2024-2025學年陜西省高二上冊第二次段考數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年陜西省高二上學期第二次段考數(shù)學檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a3＝5，a6＝3，則a9＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（5分）拋物線y=1A．y=?12 B．y=?18 C．3．（5分）已知數(shù)列{an}是公比為﹣2的等比數(shù)列，且a2﹣a3＝6，則a1＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．（5分）若數(shù)列{an}的前四項依次為2，12，112，1112，則{an}的一個通項公式為（）A．a(chǎn)n=10n?1+2 B．a(chǎn)n＝（C．a(chǎn)n=15．（5分）已知點P為橢圓x225+y216=1上的任意一點，OA．x2100+yC．4x2256．（5分）已知點M為雙曲線C：x29?y216=1左支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，則|MF1|+|A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）已知a，b，c成等比數(shù)列，且a+b＝﹣6，b+c＝18，等差數(shù)列{bn}滿足b3＝b，b9＝a，則當數(shù)列{bnbn+1bn+2}的前n項和取最小值時，n的值為（）A．5 B．7 C．6或7 D．5或78．（5分）定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，a13＝5，則數(shù)列{1an+an+1A．2n+1?12 B．2n?1?12 C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）若直線（a﹣2）x+4y+a＝0與直線（a﹣2）x+（a2+2a+4）y﹣2＝0平行，則a的值可以是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．4（多選）10．（6分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，下列各條件能推出數(shù)列{an}一定為等比數(shù)列的是（）A．a(chǎn)nan+1=aB．a(chǎn)n+1C．Sn＝tn（t≠0） D．Sn＝an+1﹣a（a≠0且a≠1）（多選）11．（6分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，A，B是拋物線C上的兩點，O為坐標原點，則（）A．若A的縱坐標為2，則|AF|＝3 B．若直線AB過點F，則|AB|的最小值為4 C．若OA→?OB→D．若BB′垂直C的準線于點B′，且|BB′|＝2|OF|，則四邊形OFBB′的周長為3+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）數(shù)列{an}滿足anan+1＝2n+1，若a3＝1，則a1＝．13．（5分）已知F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若△14．（5分）近年來，隨著新能源汽車的推廣和智能化趨勢的不斷演進，尤其在新的電子電氣架構下，汽車芯片迎來巨大的市場需求．為了滿足日益增長的市場需求，某芯片生產(chǎn)公司于2022年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用較上一年增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%．設an為第n年的維修費用，An為前n年的平均維修費用，若An＜40萬元，則該設備繼續(xù)使用，否則從第n年起需對設備進行更新，則該設備需更新的年份為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn．（1）若an＝2n﹣1，求S2n﹣1；（2）若an=1?416．（15分）已知等差數(shù)列{an}滿足a3＞a2，a1+a3＝10，a1，a2﹣1，a3成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=an3n，求數(shù)列{bn17．（15分）已知圓C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和點M（1，﹣5）．（1）過點M作一條直線與圓C交于A，B兩點，且|AB|＝6，求直線AB的方程；（2）過點M作圓C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，求EF所在的直線方程．18．（17分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝3，{Sn}是公比為3的等比數(shù)列．（1）求Sn與an；（2）設bn＝anSn，求數(shù)列{bn}的前k項和Tk（k≥2）；（3）判斷是否存在正整數(shù)s，t，r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差數(shù)列？若存在，寫出s，t，r的一組值；若不存在，請說明理由．19．（17分）給定橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，我們稱橢圓x2a2+y2b2=a（1）橢圓E的方程；（2）P是橢圓E上一點（非頂點），直線AP與橢圓E的“伴隨橢圓”交于G，H兩點，直線BP與橢圓E的“伴隨橢圓”交于M，N兩點，證明：|GH|+|MN|為定值．

