2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知命題p：?x0∈R，sinx0≤1，則命題p的否定是（）A．?x∈R，sinx＞1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx≤12．（5分）將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為1，2，…，600．采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為3．這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到350在第Ⅰ營(yíng)區(qū)，從351到490在第Ⅱ營(yíng)區(qū)，從491到600在第Ⅲ營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（）A．29，13，8 B．28，12，10 C．28，13，9 D．29，12，93．（5分）函數(shù)y＝x2在點(diǎn)x0＝2處的導(dǎo)數(shù)值f′（2）等于（）A．0 B．1 C．2 D．44．（5分）已知向量，且∥，則x+y＝（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．65．（5分）已知條件p：|x+1|≤2，條件q：﹣3≤x≤2，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件6．（5分）若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足5＝|3x﹣4y+12|，則點(diǎn)M的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)底面周長(zhǎng)恰為高的2π倍的正四棱錐，現(xiàn)將一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體銅塊，熔化鑄造一些高為4的胡夫金字塔模型，則該銅塊最多能鑄造出（）個(gè)該金字塔模型（不計(jì)損耗）？A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0）．若橢圓的離心率為，則|k1|+|k2|的最小值為（）A．1 B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）已知曲線C的方程為＝1（k∈R），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C為圓 B．當(dāng)k＝﹣2時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為 C．“0＜k＜2”是“曲線C表示橢圓”的充分不必要條件 D．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為10．（6分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段C1D上的動(dòng)點(diǎn)，AA1＝2，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線AP與B1E是異面直線 B．三棱錐A1﹣AB1E的體積為 C．過(guò)點(diǎn)C作平面AEB1的垂線，與平面AB1C1D交于點(diǎn)Q，若，則Q∈AP D．點(diǎn)P到平面AEB1的距離是一個(gè)常數(shù)11．（6分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xln2x+x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則（）A．f′（）＝0 B．x＝是f（x）的極值點(diǎn) C．f（x）存在零點(diǎn) D．f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．（5分）已知雙曲線﹣＝1的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|＝．13．（5分）為了估計(jì)某產(chǎn)品的使用壽命，從中隨機(jī)抽取100件，在相同的條件下進(jìn)行試驗(yàn)．根據(jù)試驗(yàn)所得到的樣本數(shù)據(jù)，繪出頻率分布直方圖，如圖所示．若根據(jù)樣本估計(jì)總體，則總體數(shù)據(jù)落在[700，900]內(nèi)的概率約為．14．（5分）已知矩形ABCD，CD＝4AD＝4，過(guò)CD作平面α，使得平面ABCD⊥α，點(diǎn)P在α內(nèi)，且AP與CD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡為，BP長(zhǎng)度的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M（1，y0）到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，A，B（不與O重合）是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及線段AB的最小值；（2）x軸上是否存在點(diǎn)P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．16．（15分）已知四棱錐E﹣ABCD的底面為直角梯形∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝CE＝AB＝2，△EAB是以AB為底邊的等腰直角三角形．（Ⅰ）求證：CE⊥AB；（Ⅱ）若H為△EAD的垂心，求二面角H﹣EC﹣B的余弦值．17．（15分）已知橢圓C：＝1，（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)與圓O：x2+y2＝相切的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段AB長(zhǎng)度的最大值．18．（17分）“十四五”時(shí)期是我國(guó)全面建成小康社會(huì)、實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)之后，開(kāi)啟全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程、向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個(gè)五年．“三農(nóng)”工作重心歷史性轉(zhuǎn)向全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快中國(guó)特色農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化進(jìn)程．