2024-2025學年山東省新泰市高三上冊第二次質量檢測數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年山東省新泰市高三上學期第二次質量檢測數(shù)學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法化簡集合，再利用集合的交集運算即可得到結論．【詳解】，，，故選：．本題主要考查集合的基本運算，考查了一元二次不等式的解法，比較基礎．2.已知復數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法法則計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：A本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題.3.已知等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)下標和性質，結合同號可得.【詳解】由等比數(shù)列下標和性質可得，又，所以.故選：A4.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設直線的傾斜角為.由已知，可推得.分兩種情況時以及時，結合正切函數(shù)的性質求解即可得到結果.【詳解】設直線的傾斜角為.因為，，，所以，.又，則.當時，單調遞增，解，可得；當時，單調遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.5.如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點是上底面圓周上不與直徑端點重合的一點，且為上底面圓的圓心，PC為圓臺的一條母線，則與平面所成的角的正切值為（）A.2 B. C. D.【正確答案】A【分析】作出直線與平面所成的角，通過解直角三角形來求得直線與平面所成的角的正切值.【詳解】設為下底面圓的圓心，連接和，因為，所以，又因為平面，所以平面，因為是該圓臺的一條母線，所以四點共面，且，又平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以點在平面的射影在直線上，則與平面所成的角即為，過點作于點，因為，所以故選：A6.已知，，分別為內角，，的對邊，，，則的面積為（）A. B.2 C. D.【正確答案】C【分析】由正弦定理可得：，化簡利用余弦定理可求得角,由可求得，根據(jù)面積公式即可求得結果.【詳解】由已知及正弦定理得，化簡得，∴，，∴，∴，∴．故選：C本題主要考查了數(shù)量積公式，考查解三角形中的正余弦定理以及面積公式的運用，屬于中檔題.7.如圖所示，在正六邊形中，點是內（包括邊界）的一個動點，設，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】以直線FB為x軸，線段FB的中垂線為y建立平面直角坐標系，結合已知求出點P的坐標，再由點P所在區(qū)域求解作答.【詳解】在正六邊形中，以直線FB為x軸，線段FB中垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，令，則點，因此，因，則，于是得點，又點是內（包括邊界）的一個動點，顯然點P在直線及上方，點P縱坐標最大不超過3，即有，解得，所以的取值范圍是.故選：B8.已知函數(shù)，若且，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數(shù)于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，計算出直線的傾斜角為，可得出，于是當直線與曲線相切時，取最大值，從而取到最大值.【詳解】當時，，求導，令，得當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；如下圖所示：設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數(shù)于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，，由圖形可知，當直線與曲線相切時，取最大值，令，得，切點坐標為，此時過切點且垂直于切線的直線為，該直線與射線的交點為，又，，故選：B.關鍵點點睛：本題考查函數(shù)零點差的最值問題，解題的關鍵將問題轉化為兩平行直線的距離，考查學生的化歸與轉化思想以及數(shù)形結合思想，屬于難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列滿足，，則下列各數(shù)是的項的有（）A. B. C.2 D.3【正確答案】AD【分析】根據(jù)遞推式求出的值，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列為周期數(shù)列，從而得出答案.【詳解】因，所以，所以數(shù)列的周期為3，所以的項的有.故選：AD.10.已知直線，其中，則（

）A.當時，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線過定點D.當時，直線在兩坐標軸上的截距相等【正確答案】AC【分析】計算直線斜率判斷A；由平行求出參數(shù)值判斷B；求出直線過的定點判斷C；求出直線的截距判斷D.【詳解】對于A，當時，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，因此當時，直線與直線垂直，A正確；對于B，若直線與直線平行，則，解得或，B錯誤；對于C，當時，，與無關，則直線過定點，C正確；對于D，當時，直線的方程為，在兩坐標軸上的截距分別是，1，不相等，D錯誤.故選：AC11.設函數(shù)向左平移個單位長度得到函數(shù)，已知在上有且只有個零點，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.在上單調遞增C.的取值范圍是D.在上有且只有個極大值點，在上有且只有個極小值點【正確答案】BC【分析】先求得的解析式，然后根據(jù)在區(qū)間上零點的個數(shù)求得的取值范圍，再結合三角函數(shù)的對稱性、單調性、極值點等知識來求得正確答案.【詳解】函數(shù)向左平移個單位長度得到函數(shù).當時，，依題意，在上有且只有個零點，所以，所以C選項正確.不恒為或，所以A選項錯誤.當時，，其中，，所以在上單調遞增，B選項正確.當時，，其中，所以在上有且只有個極大值點，在上有個或個極小值點，所以D選項錯誤.故選：BC易錯點睛：對稱性判斷：容易忽視相位偏移對函數(shù)圖象對稱性的影響，平移量為并不保證函數(shù)圖象在對稱，零點計算：解零點分布時，需考慮到周期性以及函數(shù)相位的影響，特別是的取值范圍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、是分別經(jīng)過，兩點的兩條平行直線，當、間的距離最大時，直線的方程為______．【正確答案】【分析】先判斷出當⊥AB時、間的距離最大，求出，進而求出，即可求出直線的方程.【詳解】設兩平行直線、的距離為d.因為、是分別經(jīng)過，點的兩條平行直線，所以,當且僅當⊥AB時取等號.