答案與試題解析題號12345678答案DABDCBDA一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a3＝5，a6＝3，則a9＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)計算得解．解：由a3+a9＝2a6，a3＝5，a6＝3，則a9＝2a6﹣a3＝2×3﹣5＝1．故選：D．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．2．（5分）拋物線y=1A．y=?12 B．y=?18 C．【分析】先將拋物線方程化為標準方程，其為開口向上，焦準距為1的拋物線，寫出其準線方程y=?p解：拋物線y=12x2的標準方程為x焦準距p＝1，p∴拋物線y=12x故選：A．【點評】本題主要考查了拋物線的標準方程及其幾何意義，特別注意方程是否標準形式，屬基礎題3．（5分）已知數(shù)列{an}是公比為﹣2的等比數(shù)列，且a2﹣a3＝6，則a1＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由等比數(shù)列通項公式即可求解．解：數(shù)列{an}是公比為﹣2的等比數(shù)列，得a2＝﹣2a1，a3＝4a1，由a2﹣a3＝6，得﹣6a1＝6，a1＝﹣1．故選：B．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．4．（5分）若數(shù)列{an}的前四項依次為2，12，112，1112，則{an}的一個通項公式為（）A．a(chǎn)n=10n?1+2 B．a(chǎn)n＝（C．a(chǎn)n=1【分析】通過規(guī)律即可求解．解：數(shù)列{an}的前四項依次為2，12，112，1112，∵2＝10﹣8，12＝100﹣88，112＝1000﹣888，1112＝10000﹣8888，∴{an}的一個通項公式為：an故選：D．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式、觀察、歸納、總結等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．（5分）已知點P為橢圓x225+y216=1上的任意一點，OA．x2100+yC．4x225【分析】利用代入法求點M的軌跡方程即可．解：設P點坐標為（x0，y0），則x0設M（x，y），因為OM→=12OP→，所以（x，y）=12（x0，y0），即x0代入x0225故選：C．【點評】本題考查軌跡方程的求法，熟練掌握利用代入法求軌跡方程的條件是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．6．（5分）已知點M為雙曲線C：x29?y216=1左支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，則|MF1|+|A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由雙曲線的定義即可求解．解：由雙曲線的標準方程可知a＝3，b＝4，c=a∵點M為雙曲線C：x29?y216=1左支上的一點，∴|MF2|﹣|MF1|＝2a，故|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝2c﹣2a，∴|MF1|+|F1F2|﹣|MF2|＝2c﹣2a＝10﹣6＝4．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題．7．（5分）已知a，b，c成等比數(shù)列，且a+b＝﹣6，b+c＝18，等差數(shù)列{bn}滿足b3＝b，b9＝a，則當數(shù)列{bnbn+1bn+2}的前n項和取最小值時，n的值為（）A．5 B．7 C．6或7 D．5或7【分析】由已知求出等差數(shù)列的通項公式，可得bnbn+1bn+2，再由數(shù)列的函數(shù)特性得答案．解：由a，b，c成等比數(shù)列，且a+b＝﹣6，b+c＝18，得公比q=b+ca+b=18?6=?3，則則b＝﹣9，b3＝b＝﹣9，b9＝a＝3，等差數(shù)列{bn}的公差d=b則bn＝b3+2（n﹣3）＝﹣9+2n﹣6＝2n﹣15，∴bnbn+1bn+2＝（2n﹣15）（2n﹣13）（2n﹣11），當n≤5時，bnbn+1bn+2＜0；當n≥8時，bnbn+1bn+2＞0，而b6b7b8＝（﹣3）×（﹣1）×1＝3＞0，b7b8b9＝（﹣1）×1×3＝﹣3＜0，b6b7b8+b7b8b9＝0．∴當n＝5或n＝7時，{bnbn+1bn+1}的前n項和最?。蔬x：D．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查運算求解能力，是中檔題．8．（5分）定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，a13＝5，則數(shù)列{1an+an+1A．2n+1?12 B．2n?1?12 C．【分析】借助所給新定義與等差數(shù)列定義可得數(shù)列{an}的通項公式，再利用裂項相消法計算即可得解．解：由題意可得an+12?an則an2=a12+2(n?1)，由a故an2=1+2(n?1)=2n?1則1=2n+1故Sn故選：A．