中考數(shù)學二輪復習幾何專項知識精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓練專題13 幾何變換之翻折（軸對稱）鞏固練習（提優(yōu)）-（解析版）

幾何變換之翻折（軸對稱）鞏固練習1．已知，在10×10網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC是格點三角形（三角形的頂點是網(wǎng)格線的交點）．（1）面出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向下平移5個單位長度得到的△A2B2C2；若點B的坐標為（4，2），請直接寫出B2的坐標．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可．（2）分別作出點A1，B1，C1的對應(yīng)點A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．B2（﹣4，﹣3）．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．2．如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，（1）求PA+PB的最小值，并說明理由；（2）求△APC周長的最小值．【分析】（1）根據(jù)線段的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意知點C關(guān)于直線m的對稱點為點B，故當點P與點D重合時，AP+CP值的最小，求出AB長度即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）PA+PB＝AB＝6；原因：兩點之間，線段最短；（2）∵m是BC的垂直平分線，點P在m上，∴點C關(guān)于直線m的對稱點是點B且PB＝PC，∵C△ABC＝AP+PC+AC，∵AC＝4，要使△APC周長最小，即AP+PC最小，當點P是m與AB的交點時，PA+PB最小，即PA+PB＝AB，此時C△ABC＝AB+AC＝6+4＝10．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．3．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC＝70°，則∠MNA的度數(shù)是50°．（2）若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．【分析】（1）依據(jù)△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度數(shù)以及∠A的度數(shù)，再根據(jù)MN是垂直平分線，即可得到∠ANM的度數(shù)，進而得出∠AMN的度數(shù)；（2）①依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AM＝BM，進而得出△BCM的周長＝AC+BC，再根據(jù)AB＝AC＝8cm，△MBC的周長是14cm，即可得到BC的長；②依據(jù)PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當P與M重合時，PA+PC＝AC，此時PB+PC最小，進而得出△PBC的周長最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案為：50°；（2）①∵MN是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴△BCM的周長＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周長是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②當P與M重合時，△PBC的周長最?。碛桑骸逷B+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴當P與M重合時，PA+PC＝AC，此時PB+PC最小值等于AC的長，∴△PBC的周長最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．【點評】本題主要考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．4．如圖，△ABC是等邊三角形，點C關(guān)于AB的對稱的點為E，點P是直線EB上的一個動點，連接AP，作∠APQ＝60°，交射線BC于點Q．（1）如圖1，連接AQ，求證：△APQ為等邊三角形；（2）如圖2，當點P在線段EB延長線上時，請你補全圖形，并寫出線段BQ、AB、BP之間的數(shù)量關(guān)系（無需證明）．【分析】（1）如圖1中，作∠BPF＝60°交AB于點F，連接AQ．證明△PBQ≌△PFA（ASA），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BQ＝BP+AB．如圖2中，在BD上取一點F，使得BF＝PB，連接AQ．證明△BPA≌△FPQ（SAS），推出AB＝QF，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1中，作∠BPF＝60°交AB于點F，連接AQ．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵點E與點C關(guān)于AB對稱，∴∠EBA＝∠CBA＝60°＝∠BPF，∴∠PFB＝60°．∴△PBF是等邊三角形，∴PB＝PF，AFP＝120°＝∠PBQ．∵∠BPQ+∠QPF＝60°，∠APF+∠QPF＝60°，∴∠BPQ＝∠APF，在△PBQ和△PFA中，∠BPQ=∠APFPB=PF∴△PBQ≌△PFA（ASA），∴PQ＝PA，∵∠APQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形．（2）解：補全圖形，如圖2所示：②解：結(jié)論：BQ＝BP+AB．理由：如圖3中，在BD上取一點F，使得BF＝PB，連接AQ．∵∠FBP＝60°，BF＝BP，∴△FBP是等邊三角形，∴∠BPF＝∠APQ＝60°，∴∠APB＝∠FPQ，∵PB＝PF，PA＝PQ，∴△BPA≌△FPQ（SAS），∴AB＝QF，∴BQ＝BF+FQ＝BP+AB．【點評】考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．5．國慶期間，廣場上對一片花圃做了美化造型（如圖所示），整個造型構(gòu)成花的形狀．