理論力學(xué)課件：點的合成運動

點的合成運動基本概念點的速度合成定理及其應(yīng)用點的加速度合成定理及其應(yīng)用6.16.26.3目錄Contents基本概念/016.1基本概念4點M的運動相對于地面觀察者，點的軌跡是旋輪線。對車上觀察者來說，點的軌跡是圓。三項主要任務(wù)確定2確定一組定參考系和一組動參考系。約定：定參考系固結(jié)在地球上。組坐標(biāo)系1個動點明確求解的那一點（或?qū)η蠼庾钣袔椭囊稽c），選這一點為動點。選擇123區(qū)分搞清絕對運動、相對運動和牽連運動種運動3絕對運動相對運動牽連運動區(qū)分三種運動應(yīng)注意：站在什么地方看物體的運動；看什么物體的運動動點與定參考系的運動為絕對運動；絕對運動動點與動參考系的運動為相對運動；相對運動動參考系與定參考系的運動為牽連運動牽連運動站在定參考系看動點的運動——絕對運動點點點點站在動參考系看動點的運動——相對運動點點點點站在定參考系看動參考系的運動——牽連運動參考體參考體參考體參考體從前例看區(qū)分3種運動Mu

R1個動點選擇M

點為動點2個坐標(biāo)系動參考系O’x’y’與車廂固結(jié)；定參考系按照約定固結(jié)在地球上3種運動動點M相相對與Oxy標(biāo)系（地球）的運動為絕對運動；動點M相相對與O’x’y’標(biāo)系（車廂）的運動為相對運動；O’x’y’坐坐標(biāo)系（車廂）相對與Oxy系（地球）的運動為牽連運動6.1.1兩種坐標(biāo)系111.定參考坐標(biāo)系、動參考坐標(biāo)系在上述例子中，滾動車輪上M的動系固定在車廂上。把固定在地球上的坐標(biāo)系稱為定參考坐標(biāo)系Oxyz。定系

動系6.1.2三種運動126.1.3三種速度和加速度動點在相對運動中的速度和加速度稱為：相對速度和相對加速度記作：vr

和

ar

(RelativeMotion)動點在絕對運動中的速度和加速度稱為：絕對速度和絕對加速度記作：va

和aa

(AbsoluteMotion)動點的絕對運動和相對運動都是指點的運動，直線運動,曲線運動。還有什么？三種速度和加速度14動參考系中，與動點重合的那一點的速度和加速度稱為：牽連速度和牽連加速度記作：ve和ae(CarrierMotion)牽連運動是參考體的運動。更直觀地說，是剛體的運動它可能作平動、定軸轉(zhuǎn)動或其他較復(fù)雜的運動7.1絕對運動、相對運動、牽連運動15167.1絕對運動、相對運動、牽連運動176.2速度合成定理1819在瞬時t，動點位于點M動參考系與曲線AB固結(jié)，定參考系與地面固結(jié)。經(jīng)過極短時間間隔△t。動點沿動系移動到M2點.（相對運動）

6.2速度合成定理20

分別為動點的絕對位移、牽連位移和相對位移。將上式等式兩邊同除以△t，并令△t→0，取極限，得21根據(jù)速度的定義，動點M的絕對速度動點M的相對速度牽連點的牽連速度22由于所以

動點在某瞬時的絕對速度=它在該瞬時的相對速度+牽連速度的矢量和例題155

仿形機床中半徑為R的半圓形靠模凸輪以等速度v0沿水平軌道向右運動，帶動頂桿AB沿鉛垂方向運動，如圖所示，試求φ=60o時，頂桿AB的速度。

ABv0nφR運動演示2425

解：1.選擇動點，動系與定系。動系－Ox'y'，固連于凸輪。2.運動分析。絕對運動－垂直方向的直線運動。牽連運動－水平平動。動點－AB的端點A。相對運動－沿凸輪輪廓的曲線運動。ABnφROx'y

'v0定系－固連于水平軌道。相對運動軌跡26273.速度分析。絕對速度va：大小未知，方向沿桿AB向上。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪圓周的切線

。牽連速度ve：ve=

v0，方向水平向右。ABnφRvaveφv0vr28此瞬時桿AB的速度方向向上。速度合成定理ABnφRvaveφv0vr29平動實例討論：若取凸輪圓心O′點為動點，動系固連頂桿AB，則相對運動軌跡是什么曲線？例題230

刨床的急回機構(gòu)如圖所示，曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接，當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動，設(shè)曲柄長OA=r，兩間距離OO1=l，求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角速度ω1。運動演示3132解：1.選擇動點，動系與定系。動系－O1x'y'，固連于搖桿O1B。2.運動分析。絕對運動－以O(shè)為圓心的圓周運動。相對運動－沿O1B的直線運動。牽連運動－搖桿繞O1軸的擺動。動點－滑塊A。y'x'定系－固連于機座。33應(yīng)用速度合成定理3.速度分析。絕對速度va：va＝OA·ω＝rω，方向垂直于OA，沿鉛垂方向向上。

