2019屆北京專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第三節(jié)空間點直線平面之間的位置關(guān)系講義文

第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系總綱目錄教材研讀1.四個公理考點突破2.空間中兩直線的位置關(guān)系3.有關(guān)角的重要定理考點二空間兩直線的位置關(guān)系考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用4.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系考點三異面直線所成的角1.四個公理公理1:如果一條直線上的①兩點

在一個平面內(nèi),那么這條直線上所

有的點都在此平面內(nèi).公理2:過②不在同一條直線上

的三點,有且只有一個平面.公理2的三個推論:推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面.推論2:兩條③相交

直線確定一個平面.教材研讀推論3:兩條④平行

直線確定一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有⑤一個

公共點,那么它們有且只有

一條過該點的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線⑥平行

.2.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類:

.(2)異面直線所成的角(i)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O作直線a'∥a,b'∥b,把a'

與b'所成的⑩

銳角(或直角)

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(ii)范圍:

.3.有關(guān)角的重要定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角

相等或互補

.4.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有

相交

、

平行

、

直線在平面內(nèi)

三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有

平行

、

相交

兩種情況.

1.下列命題:①經(jīng)過三點確定一個平面;②梯形可以確定一個平面;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;④若兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.其中正確命題的個數(shù)是

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C對于①,未強調(diào)三點不共線,故①錯誤;易知②③正確;對于④,

未強調(diào)三點不共線,若三點共線,則兩平面也可能相交,故④錯誤.故選C.C2.以下四個命題中,正確命題的個數(shù)是

()①不共面的四點中,其中任意三點不共線;②若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.A.0

B.1

C.2

D.3B答案

B①顯然是正確的,可用反證法證明;②中若A、B、C三點共

線,則A、B、C、D、E五點不一定共面;③構(gòu)造長方體或正方體,如圖,顯

然b、c異面,故不正確;④中空間四邊形中四條線段不共面.故只有①正

確.

3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b

()A.一定是異面直線

B.一定是相交直線C.不可能是平行直線

D.不可能是相交直線答案

C假設(shè)c∥b,由公理4可知,a∥b,與a、b是異面直線矛盾,故選C.C4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點,則異

面直線B1C與EF所成的角的大小為

.

答案60°解析連接B1D1,D1C,因B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其補角)為所求角,又B1D

1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.60°典例1已知:空間四邊形ABCD(如圖所示),E、F分別是AB、AD的中

點,G、H分別是BC、CD上的點,且CG=

BC,CH=

DC.求證:(1)E、F、G、H四點共面;(2)三直線FH、EG、AC共點.

考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考點突破∴EF∥BD.又∵CG=

BC,CH=

DC,∴GH∥BD,∴EF∥GH,∴E、F、G、H四點共面.

(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,∴設(shè)FH∩AC=M,∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC.證明(1)連接EF、GH,∵E、F分別是AB、AD的中點,又∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG,∴FH、EG、AC共點.方法指導(dǎo)(1)證明點共線問題:①公理法:先找出兩個平面,然后證明這些點都是這

兩個平面的公共點,再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上;②同一法:選

擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.(2)證明線共點問題:先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經(jīng)過該

點.(3)證明點、直線共面問題:①納入平面法:先確定一個平面,再證明有關(guān)

點、線在此平面內(nèi);②輔助平面法:先證明有關(guān)的點、線確定平面α,再

證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.1-1如圖所示的是正方體和四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則各

圖形中,P,Q,R,S四點共面的是

(填序號).

答案①②③①②③解析對于①,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為梯形;對于②,如圖所示,取A1A和BC的中點分別為M,N,順次連

接P、M、Q、N、R、S,可證明六邊形PMQNRS為正六邊形;

對于③,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為平行四邊形;對于④,連接PS,PR,SR,可證Q點所在棱與面PRS平行,因此,P,Q,R,S四點

不共面.1-2如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC∥AD且BC=

AD;BE∥FA且BE=

FA,G、H分別為FA、FD的中點.(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C、D、F、E四點是否共面?為什么?

解析(1)證明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GH∥AD且GH=

AD.又∵BC∥AD且BC=

AD,∴GH

BC,∴四邊形BCHG為平行四邊形.(2)C、D、F、E四點共面.理由如下:解法一:由BE∥FA且BE=

FA,G為FA的中點知BE

FG,∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG,由(1)可知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面.又D∈FH,∴C、D、F、E四點共面.解法二:如圖所示,延長FE、DC分別與AB的延長線交于點M、M',

∵BE∥FA且BE=

FA,∴B為MA的中點.∵BC∥AD且BC=

AD,∴B為AM'的中點.∴M與M'重合.即EF與CD相交于點M(M'),∴C、D、F、E四點共面.典例2(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,

則下列說法錯誤的是

()

A.MN與CC1垂直

B.MN與AC垂直C.MN與BD平行

D.MN與A1B1平行(2)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,

在原正四面體中,考點二空間兩直線的位置關(guān)系命題角度一兩直線位置關(guān)系的判定

①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個命題中,正確命題的序號是

.解析(1)如圖,連接C1D,

在△C1DB中,MN∥BD,故C正確;∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN與CC1垂直,故A正確;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN與AC垂直,故B正確;答案(1)D(2)②③④∵A1B1與BD異面,MN∥BD,∴MN與A1B1不可能平行,故D錯誤.(2)把正四面體的平面展開圖還原,如圖所示,GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線.連接GM,易知△GHM為正三角形,則GH與MN成60°角.易知MN∥AF,且AF⊥DE,則DE⊥MN.

命題角度二異面直線的判定典例3(1)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則各

圖形中直線GH與MN是異面直線的是

.(填序號)

(2)如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH

在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為

.答案(1)②④(2)3解析(1)①中,直線GH∥MN;②中,當(dāng)G,H,N三點共面時,M?平面GHN,

因此直線GH與MN異面;③中,連接MG,易知GM∥HN,因此GH與MN共

面;④中,當(dāng)G,M,N三點共面時,H?平面GMN,因此直線GH與MN異面.(2)將展開圖還原為正方體,如圖所示,

顯然,AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與

GH相交,CD與EF平行,故互為異面直線的有且只有3對.方法指導(dǎo)空間中兩直線的位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定,對

于異面直線,可采用直接法或反證法;對于平行直線,可利用三角形(梯

形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對于

垂直關(guān)系,往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.2-1給定下列關(guān)于異面直線的命題:命題(1):若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,直線c是α與β

的交線,那么c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.那么

()A.命題(1)正確,命題(2)不正確B.命題(2)正確,命題(1)不正確C.兩個命題都正確D.兩個命題都不正確D答案

D當(dāng)c與a,b都相交,但交點不是同一個點時,平面α上的直線a與

平面β上的b為異面直線,因此判斷(1)是假命題,如圖所示;對于(2),可以

取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不

平行,則這些直線中任意兩條都是異面直線,從而(2)是假命題.故選D.

典例4如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點.已知∠BAC=

,AB=2,AC=2

,PA=2.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)求異面直線BC與AD所成角的余弦值.

考點三異面直線所成的角解析(1)因為PA⊥底面ABC,所以PA是三棱錐P-ABC的高.又S△ABC=

×2×2

=2

,所以三棱錐P-ABC的體積為V=

S△ABC·PA=

×2

×2=

.(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則ED∥BC,所以∠ADE(或其補角)是

異面直線BC與AD所成的角.

易知PB=2

,PC=4,BC=4,則在△ADE中,DE=2,AE=

,AD=2