2024-2025學(xué)年陜西省高二上冊(cè)12月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省高二上學(xué)期12月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則該圓圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．一光線過(guò)點(diǎn)，經(jīng)傾斜角為的且過(guò)的直線反射后過(guò)點(diǎn)，則反射后的光線不會(huì)經(jīng)過(guò)下列哪個(gè)點(diǎn)（

）A． B． C． D．4．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d.若，，則（）A． B．C． D．無(wú)最大值5．在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．6．過(guò)拋物線：焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若是正三角形，則（

）A． B． C． D．27．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，焦距為8，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線C的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得曲線為圓B．若曲線C為橢圓，則C．若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則D．當(dāng)曲線C是橢圓時(shí)，曲線C的焦距為定值10．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量共面11．已知直三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．平面C．異面直線AE與所成的角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面ACE的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為.14．已知、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則雙曲線的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最大值.16．求滿足下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)焦點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)在拋物線上，且的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．17．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，圓心在直線上.直線的方程為(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值和最小值.18．如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，已知，且．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．如圖，已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為A0,3，離心率為，若過(guò)點(diǎn)作圓：（）的兩條切線分別與橢圓相交于點(diǎn)，（不同于點(diǎn)）.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線和的斜率分別為，，求證:為定值；(3)求證：直線過(guò)定點(diǎn).

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意，的最小值是點(diǎn)到直線的距離，即.故選：A.2．【正確答案】C【詳解】對(duì)圓進(jìn)行配方可得：，圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，所以直線經(jīng)過(guò)圓心，所以，解得，故圓心為，故選：C.3．【正確答案】D【詳解】?jī)A斜角為的且過(guò)的直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，即，解得，即，于是反射后的光線所在的直線方程為，即，對(duì)于A：時(shí)，，故A正確；對(duì)于B：時(shí)，，故B正確；對(duì)于C：時(shí)，，故C正確；對(duì)于D：時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．【正確答案】B【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，可得，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，可知，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故D錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；故選：B.5．【正確答案】B【詳解】由，則，，，，…，以上各式累加得．所以．因?yàn)橐策m合上式，所以．故選：B.6．【正確答案】B【詳解】由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的傾斜角為，由圖，根據(jù)是正三角形，有，又F1,0，所以，聯(lián)立，得，設(shè)，則，由拋物線的定義，.故選：B.

7．【正確答案】C【分析】利用雙曲線的定義及漸近線方程，將轉(zhuǎn)化為的形式，通過(guò)點(diǎn)共線判斷并計(jì)算的最小值即可.【詳解】如圖所示由題意知，解得記的右焦點(diǎn)為，即，由雙曲線的定義，得，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為.故選：C.8．【正確答案】C【詳解】如圖，由橢圓定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡(jiǎn)可得，所以的面積為，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得，可得，易知的周長(zhǎng)為，利用等面積法可知，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以，離心率.故選：9．【正確答案】AC【分析】按圓和圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A正確：曲線C為圓即；B錯(cuò)誤：C為橢圓C正確：C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，D錯(cuò)誤：C是橢圓，此時(shí)焦距，不是定值.故選：AC10．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，，則，而，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，，B正確；對(duì)于C，向量在向量上的投影向量為：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由向量，得，向量與向量共面，D正確.故選：BD11．【正確答案】ABD【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.A：，所以，故A正確；B：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；C：，則，所以，即異面直線與所成的角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ABD12．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，推導(dǎo)出，從而數(shù)列是從第二項(xiàng)起，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】為數(shù)列的前項(xiàng)和，①時(shí)，②①②，得：，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為.本題主要考查了求數(shù)列通項(xiàng)公式，解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通向公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以，其表示為圓的上半部分.設(shè)半圓上一動(dòng)點(diǎn)Px,y表示的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連接的直線的斜率，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，直線的斜率取最大值，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得或（舍去），則直線的斜率的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為2,1時(shí)，則直線的斜率取最小值，為，綜上，的取值范圍為.故答案為.

14．【正確答案】/【詳解】因?yàn)椤⒎謩e為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得，則，在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，，所以的離心率.故15．【正確答案】(1)；(2)，最大值為16【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1），故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為16.16．【正確答案】(1)或(2)(3)【詳解】（1）由題意得，故，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，綜上，所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）設(shè)所求拋物線方程為，其準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為.17．【正確答案】(1)(2)最大值為；最小值為【詳解】（1）由已知圓心在直線上，則設(shè)，又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；（2）由已知直線，即，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，且，所以當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)弦長(zhǎng)最大為，當(dāng)直線時(shí)弦長(zhǎng)最小為.18．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）證明：分別為中點(diǎn)，為的中位線，且，，又F為中點(diǎn)，為的中位線，又，，又，平面又平面，所以平面平面（2）由（1）知平面，又平面，平面平面因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，又平面平面，所以平面為直線與平面所成角，在直角中，，所以19．