相對速度vr：大小未知，方向沿搖桿O1B。牽連速度ve：ve為所要求的未知量，方向垂直于O1B。vavevr作出速度矢量圖34因為所以設(shè)搖桿在此瞬時的角速度為ω1，則其中所以可得vavevr例題335

如圖所示，半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時，桿AB的速度。R36eOCθωB解：1.選擇動點，動系與定系。動系－Ox′y′，固連于凸輪。2.運動分析。絕對運動－垂直方向的直線運動。相對運動－以C為圓心的圓周運動。牽連運動－繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動。動點－AB的端點A。y'x'定系－固連于機座。37eOCAθωBvevaθvr應(yīng)用速度合成定理3.速度分析。絕對速度va：va為所要求的未知量，方向沿桿AB。

相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪圓周的切線。牽連速度ve：ve＝OA·ω，方向垂直于OA。6.2速度合成定理38選取動點、動系及速度合成的一般原則所選取的動點和動系之間必須有相對運動，因此動點與動系不能選同一物體上。12動點的三種運動較簡明，動點的相對運動要易于直觀的看出注：在一些問題中，如果A構(gòu)件上有一點始終與B構(gòu)件接觸且在其上運動。則選A構(gòu)件上這一點為動點，動系固結(jié)在B構(gòu)件上。3作圖時，絕對速度在平行四邊形的對角線上。6.3.1牽連運動為平動時點的加速度合成定理動點M沿著動系上的曲線運動，同時曲線又隨同動系相對于定系作平動。k’j’i’yxzOy’x’z’O’M動點M的運動方程為：x’=f1(t)y’=f2(t)z’=f3(t)顯然：牽連運動為平動時點的加速度合成定理在每一瞬時，平動剛體上各點的速度、加速度彼此相等：

ve=vO’,ae=aO’由速度合成定理

va=ve+vrk’j’i’yxzOy’x’z’O’Maraaae即得：aa=ae+araaaeararaaae討論牽連運動為平動時點的加速度合成定理aa=ae+ar因為點的絕對運動軌跡、相對運動軌跡可能都是曲線，牽連運動也可能是曲線平動。加速度合成定理的一般形式為：上式所有加速度矢量的方位都是給定的，但指向不完全確定。畫指向原則：對未知指向，隨意畫；已知指向就必須按已知方向畫。

所有的法向加速度都不能隨意畫。求加速度之前需先求速度。上式中，只有三項切向加速度的6個要素可能是待求量，一般情況下，若知4個便可求解。點的復(fù)合運動：例題442

曲柄OA繞固定軸O轉(zhuǎn)動，丁字形桿BC沿水平方向往復(fù)平動，如圖所示。鉸鏈在曲柄端A的滑塊，可在丁字形桿的鉛直槽DE內(nèi)滑動。設(shè)曲柄以角速度ω作勻角速轉(zhuǎn)動，OA=r，試求桿BC的加速度。OABDECφω點的復(fù)合運動：例題443運動演示點的復(fù)合運動：例題444OABDECφω解：1.選擇動點，動系與定系。動系－Bx′y′，固連于丁字形桿。2.運動分析。絕對運動－以O(shè)為圓心的圓周運動。相對運動－沿槽CD的直線運動。牽連運動－丁字形桿BC沿水平方向的平動。動點－滑塊A。y'x'定系－固連于機座。點的復(fù)合運動：例題445OABDECφω因牽連運動為平動，應(yīng)用加速度合成定理3.加速度分析。絕對加速度aa：aa=OAω2

，沿著OA，指向O相對加速度ar：大小未知，方向沿鉛直槽DE牽連加速度ae：大小未知，待求，沿水平方向aeaaar

得桿BC的加速度點的復(fù)合運動：例題546

凸輪在水平面上向右作減速運動，如圖所示，設(shè)凸輪半徑為R，圖示瞬時的速度和加速度分別為v和a，求桿AB在圖示位置時的加速度。ABvanφR點的復(fù)合運動：例題547

解：1.選擇動點，動系與定系。動系－Ox′y′，固連于凸輪。2.運動分析。絕對運動－直線運動。牽連運動－水平平動。動點－AB的端點A。相對運動－沿凸輪輪廓曲線運動。ABvanφROx'y'定系－固連于機座。點的復(fù)合運動：例題548ABvanφROx'y'vavevrφ3.速度分析。絕對速度va：大小未知，方向沿桿AB向上。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪圓周的切線。牽連速度ve：ve=v，方向水平向右。根據(jù)速度合成定理

