2024-2025學年福建省福州市閩侯縣高三上冊12月月考數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年福建省福州市閩侯縣高三上學期12月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，，則（

）A． B． C． D．2．已知，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在四邊形中，，，設，，則等于（

）A． B． C． D．4．設，，且，則（

）A． B． C． D．5．設函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．對于命題“若，，則”，要使得該命題是真命題，，，可以是（

）A．，，是空間中三個不同的平面B．，，是空間中三條不同的直線C．，是空間中兩條不同的直線，是空間的平面D．，是空間中兩條不同的直線，是空間的平面7．設，，，則（

）A． B． C． D．8．如圖，已知，是雙曲線的左、右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的部分圖象如圖所示，則（A．的最小正周期為B．當時，的值域為C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關于點對稱10．已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則11．已知函數(shù)在R上可導且，其導函數(shù)滿足：，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有兩個零點B．函數(shù)有且僅有三個零點C．當時，不等式恒成立D．在上的值域為三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式中的系數(shù)為，則的值為．13．已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.14．若曲線在點Px1,y1處的切線與曲線相切于點Qx四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點，且.(1)求證:平面平面;(2)若斜棱柱的高為，求平面與平面夾角的余弦值.16．已知分別為三角形三個內(nèi)角的對邊，且有.(1)求角A；(2)若為邊上一點，且，求.17．某市航空公司為了解每年航班正點率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年～2022年）每年航班正點率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.(1)求關于的經(jīng)驗回歸方程；(2)該市航空公司預計2024年航班正點率為，利用（1）中的回歸方程，估算2024年顧客對該市航空公司投訴的次數(shù)；(3)根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，該市所有顧客選擇乘坐該航空公司航班的概率為，現(xiàn)從該市所有顧客中隨機抽取4人，記這4人中選擇乘坐該航空公司航班的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：18．已知，，為平面上的一個動點.設直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.19．若，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.(1)證明：存在源數(shù)列；(2)（?。┤艉愠闪ⅲ蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項和.

答案1．【正確答案】A【詳解】由，得，即，解得或，所以或，所以，，所以.故選：A.2．【正確答案】D【詳解】，因為，且為純虛數(shù)，所以，解得a=2.故選：D3．【正確答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.4．【正確答案】A【詳解】，，，，.，，，或，即或（舍去）.故選：A.5．【正確答案】A【詳解】因為函數(shù)，所以，即，解得，所以，當且僅當時取等號.故選：A6．【正確答案】D【詳解】對于A：若，，是空間中三個不同的平面，且，，則平面和平面的位置不確定，故A錯誤；對于B：若，，是空間中三條不同的直線，且，，則直線和直線的位置不確定，故B錯誤；對于C：，是空間中兩條不同的直線，是空間的平面，且，，則直線和平面的關系為直線平面或直線平面，故C錯誤；對于D：，是空間中兩條不同的直線，是空間的平面，且，，則，故D正確，故選：D．7．【正確答案】D【分析】構建函數(shù)，求導判斷其單調性，利用單調性比較大小，注意.【詳解】由題意可得，，，設，，則，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；因為，，，且，可得，，所以.故選D.8．【正確答案】B【詳解】延長與雙曲線交于點，因為，根據(jù)對稱性知，設，則，，可得，即，所以，則，，所以，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：B.9．【正確答案】AD【詳解】對于A：由圖可知：，故A正確，由，知，因為，所以，所以，即，又因為，所以，所以函數(shù)為，對于B：當時，，所以，故B錯誤，對于C，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故C錯誤，對于D：將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，因為當時，，可得到的圖象關于點對稱，D正確.故選：AD.10．【正確答案】BCD【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，，公差為，，，.當時，，故選項A錯誤；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，故，選項B正確；，，∴當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，選項C正確；，，，選項D正確.故選：BCD.11．【正確答案】AC【詳解】令，則，故（為常數(shù)），，，.令，解得或，故函數(shù)有且僅有兩個零點，選項A正確；，∴令f'x>0得；令f'∴fx在和上單調遞增，在上單調遞減.，，，∴存在，使得；又，∴存在，使得；當時，，∴不存在使得.綜上所述，有且僅有兩個根，即有兩個零點，故選項B錯誤；，∴.當時，，.令，則，故在上單調遞增，，滿足題意；當時，也滿足不等式.綜上所述，當時，不等式恒成立，故選項C正確；由B知在上單調遞減，在上單調遞增，且，，，故函數(shù)在上的值域為，故選項D錯誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】因為展開式的通項為（且），令，解得，所以，依題意，解得.故13．【正確答案】0.24/0.36/【詳解】設“第一問做出”為事件A，“第二問做出”為事件B，由題意可得：，則，所以，即此題得滿分的概率是0.24；所以，即此題得滿分的概率是0.36.故0.24；0.36.14．【正確答案】【詳解】，∴曲線在點Px1,y1∴切線方程為，或，，即，，易知，，.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）BC中點為，連接，由且，證得平面，可證平面平面.（2）以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，向量法求兩個平面夾角的余弦值.【詳解】（1）取BC中點為，連接，在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標原點，分別為軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，，斜棱柱的高為，，，設平面的一個法向量為，則有，令，則，，設平面的法向量為，則有，令，則，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，有，.即，所以，因為,所以，即:，又因為，故.（2）解法一：設，則，在△中，由正弦定理知，，即，化簡得，，則，即.解法二：如圖所示，取中點，延長與的延長線交于點，連接，由有，由，設，則，即，故，所以，即為中點.又為中點，所以，又，所以△為正三角形，又平分，所以，所以.17．【正確答案】(1)(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1），則，所以，所以；（2）當時，，所以2024年顧客對該市航空公司投訴的次數(shù)為次；（3）可取，，，，，，所以分布列為所以.18．【正確答案】(1)(2)存在，12【分析】（1）設點，由題意列出等式，化簡即可求得答案；（2）分別設直線的方程，求出點的坐標，即可得出直線的方程，繼而求出H點坐標，從而求出的表達式，結合二次函數(shù)知識，即可得結論，并求得最大值.【詳解】（1）由題意設點，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，設直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當時，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，結合，根據(jù)數(shù)列的新定義，即可證明結論；（2）（i）由恒成立，可得恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，即可求得答案；（ii）由（i）可得，從而由，推得，可得到，繼而可利用放縮法以及裂項求和法，證明不等式.【詳解】（1）由，得，即在上單調遞減，又，當且x無限趨近于0時，趨向于正無窮大，即的值域為，且函數(shù)在上單調遞減，對于可以取到任意正整數(shù)，且在上都有存在唯一自變量與之對應，故對于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨設解為，即，則都存在唯一