造型平面呈軸對稱，其正中間“花蕊”部分（區(qū)域①）擺放紅花，兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）擺放黃花．（1）兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）的面積是2a2+π2?a2．（用含（2）已知a＝2米，紅花價格為220元/平方米，黃花價格為180元/平方米，求整個造型的造價（π取3）．【分析】（1）區(qū)域②的面積＝三個正方形的面積+應(yīng)該半圓的面積．（2）分別求出區(qū)域①，②的面積，再乘以單價即可．【解答】解：（1）區(qū)域②的面積＝2a2+12?π?a2＝2a2+π2故答案為：2a2+π2?a（2）整個造型的造價：220（2×22?π2×22）+180（2×22+12?【點評】本題考查軸對稱，正方形的性質(zhì)，代數(shù)式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．如圖，在?ABCD中，AD的垂直平分線經(jīng)過點B，與CD的延長線交于點E，AD與BE相交于點O，連接AE，BD．（1）求證：四邊形ABDE為菱形；（2）若AD＝8，問在BC上是否存在點P，使得PE+PD最??？若存在，求線段BP的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意得出AO＝DO，AD⊥BE．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD．即可得出∠ABE＝∠BED．從而證得△AOB≌△DOE（AAS），得到BO＝EO．即可證得四邊形ABDE是平行四邊形．由AD⊥BE，證得四邊形ABDE是菱形；（2）作點D關(guān)于BC的對稱點D'，DD′交BC于點G，延長EB，過D'作DM⊥BE于點M，連接ED'交BC于點P，此時PD+PE最?。桓鶕?jù)題意得到BO＝DG．BM＝GD．即可得到MD'＝DO=12AD＝4．進一步得到BO＝EO＝BM．通過證得△BEP∽△MED′，得到BPMD'=【解答】（1）證明：∵BE垂直平分AD，.∴AO＝DO，AD⊥BE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠ABE＝∠BED．∵∠AOB＝∠DOE，又AO＝DO，∴△AOB≌△DOE（AAS），∴BO＝EO．又AO＝DO，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∵AD⊥BE，∴四邊形ABDE是菱形；（2）解：如圖所示：作點D關(guān)于BC的對稱點D'，DD′交BC于點G，延長EB，過D'作DM⊥BE于點M，連接ED'交BC于點P，此時PD+PE最??；∵∠B0D＝∠OBC＝∠BGD＝90°，∴四邊形ODGB是矩形．∴BO＝DG．同理BM＝GD．∴MD'＝DO=12又BO＝EO，∴BO＝EO＝BM．∵∠EBP＝∠M＝90°，∠BEP＝∠MED'，∴△BEP∽△MED′，∴BPMD'∴BP4=23【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形求得的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在長方形內(nèi)點F處，連接DF，且DF＝6．（1）求證：AF⊥DF．（2）求BE的長．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和勾股定理的逆定理證出△ADF是直角三角形即可；（2）設(shè)BE＝x，則EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵將△ABE沿AE折疊，使點B落在長方形內(nèi)點F處，∴AF＝AB＝8，∵AF2+DF2＝62+82＝100＝102＝AD2，∴△ADF是直角三角形，∠AFD＝90°∴AF⊥DF；（2）解：由折疊的性質(zhì)得：BE＝FE，∠B＝∠AFE＝90°，又∵∠AFD＝90°，∴∠AFE+∠AFD＝180°，∴點D，F(xiàn)，E在一條直線上，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠C＝90°，設(shè)BE＝x，則EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x，在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2，即（10﹣x）2+82＝（6+x）2．解得：x＝4．∴BE＝4．【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°．D是邊AB上一點，點D關(guān)于直線AC的對稱點為E，連接EC并延長EC至點F，且CF＝EC．連接AE，BF．（1）依題意補全圖形；（2）猜想線段AB，AE，BF的數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）結(jié)論：AB＝AE+BF．想辦法證明AD＝AE，BD＝BF即可．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）結(jié)論：AB＝AE+BF．理由：∵D，E關(guān)于AC對稱，∴DE⊥AC，CE＝CD，AE＝AD，∵EC＝CF，∴CD＝CE＝CF，∴∠EDF＝90°，∴ED⊥FD，∴AC∥DF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴DF⊥BC，∵CD＝CF，∴CB垂直平分線段DF，∴BD＝BF，∵AB＝AD+BD，AD＝AE，BD＝BF，∴AB＝AE+BF．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．9．如圖，在△ABC中．AB＝AC，點E在線段BC上，連接AE并延長到G，使得EG＝AE，過點G作GD∥BA分別交BC，AC于點F，D．（1）求證：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的長度；（3）過點D作DH⊥BC于H，P是直線DH上的一個動點，連接AF，AP，F(xiàn)P，若∠C＝45°，在（2）的條件下，求△AFP周長的最小值．【分析】（1）根據(jù)AAS證明三角形全等即可．（2）求出FG的長，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）證明點F與點C關(guān)于直線PD對稱，推出當點P與D重合時，△PAF的周長最小，最小值＝△ADF的周長．