國(guó)務(wù)院印發(fā)《“十四五”推進(jìn)農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化規(guī)劃》制定了具體工作方案和工作目標(biāo)，提出到2025年全國(guó)水產(chǎn)品年產(chǎn)量達(dá)到6900萬(wàn)噸.2018年至2021年全國(guó)水產(chǎn)品年產(chǎn)量y（單位：千萬(wàn)噸）的數(shù)據(jù)如下表：年份2018201920202021年份代號(hào)x1234總產(chǎn)量y6.466.486.556.69（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年水產(chǎn)品年產(chǎn)量能否實(shí)現(xiàn)目標(biāo)；（2）為了系統(tǒng)規(guī)劃漁業(yè)科技推廣工作，研究人員收集了2019年全國(guó)32個(gè)地區(qū)（含中農(nóng)發(fā)集團(tuán)）漁業(yè)產(chǎn)量、漁業(yè)從業(yè)人員、漁業(yè)科技推廣人員的數(shù)據(jù)，漁業(yè)年產(chǎn)量超過(guò)90萬(wàn)噸的地區(qū)有14個(gè)，有漁業(yè)科技推廣人員高配比（配比＝漁業(yè)科技推廣人員總數(shù)：漁業(yè)從業(yè)人員總數(shù)）的地區(qū)有16個(gè)，其中年產(chǎn)量超過(guò)90萬(wàn)噸且高配比的地區(qū)有4個(gè)，能否有95%的把握認(rèn)為“漁業(yè)科技推廣人員配比和年產(chǎn)量”有關(guān)系．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考數(shù)據(jù)，19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝xex，g（x）＝ax+1+alnx．（Ⅰ）當(dāng)a≠0時(shí)，討論g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若a＝1，求證：f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立．

數(shù)學(xué)試卷答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知命題p：?x0∈R，sinx0≤1，則命題p的否定是（）A．?x∈R，sinx＞1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx≤1【考點(diǎn)】存在量詞命題的否定．【正確答案】A【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出命題p的否定命題即可．解：根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以命題p：?x0∈R，sinx0≤1，則命題p的否定是￢p：“?x∈R，sinx＞1”．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了存在量詞命題的否定是全稱量詞命題應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．（5分）將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為1，2，…，600．采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為3．這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到350在第Ⅰ營(yíng)區(qū)，從351到490在第Ⅱ營(yíng)區(qū)，從491到600在第Ⅲ營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（）A．29，13，8 B．28，12，10 C．28，13，9 D．29，12，9【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【正確答案】D【分析】求出樣本第k（1≤k≤50，k∈N*）個(gè)個(gè)體的編號(hào)為12k﹣9，解相應(yīng)不等式，求出k的所有取值，即可得解．解：因?yàn)榉侄伍g隔為，樣本第1個(gè)號(hào)碼為3，則樣本第k（1≤k≤50，k∈N*）個(gè)個(gè)體的編號(hào)為3+12（k﹣1）＝12k﹣9，對(duì)于第I營(yíng)區(qū)，由1≤12k﹣9≤350，可得，k的取值為：1、2、?、29，即第I營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)為29，對(duì)于第Ⅱ營(yíng)區(qū)，351≤12k﹣9≤490，解得的取值為：30、31、、41，即第Ⅱ營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)為12，對(duì)于第Ⅲ營(yíng)區(qū)，491≤12k﹣9≤600，解得的取值為：42、43、、、50，即第Ⅲ營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)為9，因此，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次29、12、9．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)y＝x2在點(diǎn)x0＝2處的導(dǎo)數(shù)值f′（2）等于（）A．0 B．1 C．2 D．4【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【正確答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．解：y＝x2，則y′＝2x，當(dāng)x0＝2時(shí)，f′（2）＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．4．（5分）已知向量，且∥，則x+y＝（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．解：由題意，，，因?yàn)椤?，所以，得x＝﹣6，y＝9，所以x+y＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．5．（5分）已知條件p：|x+1|≤2，條件q：﹣3≤x≤2，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【考點(diǎn)】充分條件與必要條件．【正確答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，解出命題p，再根據(jù)必要條件、充分條件的定義進(jìn)行判斷；解：∵條件p：|x+1|≤2，∴﹣3≤x≤1，∵條件q：﹣3≤x≤2，∴p?q，反之不能，∴p是q的充分不必要條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題以絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題為載體，考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足5＝|3x﹣4y+12|，則點(diǎn)M的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【考點(diǎn)】軌跡方程．【正確答案】D【分析】由已知結(jié)合拋物線的定義即可求解．解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足5＝|3x﹣4y+12|，所以＝，所以M到點(diǎn)（1，2）與到直線3x﹣4y+12＝0的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是以（1，2）為焦點(diǎn)，以3x﹣4y+12＝0為準(zhǔn)線的拋物線．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義在軌跡求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)底面周長(zhǎng)恰為高的2π倍的正四棱錐，現(xiàn)將一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體銅塊，熔化鑄造一些高為4的胡夫金字塔模型，則該銅塊最多能鑄造出（）個(gè)該金字塔模型（不計(jì)損耗）？