高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(12)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（12）15.如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.（1）求證：，，，四點(diǎn)共面：（2）求平面與平面所成角的余弦值.16.隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師

6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，PM>0，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：17.已知且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：上單調(diào)遞增;（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關(guān)于的“型函數(shù)”.（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于“2型函數(shù)”在點(diǎn)處的切線方程；（2）若是關(guān)于的“型函數(shù)”，（i）求的最小值：（ii）求證：，.19.給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（12）15.如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.（1）求證：，，，四點(diǎn)共面：（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線定理得到，最后證明四點(diǎn)共面即可.（2）找到對(duì)應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【小問1詳解】取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，，所以所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面；小問2詳解】連接，，且延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設(shè)，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.16.隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師

6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（1）（2）分布列見解答，（3）證明見解答【解答】【分析】（1）運(yùn)用古典概型求概率即可．（2）根據(jù)已知條件計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列及期望．（3）運(yùn)用條件概率及概率加法公式計(jì)算可證明結(jié)果．【小問1詳解】設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．【小問2詳解】由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望【小問3詳解】證明：由題知PN所以PNM所以PNM所以PNM即：PNM所以PNM即.17.已知且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增;（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解答；（2）【解答】【分析】（1）在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明.（2）不等式恒成立，即，通過構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求最值的方法，求不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，則，兩邊取對(duì)數(shù)得設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以時(shí)，即時(shí)，，所以時(shí)恒成立，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】法一:，即，兩邊取對(duì)數(shù)得:，即.設(shè)，則問題即為：當(dāng)時(shí)，恒成立.只需時(shí)，.，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?，則，所以時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，所以即.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以的圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以；所以?dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，不等式，所以當(dāng)不等式在恒成立時(shí)，.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.法二：，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即設(shè)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即，上式等價(jià)于，即，由在單調(diào)遞減，所以.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小結(jié)】方法小結(jié)：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.18.定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關(guān)于的“型函數(shù)”.（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的“2型函數(shù)”在點(diǎn)處的切線方程；（2）若是關(guān)于的“型函數(shù)”，（i）求的最小值：（ii）求證：，.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解答【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，（i）化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解；（ii）由題意，得到，設(shè)，，其中，化簡(jiǎn)得到，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，可得，則，所以，所求切線方程為，即.【小問2詳解】解：由是關(guān)于的“型函數(shù)”，可得，即，（i）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值.（ii）由，即，則，且，，可設(shè)，，其中，于是，記，可得，由，得，記，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，所以.【小結(jié)】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.【答案】（1）或（2）證明詳見解答（3）【解答】【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用組合數(shù)公式求得的一個(gè)大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.（3）先證明，然后利用累加法求得.【小問1詳解】依題意，當(dāng)，時(shí)有：或.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，所以每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)次，又因?yàn)?，所以只有?duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.【小問3詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為.對(duì)奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為，那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：首先，對(duì)于如下個(gè)數(shù)對(duì)集合：，，……，，每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列中，所以，其次，對(duì)每個(gè)不大于的偶數(shù)，將如下個(gè)數(shù)對(duì)并為一組：，共得到