因為直線AB的斜率為，所以與直線AB垂直的直線的斜事為，所以的方程為，即.故13.已知數(shù)列滿足，的前項的和記為，則______.【正確答案】【分析】利用兩角差的正弦公式化簡得出，可求得，進而可計算得出的值.【詳解】，，因此，.故答案為.本題考查裂項相消法求和，同時也考查了利用兩角差的正弦公式化簡求值，考查計算能力，屬于中等題.14.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為________．【正確答案】.【分析】根據(jù)已知條件易得，側面，可得側面與球面的交線上的點到的距離為，可得側面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長公式可求得結果.【詳解】如圖：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側面，設為側面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側面與球面的交線是扇形的弧，因，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為.本題考查了直棱柱的結構特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，的面積為.（1）求a；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關系求得的值，結合三角形面積公式可求得的值，再運用余弦定理可求得的值.（2）先由（1）得出，進而由正弦定理求得，再由二倍角公式得到，最終由兩角和的余弦公式運算即可求解.【小問1詳解】因為，所以，又因為的面積為，所以，解得，又因為，所以由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】由，，解得或（舍去），由正弦定理得，即，解得.且C為銳角，所以，所以，，所以.16.已知直線．（1）若直線不經(jīng)過第一象限，求k的取值范圍；（2）若直線交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S（O為坐標原點），求S的最小值和此時直線的方程．【正確答案】（1）（2）的最小值為，此時直線的方程為【分析】(1)驗證時，直線是否符合要求，當時，將直線方程化為斜截式，結合條件列不等式求k的取值范圍；(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.【小問1詳解】當時，方程可化為，不經(jīng)過第一象限；當時，方程可化為，要使直線不經(jīng)過第一象限，則解得．綜上，k的取值范圍為．【小問2詳解】由題意可得，由取得，取得，所以，當且僅當時，即時取等號，綜上，此時，直線的方程為．17.已知等比數(shù)列的前項和為，滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）記，數(shù)列的前項和為，求使成立的正整數(shù)的最小值．【正確答案】（1）（2）6【分析】（Ⅰ）設的公比為，由題設條件，求得等比數(shù)列的首項和公比，即可得到數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用乘公比錯位相減法，求得，再根據(jù)題設，列出不等式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）設的公比為，由得，，所以，所以.又因為，所以，所以.所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，則，，所以，由，得，即，則，所以的最小值是6.本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯位相減法”，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對考生計算能力要求較高，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.18.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．（1）求證：AE⊥平面PBC；（2）試確定點F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．【正確答案】（1）見解析（2）當點F為BC中點時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°【分析】（1）證明．，推出平面．得到．證明，得到平面．然后證明平面平面．（2）分別以的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，求出為平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD正方形∴AB⊥BC又PA∩AB=A，PA，AB平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE平面PAB∴AE⊥BC∵PA=AB，E為線段PB的中點∴AE⊥PB又PB∩BC=B，PB，BC平面PBC∴AE⊥平面PBC（2）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，設正方形ABCD的邊長為2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）∴，，設F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴設平面AEF的一個法向量為則∴令y1=2，則∴設平面PCD的一個法向量為則∴令y2=1，則∴∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，∴，解得λ=1，∴當點F為BC中點時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°本題考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的垂直的證明，二面角等基礎知識，考查學生的邏輯推理能力，化歸與轉化能力和空間想象能力．考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算．19.已知函數(shù)()，()，且函數(shù)的圖像在點(1，)處的切線方程為．（1）求實數(shù)k的值；（2）當時，令函數(shù)，求的單調區(qū)間；（3）在（2）的條件下，設函數(shù)有兩個極值點為，，其中＜，試比較與的大?。菊_答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）.【分析】（1）先求出切點，對函數(shù)求導得到，即可求出的值；（2）求出，求導，若時，，若時，求導數(shù)的零點，利用導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調性即可；（3）由（2）知，，由于的兩個極值點滿足方程，利用韋達定理得，，求，令，求導，分析的單調性，求出最值，即可得出結論.【詳解】（1）由題意知，