【點評】本題考查新定義數(shù)列，考查裂項相消的求和，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）若直線（a﹣2）x+4y+a＝0與直線（a﹣2）x+（a2+2a+4）y﹣2＝0平行，則a的值可以是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．4【分析】利用兩直線平行，得出斜率相等，進而求解．解：因為直線（a﹣2）x+4y+a＝0與直線（a﹣2）x+（a2+2a+4）y﹣2＝0平行，由斜率相等得?a?2所以a﹣2＝0或a2+2a+4＝4，解得a＝2或0或﹣2，當a＝﹣2時兩直線重合，舍去．故選：AB．【點評】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎題．（多選）10．（6分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，下列各條件能推出數(shù)列{an}一定為等比數(shù)列的是（）A．a(chǎn)nan+1=aB．a(chǎn)n+1C．Sn＝tn（t≠0） D．Sn＝an+1﹣a（a≠0且a≠1）【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義逐項判斷即可．解：A項，an＝0滿足條件，但{an}不是等比數(shù)列；B項，由等比數(shù)列的定義，知{an}是等比數(shù)列；C項，可得an＝t，{an}是公比為1的等比數(shù)列；D項，當n＝1時，a1＝S1＝a2﹣a，當n≥2時，由an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣a﹣（an﹣a）＝（a﹣1）an，n＝1符合，則an=(a?1)an故選：BCD．【點評】本題考查等比數(shù)列的判斷，屬于基礎題．（多選）11．（6分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，A，B是拋物線C上的兩點，O為坐標原點，則（）A．若A的縱坐標為2，則|AF|＝3 B．若直線AB過點F，則|AB|的最小值為4 C．若OA→?OB→D．若BB′垂直C的準線于點B′，且|BB′|＝2|OF|，則四邊形OFBB′的周長為3+【分析】由點A縱坐標可得點A坐標，即可判斷選項A錯誤；設直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用|AB|＝x1+x2+p表示|AB|，即可得到選項B正確；設直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，計算x1x2，y1y2，利用OA→?OB→=x1x2解：已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，則p＝2，F(xiàn)（1，0），準線方程l：x＝﹣1．對于A．由A的縱坐標為2，則A（1，2），故|AF|＝2，選項A錯誤．對于B．如圖，設直線AB方程為：x＝my+1，由x=my+1y得y2﹣4my﹣4＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1則|AB|=x1+x2+p=4m選項B正確．對于C．如圖，設直線AB方程為：x＝my+t，由x=my+ty得y2﹣4my﹣4t＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1則OA→解得t＝2，即直線AB方程為：x＝my+2，恒過定點（2，0），選項C正確．對于D．如圖，設點B在第四象限．由題意得，|OF|＝1，則|BB′|＝2|OF|＝2．由準線方程為x＝﹣1，得xB＝1，故B（1，﹣2），B'（﹣1，﹣2），則|BF|=2，|OB′|=(?1即四邊形OFBB′的周長為5+5選項D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點考查了直線與拋物線的位置關系，屬中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）數(shù)列{an}滿足anan+1＝2n+1，若a3＝1，則a1＝35【分析】由遞推關系與a3＝1，逐項逆推可得．解：由anan+1＝2n+1，可得n＝1時，a1a2＝3，n＝2時，a2a3＝5，由a3＝1，可得a2＝5，則a1=3故35【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和賦值法，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．13．（5分）已知F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若△OPF的面積為【分析】根據(jù)題意可得點F到漸近線的距離為b，結合面積關系列式求解即可．解：設C的半焦距為c＞0，則F（c，0），漸近線方程為y=±bax，即bx故點F到漸近線的距離為|PF|=|bc|b2由題意可得S△OPF=1可得c2＝2（c2﹣a2），所以c2a2故2．【點評】本題考查雙曲線的幾何特征，屬于中檔題．14．（5分）近年來，隨著新能源汽車的推廣和智能化趨勢的不斷演進，尤其在新的電子電氣架構下，汽車芯片迎來巨大的市場需求．為了滿足日益增長的市場需求，某芯片生產(chǎn)公司于2022年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用較上一年增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%．