專題14-12-平方差公式(知識講解)-八年級數學上冊(人教版)

專題14.12平方差公式（知識講解）【學習目標】1.掌握平方差公式結構特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學會運用平方差公式進行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.4.能用平方差公式的逆運算解決問題【要點梳理】要點一：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.特別說明：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.要點二：平方差公式的特征抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號變化，xyxyx2y2x2y2③指數變化，x2y2x2y2x4y4④系數變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz【典型例題】類型一、利用平方差公式進行運算 1．運用平方差公式計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）利用平方差公式計算得出;(2)將原式變形為，再利用平方差公式計算得出.（3）連續(xù)用平方差公式計算即可；（4）原式乘以變形的1，即（2-1），變形后，利用平方差公式計算即可得到結果．【詳解】解：（1）（2）=（3）（4），，【點撥】本題考查利用平方差公式進行整式的混合運算,關鍵掌握平方差公式的特征,正確運用平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2計算即可．舉一反三：【變式1】用簡便方法計算：20152－2014×2016【答案】1利用平方差公式將后面的進行簡便計算，從而得出答案．解：原式．4．已知，求的值．【答案】-15【分析】先變形，再代入求出即可．解：∵x+y=3，x-y=5，∴y2-x2=-（x2-y2）=-（x+y）（x-y）=-1×3×5=-15，故答案為：-15．【點撥】本題考查了平方差公式，能靈活運用公式進行計算是解此題的關鍵，注意：（m+n）（m-n）=m2-n2．【變式2】先化簡，再求值．（x-3）（x＋2）-（3＋x）（3-x）-2x（x-2）其中，x＝2．【答案】【分析】由多項式乘以多項式、平方差公式、單項式乘以多項式等乘法法則，化簡括號，再合并同類項，最后代入x＝2計算解題即可．【詳解】（x-3）（x＋2）-（3＋x）（3-x）-2x（x-2）當時，原式【點撥】本題考查整式的化簡求值，其中涉及平方差公式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．【變式3】某同學在計算3（4+1）（+1）時，把3寫成(4﹣1)后，發(fā)現可以連續(xù)運用兩數和乘以這兩數差公式計算：3（4+1）（+1）=（4﹣1）（4+1）（+1）=（﹣1）（+1）=﹣1=255．請借鑒該同學的經驗，計算：．【答案】2.【解析】試題分析：原式變形后，利用平方差公式計算即可得到結果． 解：原式===2．考點：平方差公式．【變式4】計算：.【答案】2【分析】在前面乘一個2×（1-），然后再連續(xù)利用平方差公式計算.解：原式=2（1-）（1+）…（1+）+=2（1-）+=2-+=2【點撥】本題考查了平方差公式的運用，添加2×（1-）是解題的關鍵.類型二、平方差公式與幾何圖形 2．如圖，將邊長為m的正方形紙板沿虛線剪成兩個小正方形和兩個矩形，拿掉邊長為n的小正方形紙板后，將剩下的三塊拼成新的矩形．（1）用含m或n的代數式表示拼成矩形的周長；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面積．【答案】（1）矩形的周長為4m；（2）矩形的面積為33．【分析】（1）根據題意和矩形的周長公式列出代數式解答即可．（2）根據題意列出矩形的面積，然后把m=7，n=4代入進行計算即可求得.【詳解】（1）矩形的長為：m﹣n，矩形的寬為：m+n，矩形的周長為：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面積為S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，當m=7，n=4時，S=72-42=33．【點撥】本題考查了矩形的周長與面積、列代數式問題、平方差公式等，解題的關鍵是根據題意和矩形的性質列出代數式解答．舉一反三：【變式1】乘法公式的探究及應用.小題1：如圖1，可以求出陰影部分的面積是_______(寫成兩數平方差的形式)；小題2：如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的寬是_______，長是______，面積是_________(寫成多項式乘法的形式).小題3：比較圖1，圖2的陰影部分面積，可以得到乘法公式________(用式子表達).【答案】小題1：；小題2：，，；小題3：【分析】對于小題1，利用正方形面積的計算公式并結合已知表示出陰影部分的面積即可；

對于小題2，利用長方形面積的計算公式并結合已知表示出陰影部分的面積即可；

對于小題3，由圖②與圖①陰影部分的面積相等即可得到答案，注意乘法公式等號右邊是展開的形式.【詳解】小題1：利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積；故答案為：；小題2：由圖可知矩形的寬是，長是，所以面積是；故答案為：，，；小題3：(等式兩邊交換位置也可)；故答案為：.【點撥】本題考查平方差公式的幾何背景，解題的關鍵是讀懂題意，掌握平方差公式.【變式2】如圖1，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形．（1）設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的代數式表示S1和S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式．【答案】解：（1）.（2）.【詳解】解：（1）∵大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，

∴．

S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；

（2）根據題意得：

（a+b）（a-b）=．【變式3】從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是（請選擇正確的一個）A．a﹣2ab+b＝（a﹣b）B．a﹣b＝（a+b）（a﹣b）C．a+ab＝a（a+b）（2）若x﹣9y＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計算：．【答案】（1）B（2）3（3）【分析】（1