第07講-函數(shù)模型及其應(yīng)用(學(xué)生版)

第07講函數(shù)模型及其應(yīng)用（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他函數(shù)知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分【備考策略】1.會(huì)選擇合適的函數(shù)類型來模擬實(shí)際問題的變化規(guī)律.2.會(huì)比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異3.了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通?？疾榻o定實(shí)際問題選擇用合適的函數(shù)解析式來模擬或求對(duì)應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用值，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容知識(shí)講解1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)3．解函數(shù)模型問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下：考點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)模型1．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）生物學(xué)家為了了解抗生素對(duì)生態(tài)環(huán)境的影響，常通過檢測(cè)水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來進(jìn)行判斷.已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量（單位：mg）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式，其中為抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得，從而可求出.【詳解】解：因?yàn)榭股氐臍埩袅浚▎挝唬簃g）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，即，解得.故選：D2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型和冷卻的數(shù)據(jù)可求得，再代入所求數(shù)據(jù)，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即，，，由得：，即，解得：，若使物體的溫度為，需要冷卻.故選：C.1．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個(gè)等級(jí)，其等級(jí)（）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢買到的級(jí)草莓比級(jí)草莓多倍，且級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)為元千克，則級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克【答案】C【分析】由指數(shù)運(yùn)算，可得，求得的值.【詳解】由題可知，由則.故選：C.2．（2023·山東德州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGPT”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8，衰減速度為12，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.5．則學(xué)習(xí)率衰減到0.4以下（不含0.4）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】由題意求得，令，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，求得，即可得到答案.【詳解】由題意知，初始學(xué)習(xí)率，衰減速度，所以，因?yàn)楫?dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，可得，解得，所以，令，可得，則，可得，所以至少所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為.故選：C.3．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國(guó)的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國(guó)文化特征．其中沏茶、飲茶對(duì)水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度為θ℃，滿足公式．現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為52℃時(shí)口感最佳，若空氣的溫度為12℃，那從沏茶開始，大約需要（

）分鐘飲用口感最佳．（參考數(shù)據(jù)；，）A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26【答案】B【分析】有題意，根據(jù)公式代入數(shù)據(jù)得，變形、化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】由題意得，代入數(shù)據(jù)得，整理得，即，解得；所以若空氣的溫度為12℃，從沏茶開始，大約需要2.77分鐘飲用口感最佳．故選：B．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁．某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，為原污染物數(shù)量．該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%，那么再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（

）參考數(shù)據(jù)：．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍?個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即所以．再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：C.考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)模型1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.1．（2023·山西朔州·統(tǒng)考二模）2022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足.若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為，從而得到，求出火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，代入解析式求出答案.【詳解】設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，則，解得：，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，將其代入中，得：，故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為.故選：B2．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）地震震級(jí)是對(duì)地震本身能量大小的相對(duì)量度，用M表示，M可通過地震面波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最大值進(jìn)行測(cè)定，計(jì)算公式如下：（其中為震中距）．若某地發(fā)生6.0級(jí)地震，測(cè)得，則可以判斷（

）．參考數(shù)據(jù)：，．A．震中距在2000～2020之間 B．震中距在2040～2060之間C．震中距在2070～2090之間 D．震中距在1040～1060之間【答案】B【分析】代入求值，得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】依題意，，則，則，故．故選：B3．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那他至少經(jīng)過（

）小時(shí)才能駕駛．（參考數(shù)據(jù)）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】由題意可得，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】解析：設(shè)該駕駛員x小時(shí)后100mL血液中酒精含量為ymg，則，當(dāng)時(shí)，有，即，∴，故選：D．4．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值.【詳解】由題意，，所以），即．又，所以．因?yàn)?，所以．故選：B．5．（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）住房的許多建材都會(huì)釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對(duì)人體健康有著極大的危害.新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過0.08，否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式，其中，且，，則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)（