A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【正確答案】B【分析】求得正四棱錐P﹣ABCD的高及底面邊長(zhǎng)，求得正四棱錐P﹣ABCD的體積，根據(jù)，即可求得k＜4.1，因此可得銅塊最多能鑄造出4個(gè)該金字塔模型．解：在正四棱錐P﹣ABCD中，令A(yù)C∩BD＝O，連接PO，則正四棱錐P﹣ABCD的高為|PO|＝4，設(shè)正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，則4a＝2π?|PO|＝8π，即a＝2π，所以，正四棱錐P﹣ABCD的體積為，則可得，則該銅塊最多能鑄造出4個(gè)該金字塔模型．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的體積公式及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，等體積法，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0）．若橢圓的離心率為，則|k1|+|k2|的最小值為（）A．1 B． C． D．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【正確答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)P，Q，A，B的坐標(biāo)，表示出直線AP，BQ的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離心率求得a與b的關(guān)系，則答案可求．解：設(shè)P（t，s），Q（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1＝，k2＝﹣，|k1|+|k2|＝||+|﹣|≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝0時(shí)等號(hào)成立．∵A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P，Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，P（t，s），Q（t，﹣s），即s＝b，∴|k1|+|k2|的最小值為，∵橢圓的離心率為，∴，即，得a＝b，∴|k1|+|k2|的最小值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的基本性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）已知曲線C的方程為＝1（k∈R），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C為圓 B．當(dāng)k＝﹣2時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為 C．“0＜k＜2”是“曲線C表示橢圓”的充分不必要條件 D．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為【考點(diǎn)】曲線與方程．【正確答案】AC【分析】結(jié)合曲線方程，通過(guò)k的取值，判斷選項(xiàng)的正誤即可．解：當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C的方程為＝1為x2+y2＝2，表示圓，所以A正確；當(dāng)k＝﹣2時(shí)，曲線C為，是雙曲線，其漸近線方程為y＝x，所以B不正確；“0＜k＜2”推出“曲線C表示橢圓”，反之不成立，所以“0＜k＜2”是“曲線C表示橢圓”的充分不必要條件，所以C正確；曲線C為雙曲線，其離心率為，必須滿足﹣k＝4﹣k，這樣的實(shí)數(shù)不存在，所以D不正確；故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，雙曲線與橢圓以及圓的方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（6分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段C1D上的動(dòng)點(diǎn)，AA1＝2，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線AP與B1E是異面直線 B．三棱錐A1﹣AB1E的體積為 C．過(guò)點(diǎn)C作平面AEB1的垂線，與平面AB1C1D交于點(diǎn)Q，若，則Q∈AP D．點(diǎn)P到平面AEB1的距離是一個(gè)常數(shù)【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線的判定．【正確答案】ACD【分析】利用異面直線的定義判斷選項(xiàng)A；利用三棱錐A1﹣AB1E的體積為V＝V，即可判斷選項(xiàng)B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)C；利用C1D∥平面AEB1即可判斷選項(xiàng)D．解：對(duì)于A，如圖，AP?平面AB1C1D，B1E∩平面AB1C1D＝B，故直線AP與B1E不平行，且B1?AP，故直線AP與B1E不相交，所以直線AP與B1E是異面直線，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，三棱錐A1﹣AB1E的體積為V＝V，因?yàn)镋到面A1AB1的距離為2，所以V，＝＝，故錯(cuò)．對(duì)于C，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B1（2，2，2），E（0，0，1），C（0，2，0），＝（0，2，2），＝（﹣2，0，1），因?yàn)?，則P（0，，），＝（﹣2，，），設(shè)存在Q∈AP，設(shè)＝＝（﹣2λ，，），則Q（﹣2λ+2，，），＝（﹣2λ+2，，）因?yàn)镃Q⊥平面AEB1，所以，解得，滿足條件，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，在正方體中，C1D∥AB1，因?yàn)锳B1?平面AEB1，C1D?平面AEB1，所以C1D∥平面AEB1，又P∈C1D，故點(diǎn)P到平面AEB1的距離是一個(gè)常數(shù)，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于難題．11．（6分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xln2x+x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），則（）A．f′（）＝0 B．x＝是f（x）的極值點(diǎn) C．f（x）存在零點(diǎn) D．f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【正確答案】AD【分析】求出定義域，再求導(dǎo)，計(jì)算即可判斷選項(xiàng)A，由導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝ln2x+2lnx+1＝（lnx+1）2≥0，即可判斷選項(xiàng)B、D，由f（x）＞0，即可判斷選項(xiàng)C，從而可得結(jié)論．