高考數(shù)學模擬大題規(guī)范訓練(30)含答案及解析

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（30）15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．16.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，平面底面，，，E，F(xiàn)分別是，的中點，P是線段上的動點．（1）當P是線段的中點時，求點P到平面的距離；（2）當平面與平面的夾角的余弦值為時，求．17.已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為．證明：．18.已知雙曲線的實軸長為4，左、右焦點分別為、，其中到其漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的標準方程：（2）若點P是雙曲線在第一象限的動點，雙曲線在點P處的切線與x軸相交于點T．（i）證明：射線是的角平分線；（ii）過坐標原點O的直線與垂直，與直線相交于點Q，求面積的取值范圍．19.為提高學生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強國防觀念和國家安全意識，某校進行軍訓打靶競賽．規(guī)則如下：每人共有3次機會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當?shù)趎次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．（1）求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學期望；（2）有如下定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，對于任意實數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點與圓心的距離．試求隨機變量Y的分布函數(shù)．

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（30）15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．（2）或．【解答】【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求出函數(shù)的切線方程，與曲線聯(lián)立方程，分析得出結論.【小問1詳解】易知定義域為R，，所以，，，．故單調(diào)增區(qū)間：，單調(diào)減區(qū)間：．小問2詳解】因為，，所以曲線在點處的切線為把切線方程代入二次曲線方程，得有唯一解，即且，即解得或．16.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，平面底面，，，E，F(xiàn)分別是，的中點，P是線段上的動點．（1）當P是線段中點時，求點P到平面的距離；（2）當平面與平面的夾角的余弦值為時，求．【答案】（1）．（2）【解答】【分析】（1）利用等體積變化的方法進行計算距離；（2）利用空間向量法計算距離；【小問1詳解】作的中點D，連接，，連接，，，因為點D，F(xiàn)分別為，的中點，所以，且，又由三棱柱定義，結合點E為的中點可知：，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以當P是線段的中點時，點P到平面的距離等于點E到平面的距離；因為，?，因為，所以，由平面平面，且平面平面，因為平面，所以平面，又平面，所以，所以是三棱錐的高，所以，在等邊三角形中，,因為，所以直角三角形中又，三角形是等腰三角形，，設點E到平面的距離為d，則，解得．即點P到平面的距離為．【小問2詳解】以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，，，，，，所以，，，，設，則，設平面的一個法向量，則有，即，所以，設平面的一個法向量，則有，即，所以，所以，解得或（舍去）．所以，即的長為．17.已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為．證明：．【答案】（1），．（2）證明見解答【解答】【分析】（1）設的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項相消法計算可得.【小問1詳解】等比數(shù)列滿足，，所以單調(diào)遞增，設的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意可得，解得或（舍去），所以，．【小問2詳解】由（1）可得，所以所以，故，又，，即，所以．18.已知雙曲線的實軸長為4，左、右焦點分別為、，其中到其漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的標準方程：（2）若點P是雙曲線在第一象限的動點，雙曲線在點P處的切線與x軸相交于點T．（i）證明：射線是的角平分線；（ii）過坐標原點O的直線與垂直，與直線相交于點Q，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）證明見解答；（ii）．【解答】【分析】（1）由題意可直接求出，從而可求出雙曲線的方程；（2）（i）設，切線，代入雙曲線方程化簡，由判別式等于零可表示出，從而可表示出切線方程，表示出點的坐標，然后通過計算的值可得結論；（ii）過作，設，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形中位線定理求出，再表示出面積可求出其范圍.【小問1詳解】因為實軸長為4所以，即，因為右焦點到漸近線距離為1，所以，故雙曲線的標準方程為．【小問2詳解】（i）設，切線，則，聯(lián)立化簡得．由，解得：，所以直線，令，得，故，．因為，所以，所以，即，故射線PT是的角平分線．（ii）過作，設．因為為的角平分線，所以所以．因為，，所以，又因O為中點．則是的中位線，故Q是的中點．所以，記，因為，所以為銳角，所以為鈍角，所以，所以，所以，由正弦定理得，所以，則．【小結】關鍵點小結：此題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線中的面積問題，第（2）問解題的關鍵是根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結合角平分線的性質(zhì)求解，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題.19.為提高學生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強國防觀念和國家安全意識，某校進行軍訓打靶競賽．規(guī)則如下：每人共有3次機會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當?shù)趎次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．（1）求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學期望；（2）有如下定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，對于任意實數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點與圓心的距離．試求隨機變量Y的分布函數(shù)．【答案】（1）分布列見解答，（2）（i）；（ii）【解答】【分析】（1）列出的可能值，并求出對應的概率，可得的分布列，并求期望.（2）