）A．17周 B．24周 C．28周 D．26周【答案】D【分析】由已知數(shù)據(jù)求得參數(shù)，然后解不等式即可得．【詳解】，由，，得，，兩式相減得，則，所以，.該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，則，則，即，解得，故至少需要通風(fēng)26周.故選：D．考點(diǎn)三、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題1．（2022·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）折紙是我國(guó)民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)．現(xiàn)有一張長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形的紙片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為．若，則折痕長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可確定，分別在三種折疊方式下利用面積建立關(guān)于折痕的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得最值，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：長(zhǎng)方形紙片的面積為，又，，；①當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，設(shè)，，則，解得：，，令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，；②當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，設(shè)，，則，解得：，，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，；③當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，設(shè)，，則，解得：，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，；綜上所述：折痕長(zhǎng)的取值范圍為；折痕長(zhǎng)的最大值為.故選：C.1．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)量指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)．當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于時(shí)，疫情才可能逐漸消散．廣泛接種疫苗可以減少疾病的基本傳染數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗(稱為接種率)，那么個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為．已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)為了使個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過，該地疫苗的接種率至少為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意列不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：故選：C.2．（2022·云南曲靖·統(tǒng)考二模）某大型家電商場(chǎng)，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售、兩種電器，已知這兩種電器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)都是萬元，若廠家規(guī)定，一家商場(chǎng)進(jìn)貨的臺(tái)數(shù)不高于的臺(tái)數(shù)的倍，且進(jìn)貨至少臺(tái)，而銷售、的售價(jià)分別為元/臺(tái)和元/臺(tái)，若該家電商場(chǎng)每周可以用來進(jìn)貨、的總資金為萬元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場(chǎng)在一個(gè)周內(nèi)銷售、電器的總利潤(rùn)（利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)）的最大值為（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】D【分析】設(shè)賣場(chǎng)在一周內(nèi)進(jìn)貨的臺(tái)數(shù)為臺(tái)，則一周內(nèi)進(jìn)貨的臺(tái)數(shù)為，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，再寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【詳解】設(shè)該賣場(chǎng)在一周內(nèi)進(jìn)貨的臺(tái)數(shù)為臺(tái)，則一周內(nèi)進(jìn)貨的臺(tái)數(shù)為，設(shè)該賣場(chǎng)在一周內(nèi)銷售、電器的利潤(rùn)為萬元，由題意可得，可得，且，，函數(shù)隨著的增大而增大，故（萬元）.故選：D.3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米【答案】B【分析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，求出資金3萬元都用完時(shí)，設(shè)，再根據(jù)梯形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，，要使水橫斷面面積最大，則此時(shí)資金3萬元都用完，則，解得米，設(shè)，則，故，且，梯形的面積，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即當(dāng)過水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.故選：B.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知一種放射性元素最初的質(zhì)量是500g，按每年10%衰減，則可求得這種元素的半衰期（質(zhì)量變到原有質(zhì)量一半所需的時(shí)間）為（

）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，結(jié)果精確到0.1）A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年【答案】D【分析】按每年10%衰減，得出每年剩余90%，列出方程，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果.【詳解】最初的質(zhì)量是500g，經(jīng)過一年后，質(zhì)量變?yōu)椋?jīng)過2年后，質(zhì)量變?yōu)椋?jīng)過t年后，質(zhì)量變?yōu)?，令，則，則，.則這種元素的半衰期年.故選：D.2．（2023·安徽合肥·二模）Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型．某研究人員在研究一種細(xì)菌繁殖數(shù)量與時(shí)間t關(guān)系時(shí)，得到的Malthus模型是，其中是時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)量，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量是時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，則t約為（

）．（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由條件可知，，結(jié)合指對(duì)互化，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則，得.故選：C3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某款電子產(chǎn)品的售價(jià)（萬元/件）與上市時(shí)間（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)，且），若上市第2個(gè)月的售價(jià)為2.8萬元，第4個(gè)月的售價(jià)為2.64萬元，那么在上市第1個(gè)月時(shí)，該款電子產(chǎn)品的售價(jià)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．3.016萬元 B．2.894萬元 C．3.048萬元 D．2.948萬元【答案】B【分析】由已知可得，解得或，分別求出的值，判斷是否滿足，即可得的值，從而可求得上市第1個(gè)月時(shí)，該款電子產(chǎn)品的售價(jià).【詳解】由題得，，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上市第1個(gè)月時(shí)，該款電子產(chǎn)品的售價(jià)約為2.894萬元．故選：B．4．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過觀察散點(diǎn)圖并結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型得出結(jié)果.【詳解】觀察散點(diǎn)圖，可知是一個(gè)單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）斯特林公式（Stirling's

approximation）是由英國(guó)數(shù)學(xué)家斯特林提出的一條用來取的階乘的近似值的數(shù)學(xué)公式，即，其中為圓周率，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).一般來說，當(dāng)很大的時(shí)候，的階乘的計(jì)算量十分大，所以斯特林公式十分好用.斯特林公式在理論和應(yīng)用上都具有重要的價(jià)值，對(duì)于概率論的發(fā)展也有著重大的意義.若利用斯特林公式分析100!計(jì)算結(jié)果，則該結(jié)果寫成十進(jìn)制數(shù)時(shí)的位數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．154 B．158 C．164 D．172【答案】B【分析】求解，再根據(jù)對(duì)數(shù)公式代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由題意，即，即寫成十進(jìn)制數(shù)時(shí)的位數(shù)約為158.故選：B6．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例關(guān)于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當(dāng)貸款人的年收入為8萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.若銀行希望實(shí)際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（