解：由題可知f（x）＝xln2x+x的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）＝ln2x+2lnx+1，所以f′（）＝ln2+2ln+1＝0，故A正確；f′（x）＝ln2x+2lnx+1＝（lnx+1）2≥0，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故無(wú)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確，f（x）＝xln2x+x＝x（ln2x+1）＞0，故函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．（5分）已知雙曲線﹣＝1的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|＝4．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【正確答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用ON是△MF1F2的中位線，ON＝MF1，再由雙曲線的定義求出MF1，進(jìn)而得到ON的值．解：連接MF1，ON是△MF1F2的中位線，∴ON∥MF1，ON＝MF1，∵由雙曲線的定義知，MF2﹣MF1＝2×5，∴MF1＝8．∴ON＝4，故4．【點(diǎn)評(píng)】本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的定義，考查三角形中位線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）為了估計(jì)某產(chǎn)品的使用壽命，從中隨機(jī)抽取100件，在相同的條件下進(jìn)行試驗(yàn)．根據(jù)試驗(yàn)所得到的樣本數(shù)據(jù)，繪出頻率分布直方圖，如圖所示．若根據(jù)樣本估計(jì)總體，則總體數(shù)據(jù)落在[700，900]內(nèi)的概率約為0.6．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【正確答案】0.6．【分析】利用頻率分布直方圖能求出結(jié)果．解：總體數(shù)據(jù)落在[700，900]內(nèi)的概率約為：P＝（0.0020+0.0040）×100＝0.6．故0.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知矩形ABCD，CD＝4AD＝4，過(guò)CD作平面α，使得平面ABCD⊥α，點(diǎn)P在α內(nèi)，且AP與CD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，BP長(zhǎng)度的最小值為6．【考點(diǎn)】軌跡方程；平面與平面垂直．【正確答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出P點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可．解：如圖，以D為原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，平面α內(nèi)過(guò)D且與CD垂直的直線為y軸，DA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知，D（0，0，0），，，，∵點(diǎn)P在平面α內(nèi)，∴設(shè)P（x，y，0），則，，∵直線AP與直線CD所成的角為，∴＝，兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為，∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線．＝，∵P點(diǎn)軌跡方程為，∴y2＝3x2﹣3，且x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∴＝，∴當(dāng)時(shí)，|BP|的最小值為，故雙曲線，6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程和空間中兩點(diǎn)間距離，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（12分）拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M（1，y0）到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，A，B（不與O重合）是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及線段AB的最小值；（2）x軸上是否存在點(diǎn)P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【正確答案】（1）拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：y2＝4x，線段AB的最小值為8；（2）x軸上存在點(diǎn)P使得∠APB＝2∠APO，點(diǎn)P（﹣4，0）．【分析】（1）由已知可得，可求p，設(shè)直線OA方程為：y＝kx（k≠0），可求A的坐標(biāo)，同理可得B的坐標(biāo)，可求|AB|的最小值；（2）由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，假定在x軸上存在點(diǎn)P使得∠OPA＝∠OPB，可得，進(jìn)而得（k2﹣1）（x0+4）＝0，可求定點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn)M（1，y0）到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，∴，解得P＝2，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：y2＝4x，依題意知，直線OA與直線OB的斜率存在，設(shè)直線OA方程為：y＝kx（k≠0），由OA⊥OB得，直線OB方程為：y＝﹣x，由，得點(diǎn)，同理可得點(diǎn)B（4k2，﹣4k），則|AB|＝＝4，令，則，函數(shù)f（t）＝t2+t﹣2在區(qū)間[2，+∞）單調(diào)遞增，所以f（t）min＝f（2）＝4，則，所以線段AB的最小值為8；（2）假定在x軸上存在點(diǎn)P使得∠OPA＝∠OPB，由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，設(shè)點(diǎn)P（x0，0），則直線PA斜率，直線PB斜率，由∠OPA＝∠OPB得kPA+kPB＝0，則有，即，整理得（k2﹣1）（x0+4）＝0，顯然當(dāng)x0＝﹣4時(shí)，對(duì)任意不為0的實(shí)數(shù)k，（k2﹣1）（x0+4）＝0恒成立，即當(dāng)x0＝﹣4時(shí)，kPA+kPB＝0恒成立，∠OPA＝∠OPB恒成立，所以，x軸上存在點(diǎn)P使得∠APB＝2∠APO，點(diǎn)P（﹣4，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．16．（15分）已知四棱錐E﹣ABCD的底面為直角梯形∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝CE＝AB＝2，△EAB是以AB為底邊的等腰直角三角形．（Ⅰ）求證：CE⊥AB；（Ⅱ）若H為△EAD的垂心，求二面角H﹣EC﹣B的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直．【正確答案】（Ⅰ）證明過(guò)程請(qǐng)看解答；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)F，連接EF、CF，易推出CF⊥AB；由等腰三角形的性質(zhì)可知EF⊥AB；再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證．