2024-2025學(xué)年福建省莆田市高一上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省莆田市高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合為自然數(shù)集N，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或4．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．5．對任意且，函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．6．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．或7．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．下列命題為真命題的是（

）A．，為奇數(shù)B．，二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．“”是“”的必要條件D．與是同一函數(shù)10．若，則，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．11．函數(shù)，的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．該函數(shù)的周期是12．下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．函數(shù)定義域?yàn)榍覍θ我鈱?shí)數(shù)恒有.則為偶函數(shù)C．的定義域?yàn)?，則D．的值域?yàn)?，則三、填空題（本大題共4小題）13．函數(shù)的定義域是．14．扇形的半徑為2，圓心角為，則該扇形的面積為.15．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向(左、右、上、下)平移個(gè)單位長度16．已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為.四、解答題（本大題共6小題）17．（1）化簡求值（2）已知為銳角，且滿足求的值;18．已知，其中．(1)求；(2)求．19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.20．某工廠利用輻射對食品進(jìn)行滅菌消毒，先準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進(jìn)行防輻射處理，防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān)．若建造宿舍的所有費(fèi)用p（萬元）和宿舍與工廠的距離x（km）的關(guān)系式為（0≤x≤15），若距離為10km時(shí)，測算宿舍建造費(fèi)用為20萬元．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購置修路設(shè)備需10萬元，鋪設(shè)路面每千米成本為4萬元．設(shè)為建造宿舍與修路費(fèi)用之和．（1）求的表達(dá)式；（2）宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用最小，并求最小值．21．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；(3)已知，，，試比較三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c的大小并說明理由.22．已知函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范圍．（3）令g(x)=，若函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得，集合為自然數(shù)集N，故，故選：D2．【正確答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)從而得到答案．【詳解】推不出，所以“”是“”非充分條件，推出，“”是“”必要條件.故選：．本題考查了必要不充分條件的判斷，考查了三角函數(shù)問題，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，是一道基礎(chǔ)題．3．【正確答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念得即或，再根據(jù)性質(zhì)可得時(shí)符合題意.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，得或，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞減，滿足題意，故選：C4．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、單調(diào)性確定正確選項(xiàng).【詳解】的最小正周期是，不符合題意.在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意.對于，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意.對于，畫出圖象如下圖所示，由圖可知的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確.故選：B5．【正確答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)確定的圖象所過定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合正切函數(shù)的定義，即可求得答案.【詳解】對于函數(shù)，令，故的圖象過定點(diǎn)，由于點(diǎn)在角的終邊上，則，故選：B6．【正確答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得，根據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】將兩邊同時(shí)平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C7．【正確答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】的定義域?yàn)?，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為，故選：C.8．【正確答案】D【分析】畫出函數(shù)的大致圖象，令，方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為根的分布問題，分情況討論即可.【詳解】函數(shù)的大致圖象如圖所示，對于方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解或的一個(gè)解為-1，另一個(gè)解在內(nèi)或的一個(gè)解為-2，另一個(gè)解在內(nèi).當(dāng)在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，設(shè)，則解得；當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為-1時(shí)，，此時(shí)方程的另一個(gè)解為-3，不在內(nèi)，不滿足題意；當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為-2時(shí)，，此時(shí)方程的另一個(gè)解為，在內(nèi)，滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D.9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題、必要條件、同一函數(shù)等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，故為假命題.B選項(xiàng)，二次函數(shù)的對稱軸為軸，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的必要條件，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù)，故為假命題.