可求得：點的復(fù)合運動：例題549

4.加速度分析。絕對加速度aa：大小未知，為所要求的量，方向沿直線AB。相對加速度切向分量art：大小未知，垂直于OA，假設(shè)指向右下。牽連加速度ae：ae=a，沿水平方向。相對加速度法向分量arn：aen=vr2/R，沿著OA，指向O。ABvanφROaeaa點的復(fù)合運動：例題550根據(jù)加速度合成定理（牽連為平動）

上式投影到法線n上，得解得桿AB在圖示位置時的加速度

ABvanφROaeaa例6將前例中的垂直導(dǎo)桿換成繞B軸定軸轉(zhuǎn)動的搖桿。以AB桿的A點為動點，動系與半圓凸輪固結(jié)。試畫出加速度矢量圖。ABR

va不妨先請同學(xué)畫一下。R

B

A例7再將前例凸輪的約束作圖示改動，其它同。試畫出加速度矢量圖。不妨請同學(xué)再畫一下。以矢積表示點的速度和加速度回顧剛體內(nèi)任一點的速度可用矢量積表示，在軸線上任選一點O為原點，動點M的矢徑為r，則

v

=

rM

點的加速度a=d

v/dt

即

于是得：a=

r+

vzORM

v

r

r

va

an

6.3.2牽連運動為轉(zhuǎn)動時加速度合成定理的理論推導(dǎo)1、求OzyxO’x’y’z’k’j’i’A設(shè)動坐標(biāo)系為O’x’y’繞定坐標(biāo)系Oxy的z軸以角速度

e轉(zhuǎn)動。

先分析k’對

t

的導(dǎo)數(shù)，A點和O’點的矢徑分別為rA和rO’又：rArO’

式(1)－(2)得：

e以矢端A點為對象6.3.2牽連運動為轉(zhuǎn)動時加速度合成定理的理論推導(dǎo)（續(xù)1）2、求：

即：3、求：6.3.2牽連運動為轉(zhuǎn)動時加速度合成定理的理論推導(dǎo)（續(xù)2）OzyxO’x’y’z’k’j’i’RO’

e設(shè)M點為動點，它的矢徑為r當(dāng)動系繞z

軸以角速度

e轉(zhuǎn)動時，牽連速度（動系上與動點重合的那一點的速度）為：ve=

e×r式中：∵

r

是動點M的矢徑，最后得：Mrr’

eMrr’

eMrr’

eMrr’

e（）（）（）（）合成定理的理論推導(dǎo)（續(xù)3）4、證明將速度合成定理va=ve+vr等式兩邊對時間

t求導(dǎo)分別代入第1部分和第2部分的結(jié)果，便得：上式表明：當(dāng)動系為定軸轉(zhuǎn)動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度和科氏加速度的矢量和?！剖霞铀俣瓤剖霞铀俣鹊娜舾烧f明（1）可以證明上式對牽連運動為任意運動時皆成立，它是加速度合成定理的普遍形式。當(dāng)牽連運動為平動時，

e

=0，導(dǎo)致aC=0，一般式退化到平動時的特殊式。其中

為

e

與vr

兩矢量間的最小夾角。aC的大小為：aC=2

evr

sin

矢aC垂直與

e和v

r組成的平面，指向按右手法則。z科氏加速度的若干說明（2）aC=2

evr

的兩種特殊情況：1、下列情況導(dǎo)致aC=0

a)前面提到的

e=0，如剛體平動情形。b)vr=0，設(shè)滑塊為動點，動系與搖桿AO固結(jié)。c)

e∥v

r

，如圖示繞z

軸轉(zhuǎn)動的球體，其上一動點沿經(jīng)向運動到0度緯線瞬時。

ev

rAO

ev

r

ev

r

ev

r點的復(fù)合運動：例題860

刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接，當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動，設(shè)曲柄長OA=r，OO1=l，求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角加速度α1。vavevry

x

由例題3速度分析得解：1.選擇動點，動系與定系。動系－O1x′y′，固連于搖桿O1B。動點－滑塊A。定系－固連于機座。

點的復(fù)合運動：例題8點的復(fù)合運動：例題862x'y'O1Oφωω1ABaaaraC2.加速度分析。絕對加速度aa：沿著OA，指向O。相對加速度ar：大小未知，假設(shè)沿O1B向上。牽連加速度切向分量aet：大小未知，垂直于O1B，假設(shè)指向右下。牽連加速度法向分量aen：

