2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上冊期末考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效.一、單選題（每小題5分共40分）1.直線的傾斜角為（）A.45° B.60° C.135° D.150°【正確答案】C【分析】根據(jù)直線的方程，算出直線的斜率，利用即可算出所求的傾斜角大?。驹斀狻扛鶕?jù)題意：，所以該直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，且，可得．故選：C2.已知，則的值為（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【正確答案】B分析】對求導(dǎo)代入求出得到，代入0可得答案.【詳解】根據(jù)題意,，則其導(dǎo)數(shù)，令可得：，解可得，則有，故.故選：B.3.已知的圓心C在x軸上，且與x軸相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O和，則的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件可確定圓心和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由已知圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以圓的方程為.故選.4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】對求導(dǎo)后，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?),所以,令,解得：,故函數(shù)()的單調(diào)增區(qū)間是.故選：B.5.在四面體中，點(diǎn)滿足，若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡得到，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，可得，所?故選：B.6.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.或【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得a的值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分別計算與時函數(shù)的極大值點(diǎn)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且是的極值點(diǎn)．所以，解得或．①若，則．當(dāng)或時；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，所以不合題意．②若，則．當(dāng)或時；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以是的極大值點(diǎn)，所以符合題意．綜述：故選：B．7.某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺 B.7千臺 C.8千臺 D.9千臺【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，得到利潤，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值（最大值），即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)利潤為萬元，則，所以，令，解得（舍去）或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，所以應(yīng)生產(chǎn)6千臺該產(chǎn)品時，利潤最大.故選:A.8.某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個面涂色，每個面涂一種顏色，且相鄰兩個面（有公共棱的兩個面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A.600種 B.1080種 C.1200種 D.1560種【正確答案】D【分析】分三類：用5種、4種、3種顏色涂在5個面上，再由分步計數(shù)及排列組合數(shù)求不同的涂色方案.【詳解】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即種；若用4種顏色，從6種顏色任選4種有種，再任選一種顏色涂在其中一組對面上有種，其它3種顏色作全排有，所以，共有種；若用3種顏色，從6種顏色任選3種有種，再任選兩種顏色涂在兩組對面上種，余下的一種顏色涂在底面有1種，所以，共有種；綜上，不同的涂色方案有種.故選：D二、多選題（每小題5分共20分：選錯不得分，漏選得2分）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算可得.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC10.已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A. B. C. D.【正確答案】BD【分析】分類討論焦點(diǎn)的位置，根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計算即可.【詳解】易知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，當(dāng)焦點(diǎn)為時，可知拋物線方程為：；當(dāng)焦點(diǎn)為時，可知拋物線方程為.故選：BD11.某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（）A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為【正確答案】ABD【分析】利用組合的概念進(jìn)行計算即可判斷A；分類討論物理和化學(xué)只選一門，物理化學(xué)都選然后進(jìn)行計算判斷B；利用間接法進(jìn)行分析判斷即可判斷C，將問題分三類討論：只選物理，只選化學(xué)，同時選物理和化學(xué)，由此進(jìn)行計算和判斷D.【詳解】對于A：若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為，故A錯誤；對于B：若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法，所以總數(shù)為，而，故B錯誤；對于C：若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為，故C正確；對于D：有3種情況：①選物理，不選化學(xué)，有種選法；②選化學(xué)，不選物理，有種選法；③物理與化學(xué)都選，有種選法.故總數(shù)，故D錯誤.故選：ABD12.已知數(shù)列滿足，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項公式為C.為單調(diào)遞減數(shù)列D.的前n項和【正確答案】BCD【分析】，則得到為等差數(shù)列，即可判斷A，求出其通項，即可判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷C，利用等差數(shù)列的前和公式即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋允且?為首項，3為公差的等差數(shù)列，故選項A錯誤；，即，故選項B正確；根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項C正確；前項和，故選項D正確,故選：BCD.三、填空題（每小題5分共20分）13.若，則_____________.【正確答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.【詳解】因?yàn)?，，且，又，所以，即，解得或（舍去?故14.由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且比1300大的正整數(shù)__________.【正確答案】22個【分析】根據(jù)千位為1和不為1，由排列組合即可求解.【詳解】當(dāng)千位和百位分別為1，3時，則十位和個位有個符合條件的,當(dāng)千位和百位分別為1，4時，則十位和個位有個符合條件的,當(dāng)千位為不為1時，共有個符合條件,故共有個,故答案為:22個15.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B為短軸的一個端點(diǎn)，則的周長為___．【正確答案】18【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的長半軸長及半焦距即可得解.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，因此，所以的周長為.故1816.若直線是曲線與曲線的公切線，則______．【正確答案】5【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，且切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式求解n，則答案可求．【詳解】由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點(diǎn)，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故5．四、解答題（17題10分，18-22每題12分）17.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值和函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.【正確答案】（1），，（2）【分析】（1）由題意得，代入求值，再求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值；（2）結(jié)合（1）可得函數(shù)的單調(diào)性，求端點(diǎn)函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最小值．【小問1詳解】函數(shù)，則，又函數(shù)在處取得極值，所以有；此時，則，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意，所以，；【小問2詳解】由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為和中較小的一個，又，，故函數(shù)在上的最小值為.18.已知圓（1）若直線過定點(diǎn)，且與圓C相切，求直線的方程；（2）若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程．【正確答案】（1）或（2）或【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.【小問1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓C的圓心為，半徑為①若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，所以，即，解得，所以直線方程為綜上，所求直線的方程為或【小問2詳解】依題意，設(shè)又已知圓C的圓心為，半徑為2，由兩圓外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圓D的方程為或本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得直線的方程．設(shè)出圓D圓心坐標(biāo)，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得a的值，從而求得圓D的方程．19.已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【正確答案】（1）或；（2）見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解；（2）由分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項和公式即可得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，所以或；（2）當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.20.名男生和名女生站成一排．（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？（2）甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？（3）男、女分別排在一起的站法有多少種？（4）男、女相間的站法有多少種？（5）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【正確答案】（1）種（2）種（3）種（4）種（5）種【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆綁法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均勻的排列方法求解即可.【小問1詳解】先排甲有種，其余有種，共有種排法.【小問2詳解】先排甲、乙，再排其余人，共有種排法.【小問3詳解】把男生和女生分別看成一個元素，男生和女生內(nèi)部還有一個全排列，共種.【小問4詳解】先排名男生有種方法，再將名女生插在男生形成的個空上有種方法，

故共有種排法.【小問5詳解】人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應(yīng)一種符合條件的排法，

故共有種排法．21.如圖，在平行六面體中，，，，，設(shè)，，.（1）用向量，，表示并求（2）求的值和異面直線與的夾角余弦值.【正確答案】（1），；（2）1，.【分析】（1）利用空間向量的基底表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計算得.（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求解即得.【小問1詳解】在平行六面體中，，由，，得，，所以.【小問2詳解】依題意，，則，，則，所以異面直線與的夾角余弦值為.22.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，試求的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）單調(diào)區(qū)間見解析，函數(shù)有極小值，無極大值．（3）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)椋愿鶕?jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)：當(dāng)時，無零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)時，一個零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定極值；（3）由（2）知，再由零點(diǎn)存在定理解得的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時，，則，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問2詳解】由，得（）．①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)既無極大值，也無極小值；②當(dāng)時，由，得或（舍去）．于是，當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．函數(shù)在處取得極小值，無極大值．綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)既無極大值也無極小值；當(dāng)時，函