設an為第n年的維修費用，An為前n年的平均維修費用，若An＜40萬元，則該設備繼續(xù)使用，否則從第n年起需對設備進行更新，則該設備需更新的年份為2030．【分析】前6年的維修費用構成等差數(shù)列，第6年及之后每年的維修費用構成等比數(shù)列，分成兩部分單獨求和，最后逐一計算第n年的前n年平均維修費用，與40作比較即可．解：設前n年的總維修費用為S，a1＝20，a6＝20+5×4＝40，則S6=6(a1當n≥7時，an所以a7=54aSn則An計算得A7=2307＜40故從第9年起需對設備進行更新，更新的年份為2022+9﹣1＝2030．故2030．【點評】本題主要考查數(shù)列的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn．（1）若an＝2n﹣1，求S2n﹣1；（2）若an=1?4【分析】（1）由等差數(shù)列前n項和公式即可求解；（2）由等比數(shù)列求和公式即可求解．解：（1）由an＝2n﹣1，得an+1﹣an＝2n+1﹣（2n﹣1）＝2，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴S2n?1（2）∵an∴Sn【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項和的求法，考查運算求解能力，是中檔題．16．（15分）已知等差數(shù)列{an}滿足a3＞a2，a1+a3＝10，a1，a2﹣1，a3成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=an3n，求數(shù)列{bn【分析】（1）根據(jù)等差、等比中項可得a1+a3＝10，a1a3＝16，結合題意解方程可得a1，a3，進而可得公差和通項；（2）由bn解：（1）等差數(shù)列{an}滿足a3＞a2，a1+a3＝10，a1，a2﹣1，a3成等比數(shù)列，因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則a1+a3＝2a2＝10，即a2＝5，又因為a1，a2﹣1，a3成等比數(shù)列，則a1聯(lián)立方程a1+a3=10且a3＞a2＞a1，則a1=2a3所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．（2）由bn所以Tn【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．17．（15分）已知圓C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和點M（1，﹣5）．（1）過點M作一條直線與圓C交于A，B兩點，且|AB|＝6，求直線AB的方程；（2）過點M作圓C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，求EF所在的直線方程．【分析】（1）計算出圓心C到直線AB的距離，對直線AB的斜率是否存在進行分類討論，在直線AB的斜率不存在時，直接檢驗即可；在直線AB的斜率存在時，設出直線AB的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)值，綜合可得出直線AB的方程；（2）求出以點M為圓心，半徑為|ME|的圓的方程，將該圓方程與圓C的方程作差，即可得出直線EF的方程．解：（1）圓C的標準方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圓心為C（2，﹣1），半徑為r=10所以圓心C到直線AB的距離為d=r當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝1，此時圓心C到直線AB的距離為|2﹣1|＝1，符合題意；當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，由題意可得d=|2k+1?k?5|k2此時直線AB的方程為y+5=158(x?1)，即15x綜上所述，直線AB的方程為x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；（2）因為|MC|=(2?1)2+所以以點M為圓心，|ME|為半徑為圓的方程為（x﹣1）2+（y+5）2＝7，聯(lián)立(x?1)2+(y+5)2即EF所在的直線方程為x+4y+12＝0．【點評】本題考查分類討論的思想，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．18．（17分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝3，{Sn}是公比為3的等比數(shù)列．（1）求Sn與an；（2）設bn＝anSn，求數(shù)列{bn}的前k項和Tk（k≥2）；（3）判斷是否存在正整數(shù)s，t，r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差數(shù)列？若存在，寫出s，t，r的一組值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）結合等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列和與項的遞推關系即可求解；（2）先求出bn，結合等比數(shù)列的求和公式即可求解；（3）結合等差數(shù)列的性質(zhì)進行分析即可判斷．解：（1）因為{Sn}是公比為3的等比數(shù)列，且S1＝a1＝3，所以Sn當n≥2時，an所以an（2）因為S所以bn當n≥2時，{bn}是公比為