（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線為x、y軸，作Dz⊥面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算線段長(zhǎng)可推出EF＝CE＝CF＝2，即△CEF是等邊三角形，從而得點(diǎn)E的坐標(biāo)；設(shè)EH與AD交于點(diǎn)G，則二面角H﹣EC﹣B與二面角G﹣EC﹣B相等，可求得DE＝AE，于是G為AD的中點(diǎn)，從而得G的坐標(biāo)；再根據(jù)法向量的性質(zhì)求出平面GCE和平面BCE的法向量與；最后由cos＜，＞＝即可得解．（Ⅰ）證明：取AB的中點(diǎn)F，連接EF、CF，則AF∥CD，AF＝CD，∴四邊形ADCF為平行四邊形，∴AD∥CF，∴∠CFB＝∠DAB＝90°，即CF⊥AB．∵△EAB是以AB為底邊的等腰直角三角形，∴EF⊥AB．又CF∩EF＝F，CF、EF?平面CEF，∴AB⊥平面CEF，∵CE?平面CEF，∴CE⊥AB．（Ⅱ）解：以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線為x、y軸，作Dz⊥面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），D（0，0，0），在等腰Rt△EAB中，AE＝，EF＝AB＝2＝CE，由（Ⅰ）知，四邊形ADCF為平行四邊形，∴CF＝AD＝2，∴△CEF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E（1，2，）．設(shè)EH與AD交于點(diǎn)G，則二面角H﹣EC﹣B與二面角G﹣EC﹣B相等，∵H為△EAD的垂心，∴EG⊥AD．由（Ⅰ）知CE⊥AB，而CD∥AB，∴CE⊥CD，∴DE＝＝AE，∴G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G（1，0，0）．∴＝（1，0，），＝（﹣1，2，0），＝（﹣2，﹣2，0），設(shè)平面GCE的法向量為＝（x，y，z），則，即，令z＝2，則x＝，y＝﹣，∴＝（，﹣，2）．同理可得，平面BCE的法向量＝（﹣，，1）．∴cos＜，＞＝＝＝．由圖可知，二面角H﹣EC﹣B為銳二面角，故二面角H﹣EC﹣B的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、二面角的求法，熟練掌握空間中線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．（15分）已知橢圓C：＝1，（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)與圓O：x2+y2＝相切的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段AB長(zhǎng)度的最大值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．【正確答案】（1）；（2）2．【分析】（1）根據(jù)題圓的幾何性質(zhì)，方程思想，即可求解．（2）寫出△AOB的面積S的表達(dá)式，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），通過(guò)①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求出面積；②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m（顯然k≠0），通過(guò)直線與圓相切，得到關(guān)系式，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式及基本不等式，即可求解．解：（1）由題設(shè)：，a2＝b2+c2，解得a2＝3，b2＝1，∴橢圓C的方程為．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，．②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m（顯然k≠0），由已知，得，把y＝kx+m代入橢圓方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，，＝＝＝，∴|AB|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．又當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，，故|AB|max＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線與圓相切的性質(zhì)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是中檔題．18．（17分）“十四五”時(shí)期是我國(guó)全面建成小康社會(huì)、實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)之后，開(kāi)啟全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程、向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個(gè)五年．“三農(nóng)”工作重心歷史性轉(zhuǎn)向全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快中國(guó)特色農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化進(jìn)程．國(guó)務(wù)院印發(fā)《“十四五”推進(jìn)農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化規(guī)劃》制定了具體工作方案和工作目標(biāo)，提出到2025年全國(guó)水產(chǎn)品年產(chǎn)量達(dá)到6900萬(wàn)噸.2018年至2021年全國(guó)水產(chǎn)品年產(chǎn)量y（單位：千萬(wàn)噸）的數(shù)據(jù)如下表：年份2018201920202021年份代號(hào)x1234總產(chǎn)量y6.466.486.556.69（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年水產(chǎn)品年產(chǎn)量能否實(shí)現(xiàn)目標(biāo)；（2）為了系統(tǒng)規(guī)劃漁業(yè)科技推廣工作，研究人員收集了2019年全國(guó)32個(gè)地區(qū)（含中農(nóng)發(fā)集團(tuán)）漁業(yè)產(chǎn)量、漁業(yè)從業(yè)人員、漁業(yè)科技推廣人員的數(shù)據(jù)，漁業(yè)年產(chǎn)量超過(guò)90萬(wàn)噸的地區(qū)有14個(gè)，有漁業(yè)科技推廣人員高配比（配比＝漁業(yè)科技推廣人員總數(shù)：漁業(yè)從業(yè)人員總數(shù)）的地區(qū)有16個(gè)，其中年產(chǎn)量超過(guò)90萬(wàn)噸且高配比的地區(qū)有4個(gè)，能否有95%的把握認(rèn)為“漁業(yè)科技推廣人員配比和年產(chǎn)量”有關(guān)系．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考數(shù)據(jù)，【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線．【正確答案】（1）y＝0