故選：BC10．【正確答案】ABC【分析】利用基本不等式可比較大小，判斷B，C；利用作差法可比較的大小，判斷A，D.【詳解】由于，則，故，，則，不可能是最大值，B，C符合題意；由于，當(dāng)時(shí)，，，故，即，故不可能是最大值，A符合題意，故選：ABC11．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)周期、對稱性以及最值求出參數(shù)，可得函數(shù)解析式，由此結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性以及周期，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，設(shè)函數(shù)最小正周期為T，則，則，又，即，則由于，故，即，對于A，，即函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，A錯(cuò)誤；對于B，，則，由于正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確；對于C，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；對于D，結(jié)合上面分析可知函數(shù)的周期是，正確，故選：BCD12．【正確答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義可判斷A；利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義判斷B；根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，列不等式求解，可判斷C；根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽，列不等式求解，可判斷D.【詳解】對于A，的定義域?yàn)镽，滿足，即為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，A正確；對于B，令，則，令，則，即為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；對于C，的定義域?yàn)?，即在R上恒成立，故，即，C錯(cuò)誤；對于D，的值域?yàn)?，即能取到?nèi)的所有值，故或，即，D正確，故選：AD易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題容易出錯(cuò)的是選項(xiàng)C、D的判斷，解答時(shí)要注意區(qū)分定義域和值域?yàn)镽時(shí)的區(qū)別，列出的不等式是不一樣的，因此要特別注意這一點(diǎn).13．【正確答案】，根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【詳解】解：函數(shù)中，令，解得，所以的定義域是，．故，．14．【正確答案】2【分析】根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】則該扇形的面積為2，故2.15．【正確答案】右/【分析】化簡函數(shù)解析式為，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，即可得答案.【詳解】由于函數(shù)，故為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，故右；16．【正確答案】/（-1，1）【分析】先求定義域?yàn)?，再利用?fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”即可求得.【詳解】因?yàn)?，解得：，所以的定義域?yàn)?令，則.要求的單調(diào)增區(qū)間，只需.所以，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為.17．【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求得答案；（2）解方程求出，利用誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合齊次式法求值，即可得答案.【詳解】（1）；（2）因?yàn)闉殇J角，且滿足，解得，（負(fù)值舍），故.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）依題意，先確定的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，求得和的值，然后把湊成的形式，再利用兩角差的正弦公式，展開求解即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用二倍角公式求得和的值，再利用兩角差的正弦公式，展開求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，所以．因?yàn)?，，所以，則，又因?yàn)?，所以．?）由（1）可得，，因?yàn)?，則，所以19．【正確答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求出函數(shù)的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由求出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，函?shù)的最小正周期為，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：當(dāng)時(shí)，，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?20．【正確答案】（1）；（2）宿舍應(yīng)建在離工廠km處，可使總費(fèi)用最小，最小值為65萬元．（1）根據(jù)距離為時(shí)，測算宿舍建造費(fèi)用為20萬元，可求的值，由此，可得的表達(dá)式；（2），利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．【詳解】解：（1）由題意可知，距離為10km時(shí)，測算宿舍建造費(fèi)用為20萬元，則，解得k=900，所以，則；（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)總費(fèi)用最小．答：宿舍應(yīng)建在離工廠km處，可使總費(fèi)用最小，最小值為65萬元．利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方21．【正確答案】(1)；(2)減函數(shù)，證明見解析；(3)，理由見解析.【分析】（1）列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)為減函數(shù)；（3）先比較三個(gè)自變量的大小，再利用函數(shù)為減函數(shù)即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】（1）奇函數(shù)定義域?yàn)镽則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.（2）由（1）得易得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)任意，，則，由，可得，則，又，則，則則為R上減函數(shù).（3）由為R上增函數(shù)，可得，由為上增函數(shù)，可得，由為R上增函數(shù)，可得，則，又由（2）得為R上減函數(shù)，則，則22．【正確答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．【分析】（1）利用二次函數(shù)的零點(diǎn)，代入方程，化簡求解即可．（2）求出函數(shù)f（x）的最小值，即可求解k的范圍．（3）問題轉(zhuǎn)化為r=1+2?（）2﹣3?在x∈[﹣1，1]上有解，通過換元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范圍即可．【詳解】（1）函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，可得不等式f（