）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：，）A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元【答案】A【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計(jì)算時(shí)的值即可.【詳解】由題意，即，得，所以.令，得，得，得得.故選：A.7．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）提丟斯一波得定則，簡(jiǎn)稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)則.它是在1766年德國(guó)的一位中學(xué)教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成了一個(gè)如下經(jīng)驗(yàn)公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號(hào)為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號(hào)12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實(shí)測(cè)值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．【答案】D【分析】代入數(shù)據(jù)計(jì)算的值即可.【詳解】由表格可得，故選：D8．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰诹餍胁W(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染1個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散.接種疫苗是預(yù)防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本傳染數(shù)，若1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為，為了有效控制病毒傳染（使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1），我國(guó)疫苗的接種率至少為（

）A．75% B．80% C．85% D．90%【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，由此可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，因此，該地疫苗的接種率至少為.故選：B.9．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）“青年興則國(guó)家興，青年強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)”，作為當(dāng)代青少年，我們要努力奮斗，不斷進(jìn)步.假設(shè)我們每天進(jìn)步1%，則一年后的水平是原來的倍，這說明每天多百分之一的努力，一年后的水平將成倍增長(zhǎng).如果將我們每天的“進(jìn)步”率從目前的10%提高到20%，那么大約經(jīng)過（

）天后，我們的水平是原來應(yīng)達(dá)水平的1500倍.（參考數(shù)據(jù)：，，）A．82 B．84 C．86 D．88【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合估算即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)大約經(jīng)過天后，我們的水平是原來應(yīng)達(dá)水平的1500倍，可得，兩邊取對(duì)數(shù)得，，，又因?yàn)?又因?yàn)?，所?故選：B.二、多選題10．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則（

）A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化C．當(dāng)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)時(shí)，的最小值為3【答案】AC【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的增減性可判斷A，B；分別代入和，解指數(shù)不等式可判斷C，D.【詳解】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，即人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，故A正確，B不正確；，所以，所以，，所以的最小值為3，故C正確；，所以，所以，，所以的最小值為2，故D不正確；故選：AC.【能力提升】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：m/s）可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量．則鮭魚以0.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為（

）A．3 B．27 C．300 D．2700【答案】A【分析】根據(jù)題中函數(shù)關(guān)系式，令和，分別求出對(duì)應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)轷q魚的游速(單位：)可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當(dāng)一條鮭魚靜止時(shí)，，此時(shí)，則，耗氧量為；當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，，此時(shí)，所以，則，即耗氧量為，因此鮭魚以0.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為.故選：A.2．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“進(jìn)步”的是“退步”的倍.如果每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，那么大約經(jīng)過（

）天后“進(jìn)步”的是“退步”的一萬倍.（）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】D【分析】根據(jù)題意可列出方程，求解即可，【詳解】設(shè)經(jīng)過天“進(jìn)步“的值是“退步”的值的10000倍,則，即，,故選：D．3．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？家荒＃┑阮~分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數(shù)n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時(shí)，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計(jì)算公式為：.某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購(gòu)買一大型農(nóng)機(jī)設(shè)備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（

）年內(nèi)能全部收回本利和.（，，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意，將對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入計(jì)算公式，化簡(jiǎn)整理后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，知萬元，萬元，，由公式可得，整理得，等式兩邊取對(duì)數(shù)，得故選：C.4．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，厚度為（單位：）的帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對(duì)車輥逐步減薄后輸出，厚度變?yōu)椋▎挝唬海?若，每對(duì)軋輥的減薄率不超過4%，則冷軋機(jī)至少需要安裝軋輥的對(duì)數(shù)為（

