是三階單位矩陣，求矩陣B.

00-1

010

72.設(shè)A=021,B=,3階方陣X，丫滿足

110001

AXR1-AYB-1=E,*Y-V=E.

其中E為3階單位矩陣,求y?

11

73.已知3階矩陣A的逆矩陣為A**1=121?試求其伴隨矩陣A?的逆矩陣.

J13

1-1002134

01-100213

74.設(shè)4階矩陣B?C=?且矩陣A滿足關(guān)系

001一0021

00c10002

式A(E-CTb)TCT=E，其中E為4階單位矩陣，CT表示C的逆矩陣，C'表

示C的轉(zhuǎn)置矩陣，將上述關(guān)系式化簡并求矩陣A.

75.設(shè)(2E—CL其中E是4階單位矩陣，AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,

12-31201

01-30120

B

0020

0001000

求A.

線代必練400題---------------------------------------------------------------------------

11-1

76.設(shè)矩陣A=-l11，矩陣X滿足/1?*=4-+2/，其中A'是A的伴

1-1

隨矩陣?求矩陣*.

1000

0100

77,設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A，，且AbA-i=BAi+3E?其中E為

1010

0-308

4階單位矩陣，求矩陣B.

100011

78.已知矩陣A=110,B—101且矩陣X滿足

111.110

AXA+BXB=AXB+BXA+E,

其中E是3階單位陣，求X.

a10

79,設(shè)矩陣4=1a-1，且A'=O.

01a

（I）求a的值，

（11）若矩陣％滿足X-XA；—AX+AX/T=E，其中￡為3階單位矩陣，求*.

80.已知n階方陣A滿足矩陣方程2E=O，其中A給定，E是單位矩陣.

證明：A可逆，并求出其逆矩陣A-、

81.巳知對于〃階方陣A，存在自然數(shù)上，使得A"=O.試證明矩陣E-A可逆,并

“4.??4...........1一_^，——

寫出其逆矩陣的表達式（E為n階單位陣）.

??<,????，，.—―..，■，1??..??一

82.設(shè)〃階矩陣A和B滿足條件A+b=AB.

（I）證明A-E為可逆矩陣；

1-30

（口）已知B-210，求矩陣A.

002

14

}?；一$??1??&一卜??14

---------------------------------------------------------------------------第二章矩陣

83.已知A.B為3階矩陣，且滿足2A-'8=8-4E?其中E是3階單位矩陣.

(1)證明矩陣A-2E可逆，

1-20

(口)若8=120?求矩陣A.

002

84.設(shè)A=E-^r,其中E是〃階單位矩陣是八維非零列向量，久是《的轉(zhuǎn)置,證明:

(1)*=A的充要條件是gq=1;

一.廣丁二一丁丁「

(11)當(dāng)《飛=1時，A是不可逆矩陣.

卜十號.”!..十..「.卜；一1

二:…：―

85.設(shè)A是曾階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為8.j.T?二

……,?—.....????

(I)證明B可逆,???■????*???*?，一

(口求人心?

86.設(shè)A為〃階非零方陣,A'是A的伴隨矩陣，A'是A的轉(zhuǎn)置矩陣.當(dāng)A'=AT

時，證明IAI/0.

87.已知實矩陣A=Q”)g滿足條件：

①a”=A”(i,j=1.2,3)，其中A,,是的代數(shù)余子式；②an#0.

計算行列式|A|.

88.設(shè)A為，階非奇異矩陣?a為n維列向必，6為常數(shù).記分塊矩陣

EOAa

P=，Q=?

-a"*|A|ab

其中A*是矩陣A的伴隨矩陣，E為〃階單位矩陣.

(I)計算并化簡PQ?

(口)證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是耍b.

89.設(shè)a.p是三維列向量，矩陣4=公。『十即’，其中6為a的轉(zhuǎn)置.p「為。的轉(zhuǎn)

置.證明：

(I)r(A)42；

(「若以“線性相關(guān)，則r(A)<2.

15

第三章向量

一、選擇題

1,設(shè)向it?？捎上蛄拷M叫，…Te線性表示?但不能由向量組(I)四，02,…

ai線性表示，記向量組(11)?，*,…，(xi?p，則(

(A)a,不能由(I)線性表示，也不能由(D)線性表示.

不能由(I)線性表示，但可由(II)線性表示.

(C)a.可由(I)線性表示，也可由(n)線性表示.

(D)a.可由(I)線性表示，但不可由(U)線性表示.

2.設(shè)A是4階矩陣，且|A|=0,則A中