高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(20)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（20）15.已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍.16.“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人，記周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出的值．17.如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為是圓上異于的點(diǎn)，且為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，.（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值.18.已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．（1）（ⅰ）直接寫出函數(shù)的圖象的實(shí)軸長(zhǎng)；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．（2）已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時(shí)的值；若不存在，說明理由．19.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列：滿足，有.若等于中所有不同值的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.（1）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P；①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.（2）已知數(shù)列：2，4，8，16，32，m具有性質(zhì)P，求出m的所有可能取值；（3）若一個(gè)數(shù)列：具有性質(zhì)P，則是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最小值，并寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由.高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（20）15.已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)時(shí),在0,+∞是單調(diào)遞增；時(shí),在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解答】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當(dāng)時(shí)在0,+∞無最大值,當(dāng)時(shí)最大值為因此.令,則在0,+∞是增函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是.試題解答：（Ⅰ）的定義域?yàn)?,+∞,,若,則,在0,+∞是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)在0,+∞無最大值,當(dāng)時(shí)在取得最大值,最大值為因此.令,則在0,+∞是增函數(shù),,于是,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是.考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想.16.“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人，記周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出的值．【答案】（1）（2）分布列見解答；數(shù)學(xué)期望（3）【解答】【分析】（1）根據(jù)頻率和為，可構(gòu)造方程求得的值；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定人中，周平均閱讀時(shí)間在，，的人數(shù)，則可確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得期望值；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可求得周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，利用二項(xiàng)分布概率公式可表示出，由此可確定結(jié)果.【小問1詳解】，.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時(shí)間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時(shí)間在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.【小問3詳解】用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；則，若最大，則最大，當(dāng)時(shí)，取得最大值.17.如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為是圓上異于的點(diǎn)，且為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，.（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）由線段關(guān)系先證得平面，再證平面平面即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算平面夾角即可.【小問1詳解】解（1）為圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，故，又，而.平面，平面.平面平面平面.（注：也可以由，證明，得出）【小問2詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，由（1）可知，平面；所以平面，平面，如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面，四邊形為矩形，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，令，可得，即，設(shè)平面一個(gè)法向量為，由得，令，可得，即.設(shè)平面與平面的夾角為則平面和平面夾角余弦值為.18.已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．（1）（ⅰ）直接寫出函數(shù)的圖象的實(shí)軸長(zhǎng)；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．（2）已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時(shí)的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（?。?；（ⅱ）．（2）存在，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，．【解答】【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；（2）方法一：設(shè)，Mx1,y1，Nx2,y2，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合方法二：設(shè)，，，Mx1,y1，利用，的方程求出，，的表達(dá)式，即可得的坐標(biāo)，從而求出的方程，可推出過定點(diǎn)，即可求得答案；方法三：設(shè)，，，Mx1,y1，Nx2,y2，可得，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)得出，變形后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，求出n，即可推出過定點(diǎn)，即可求得答案【小問1詳解】（ⅰ）由題意可知雙曲線的實(shí)軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點(diǎn)為，故實(shí)軸長(zhǎng)為；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；【小問2詳解】方法一：設(shè)，Mx1,y1，Nx2,聯(lián)立：得，所以，，①，因?yàn)椋?，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過點(diǎn)A，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，此時(shí)方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為；方法二：設(shè)，，，Mx1,y1，則：，：，聯(lián)立，得，為此方程的一根，另外一根為，則，代入方程得，，同理可得，，即，，則，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn),所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，解得,綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為；方法三：設(shè)，，，Mx1,y1，則，依題意，直線不過點(diǎn)A，可設(shè)：，曲線的方程改寫為，即，聯(lián)立直線的方程得，所以，若，則，代入直線方程，無解；故，兩邊同時(shí)除以得，則，得，在直線：中，令，則，所以，恒過，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，此時(shí)，符合題意，且方程為，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為．【小結(jié)】難點(diǎn)小結(jié)：本題考查雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中的難點(diǎn)是求解最值問題，解答時(shí)要注意利用直線方程和雙曲線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，難點(diǎn)就在于化簡(jiǎn)的過程十分復(fù)雜，計(jì)算量大，并且基本上都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，需要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.19.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列：滿足，有.若等于中所有不同值的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.（1）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P；①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.（2）已知數(shù)列：2，4，8，16，32，m具有性質(zhì)P，求出m的所有可能取值；（3）若一個(gè)數(shù)列：具有性質(zhì)P，則是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最小值，并寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）答案見解答（2）或（3）存在，4045；一個(gè)滿足條件的數(shù)列：1，3，5，…，4043，4047，4045【解答】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷即可求解.（2）由具有性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)對(duì)分奇偶進(jìn)行討論即可求解.（3）根據(jù)具有性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)分別對(duì)，分情況討論，從而其存在最小值，即可求解.【小問1詳解】①：3，1，7，5，任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有4，6，8，10，12共5個(gè)，而，所以具有性質(zhì)P.②：2，4，8，16，32，任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10個(gè)，而，所以不具有性質(zhì)P.【小問2詳解】對(duì)于數(shù)列：2，4，8，16，32，m，任意兩項(xiàng)和不同的取值最多有15個(gè)，所以.而：2，4，8，16，32中任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有10個(gè)，且全是偶數(shù).（i）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，都是奇數(shù)，與前5項(xiàng)中任意兩項(xiàng)和的值均不相同，則：2，4，8，16，32，中所有的值共有15個(gè)，所以.（ii）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，都是偶數(shù)，所以.所以時(shí)，在前項(xiàng)中任兩項(xiàng)和的結(jié)果中未出現(xiàn)，所以：2，4，8，16，32，中任意兩項(xiàng)和的不同值的個(gè)數(shù)大于10，即，矛盾.時(shí)，，，這三個(gè)結(jié)果在前項(xiàng)中任意兩項(xiàng)和結(jié)果中未出現(xiàn)，所以：2，4，8，16，32，中任意兩項(xiàng)和的不同值的個(gè)數(shù)大于，即，矛盾.時(shí)，：2，4，8，16，32，中任意兩項(xiàng)和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共個(gè)，成立.綜上，或.【小問3詳解】存在最小值，且最小值為.將的項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列：，所以.所以的值至少有個(gè).即的值至少有個(gè)，即.數(shù)列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合條件.：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差數(shù)列：1，3，5，…，4