）（一對(duì)軋輥減薄率）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，兩邊取對(duì)數(shù)能求出冷軋機(jī)至少需要安裝軋輥的對(duì)數(shù).【詳解】厚度為的帶鋼從一端輸入經(jīng)過減薄率為4%的對(duì)軋輥后厚度為，過各對(duì)車輥逐步減薄后輸出，厚度變?yōu)?，則，故選：D.5．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）尿酸是鳥類和爬行類的主要代謝產(chǎn)物，正常情況下人體內(nèi)的尿酸處于平衡的狀態(tài)，但如果體內(nèi)產(chǎn)生過多來不及排泄或者尿酸排泄機(jī)制退化，則體內(nèi)尿酸滯留過多，當(dāng)血液尿酸濃度大于7mg/dL時(shí)，人體體液變酸，時(shí)間長(zhǎng)會(huì)引發(fā)痛風(fēng)，而隨低食物（低嘌呤食物）對(duì)提高痛風(fēng)病人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效．科研人員在對(duì)某類隨低食物的研究過程中發(fā)現(xiàn)，在每天定時(shí)，定量等特定條件下，可以用對(duì)數(shù)模型描述血液尿酸濃度（單位：mg/dL）隨攝入隨低食物天數(shù)t的變化規(guī)律，其中為初始血液尿酸濃度，K為參數(shù)．已知，在按要求攝入隨低食物50天后，測(cè)得血液尿酸濃度為15，若使血液尿酸濃度達(dá)到正常值，則需將攝入隨低食物的天數(shù)至少提高到（）（

）A．69 B．71 C．73 D．75【答案】D【分析】代入得，設(shè)濃度為7mg/dL時(shí)，攝入天數(shù)為，則有，通過作差解出即可.【詳解】由函數(shù)模型，當(dāng)時(shí),,可得,即①.設(shè)血液尿酸濃度達(dá)到正常值7mg/dL時(shí)，攝入天數(shù)為,則，即②,②①得，即，則.故選：D.6．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑，二類建筑．二類建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學(xué)校教學(xué)樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為，4周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（

）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周【答案】B【分析】根據(jù)題意列式求解可得，即，令運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：，解得，所以，令，整理得，因?yàn)?，故，則，所以至少需要放置6周.故選：B.7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【答案】C【分析】依題設(shè)情境運(yùn)用特殊值求得函數(shù)模型中t的值，然后運(yùn)用函數(shù)模型得到關(guān)于n的不等式，通過指、對(duì)運(yùn)算求得n的取值范圍，即可得解．【詳解】依題意，，，當(dāng)時(shí)，，即，可得，于是，由，得，即，則，又，因此，所以若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次．故選：C8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2021年10月16日0時(shí)23分，長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，秒后，神舟十三號(hào)載人飛船進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員送入太空．在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度滿足公式：，其中為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度．當(dāng)時(shí)，千米/秒．在保持不變的情況下，若噸，假設(shè)要使超過第一宇宙速度達(dá)到千米/秒，則至少約為（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．噸 B．噸 C．噸 D．噸【答案】B【分析】根據(jù)所給條件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，由，得，所以，解得（噸），即至少約為噸.故選：B9．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義：一對(duì)軋輥的減薄率.如圖所示，為一臺(tái)搟面機(jī)的示意圖，搟面機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出.已知搟面機(jī)沒對(duì)軋輥的減薄率都為0.2（軋面的過程中，面帶寬度不變，且不考慮損耗）.有一臺(tái)搟面機(jī)共有10對(duì)軋輥，所有軋輥的橫截面積均為，若第對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在面帶上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在搟面機(jī)輸出的面帶上，疵點(diǎn)的間距為，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】據(jù)題意，第對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間鋼帶體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間鋼帶體積相等，因?qū)挾炔蛔?，可得到，由次求出，進(jìn)而求出.【詳解】設(shè)軋輥的半徑為，由軋輥的橫截面積可得：，解得：，所以軋輥的周長(zhǎng)為，由圖易知，第9對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，有，所以，所以故選：D.二、多選題10．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實(shí)數(shù)分別為甲?乙兩方初始實(shí)力，為比賽時(shí)間；分別為甲?乙兩方時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)分別為甲對(duì)乙?乙對(duì)甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲?乙兩方任何一方實(shí)力為0時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則甲比賽勝利D．若，則甲比賽勝利【答案】ABD【分析】計(jì)算，A正確，確定，化簡(jiǎn)得到B正確，甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時(shí)間大于乙方即可，計(jì)算得到，C錯(cuò)誤D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：若且，則，所以，由可得，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以乙方實(shí)力先為0，即，化簡(jiǎn)可得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，即，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時(shí)間大于乙方即可，設(shè)甲方實(shí)力為0時(shí)所用時(shí)間為，乙方實(shí)力為0時(shí)所用時(shí)間為，即，可得，同理可得，即，解得，又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，甲方獲得比賽勝利，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：根據(jù)C知