沿著O1A，指向O1。

科氏加速度aC：

垂直O(jiān)1B指向如圖。點的復(fù)合運動：例題863上式向O1x

'軸投影

或解得故搖桿O1A的角加速度轉(zhuǎn)向為逆時針α1

由于牽連運動有轉(zhuǎn)動，所以加速度合成定理x'y'O1Oφωω1ABaaaraC

點的復(fù)合運動：例題964

圖示一汽閥凸輪機構(gòu)，設(shè)此瞬時，OA=r，凸輪輪廓曲線在A點的曲率半徑為ρ，其法線n—n與OA的夾角為θ，凸輪繞固定軸O以等角速度ω0轉(zhuǎn)動，試求此時挺桿平動的加速度。點的復(fù)合運動：例題965運動演示點的復(fù)合運動：例題966y'x'O′解：1.選擇動點，動系與定系。動系－O′x′y′，固連于凸輪。2.運動分析。絕對運動－沿Oy軸的直線運動。相對運動－A點沿凸輪輪廓的曲線運動。牽連運動－凸輪及動坐標(biāo)系的定軸轉(zhuǎn)動。動點－挺桿的端點A。定系－固連于機座。點的復(fù)合運動：例題967y'x'O′3.速度分析。絕對速度va：大小未知，方向沿桿AB向上。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪輪廓曲線的切線。牽連速度ve：ve=

r

ω0，方向水平向右。vevavrθ

應(yīng)用速度合成定理

可求得：點的復(fù)合運動：例題968aeaaaCy'x'O′4.加速度分析。絕對加速度aa：大小未知，為所求挺桿加速度，方向鉛垂。

相對加速度切向分量art：大小未知，方向沿凸輪輪廓曲線的切線。

點的合成運動69一般情況下求解點的合成運動問題的解題步驟選擇動點，動參考系。分析三種運動、三種速度、三種加速度。分析時明確各種速度、加速度的大小、方向這兩元素，那個已知，那個待求。進行速度分析，并作速度矢量圖。作圖時，絕對速度要成為平行四邊形的對角線上。進行加速度分析，并作加速度矢量圖。加速度分析時，應(yīng)根據(jù)牽連運動情況選擇相對應(yīng)加速度合成。以矢積表示點的速度和加速度----回顧剛體內(nèi)任一點的速度可用矢量積表示，

v

=

rM

點的加速度a=d

v/dt

即

zORM

v

r

r

va

an

7.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成定理1、求OzyxO’x’y’z’k’j’i’A設(shè)動坐標(biāo)系為O’x’y’繞定坐標(biāo)系Oxy的z軸以角速度

e轉(zhuǎn)動。

先分析k’對

t

的導(dǎo)數(shù)，A點和O’點的矢徑分別為rA和rO’rArO’

式(1)－(2)得：

e2、求：

即：平動時此項=0

7.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成定理3、求：OzyxO’x’y’z’k’j’i’RO’

e設(shè)M點為動點，它的矢徑為r當(dāng)動系繞z

軸以角速度

e轉(zhuǎn)動時，牽連速度ve=

e×r最后得：Mrr’

eMrr’

eMrr’

eMrr’

e

7.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成定理4、將速度合成定理va=ve+vr等式兩邊對時間

t求導(dǎo)分別代入第1部分和第2部分的結(jié)果，便得：上式表明：當(dāng)動系為定軸轉(zhuǎn)動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度和科氏加速度的矢量和?！剖霞铀俣?/p>

7.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成定理科氏加速度的若干說明（1）可以證明上式對牽連運動為任意運動時皆成立，它是加速度合成定理的普遍形式。當(dāng)牽連運動為平動時，

e

=0，導(dǎo)致aC=0，一般式退化到平動時的特殊式。其中

為

e

與vr

兩矢量間的最小夾角。aC的大小為：aC=2

evr

sin

矢aC垂直與

e和v

r組成的平面，指向按右手法則。z科氏加速度的若干說明（2）aC=2

evr

的兩種特殊情況：1、下列情況導(dǎo)致aC=0

a)前面提到的

e=0，如剛體平動情形。b)vr=0，設(shè)滑塊為動點，動系與搖桿AO固結(jié)。c)

e∥v

r

，如圖示繞z

軸轉(zhuǎn)動的球體，其上一動點沿經(jīng)向運動到0度緯線瞬時。

ev

rAO

ev

r

ev

r

ev

r點的復(fù)合運動：例題877當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動，設(shè)曲柄長OA=r，OO1=l，求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角加速度α1。vavevry

x

由例題3速度分析得解：1.選擇動點，動系與定系。動系－O1x′y′，固連于搖桿O1B。動點－滑塊A。定系－固連于機座。

點的復(fù)合運動：例題8點的復(fù)合運動：例題879x'y'O1Oφωω1ABaaaraC2.加速度分析。絕對加速度aa：沿著OA，指向O。相對加速度ar：大小未知，假設(shè)沿O1B向上。牽連加速度切向分量aet：大小未知，垂直于O1B，