【解答】（1）證明：如圖1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，∠B=∠EFG∠AEB=∠GEF∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如圖1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如圖2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴FA＝FC，∴∠C＝∠FAC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF=2∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴點F與點C關(guān)于直線PD對稱，∴當點P與D重合時，△PAF的周長最小，最小值＝△ADF的周長＝2+2【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．10．如圖，在直角坐標系中，A（5，0），B（3，4），C（0，4），點D在OA上，∠ABD＝∠1，BH⊥OA于H．（1）判斷△OAB的形狀，并說明理由．（2）求點D的坐標．（3）若P是BH上的動點，當△PCD的周長最小時，求△PCD的面積．【分析】（1）依據(jù)勾股定理即可得到OB的長，依據(jù)點A的坐標即可得到OA的長，進而得出△AOB是等腰三角形；（2）依據(jù)四邊形BCOH是矩形，即可得到OH＝BC＝3，進而得出AH＝AO﹣HO＝2，再根據(jù)△ABD是等腰三角形，即可得到DH的長，進而得到點D的坐標；（3）連接AC，交BH于P，連接PD，依據(jù)PD＝PA，可得PC+PD+CD＝PC+PA+CD＝AC+CD，此時，△PCD的周長最小，求得PH=85，再根據(jù)S△PCD＝S梯形PHOC﹣S△COD﹣S△【解答】解：（1）△AOB是等腰三角形，理由如下：∵B（3，4），C（0，4），∴BC∥OA，OC＝4，∴Rt△BOC中，OB=3∵A（5，0），∴OA＝5，∴OA＝OB，即△AOB的等腰三角形；（2）如圖1，∵BH⊥AO，BC∥OA，∴∠BHO＝90°＝∠COH＝∠BCO，∴四邊形BCOH是矩形，∴OH＝BC＝3，∴AH＝AO﹣HO＝2，∵∠ABD＝∠1，∴∠ABO＝∠CBD，由BC∥AO可得∠3＝∠CBD，由（1）可得∠2＝∠ABO，∴∠3＝∠2，∴AB＝DB，∴AH＝DH＝2，∴OD＝OH﹣DH＝3﹣2＝1，∴D（1，0）；（3）如圖2，連接AC，交BH于P，連接PD，由（2）可得，PD＝PA，∴PC+PD+CD＝PC+PA+CD＝AC+CD，此時，△PCD的周長最小，設(shè)AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），把A（5，0），C（0，4）代入可得，0=5k+b4=b解得k=?∴直線AC的解析式為y=?4當x＝3時，y=8∴P（3，85），即PH=∴S△PCD＝S梯形PHOC﹣S△COD﹣S△PHD=(=425?=24【點評】本題主要考查了勾股定理、三角形的面積以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．11．如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB＝6，AC＝10，求四邊形AECF的面積及AE與CF之間的距離．【分析】（1）首先由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證得AB＝CD，AD∥BC，∠ANF＝90°，∠CME＝90°，易得AN＝CM，由平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；（2）由AB＝6，AC＝10，可得BC＝8，設(shè)CE＝x，則EM＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四邊形的面積公式可得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD．由折疊的性質(zhì)可得∠EAB＝∠EAC，∠ACF＝∠FCD，又∵∠CAB＝∠ACD，∴∠EAC＝∠ACF，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，則根據(jù)勾股定理得，BC＝8．∵AM＝AB﹣6，∴CM＝AC﹣AM＝AC﹣AB＝4．設(shè)CE＝x，則BE＝EM＝8﹣x，在Rt△EMC中，利用勾股定理可得EM2+CM2＝CE2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，故四邊形AECF的面積＝AB?CE＝6×5＝30．在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=35設(shè)AE與CF之間的距離為h，則AE?h＝30，即35∴?=2【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和勾股定理等，綜合運用各定理是解答此題的關(guān)鍵．12．問題提出：（1）如圖①，在△ABC中，AD是ABC邊BC的高，點E是BC上任意點，若AD＝3，則AE的最小值為3；（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，分別交BC、AC于點D、E，DE＝1cm，求△ABD的周長；問題解決：（3）如圖③，某公園管理員擬在園內(nèi)規(guī)劃一個△ABC區(qū)域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點之間規(guī)劃道路AB、BC和AC，滿足∠BAC＝90°，點A到BC的距離為2km．為了節(jié)約成本，要使得AB、BC、AC之和最短，試求AB+BC+AC的最小值（路寬忽略不計）．【分析】（1）根據(jù)AD是ABC邊BC的高，點E是BC上任意點，AD＝3，即可求AE的最小值；（2）根據(jù)AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B＝∠C＝30°，根據(jù)DE是AC的垂直平分線，可得AD＝CD，∠DAC＝∠C＝30°，∠BAD＝90°，根據(jù)勾股定理即可求出△ABD的周長；（3）延長CB到點D，使得AB＝DB，延長BC到點E，使得CE＝AC，連接AD、AE，DE的最小值即為AB+BC+AC的最小值，以DE為斜邊向下作等腰直角三角形ODE，以點O為圓