二重積分的計算

二重積分的計算二重積分的計算第一節(jié)討論了二重積分的概念，按照二重積分的定義來計算二重積分對少數(shù)特別簡單的情況是可行的，但對一般的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實有效的方法.為此，我們首先對曲頂柱體的體積進行分析，從而導出二重積分的計算方法，即把二重積分化為兩次定積分來計算，這種方法稱之為累次積分法.一、在直角坐標系下計算二重積分利用二次積分計算二重積分1.先介紹X—型區(qū)域和Y—型區(qū)域.如果區(qū)域D是由直線x=a,x=b與曲線y=φ1(x),y=φ2(x)所圍成的(見圖9-5),即D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，其中函數(shù)φ1(x)，φ2(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，那么此區(qū)域稱為X—區(qū)域.這種區(qū)域的特點是：穿過內部且平行于y的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點.圖9-5一、在直角坐標系下計算二重積分類似地，如果區(qū)域D={(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}，其中函數(shù)ψ1(y)，ψ2(y)在區(qū)間［c,d］上連續(xù)，那么此區(qū)域稱為Y—型區(qū)域(見圖9-6).這種區(qū)域的特點是：穿過內部且平行于x的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點.圖9-6一、在直角坐標系下計算二重積分假設積分區(qū)域為X—型區(qū)域，即D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，根據(jù)二重積分的幾何意義，當f(x,y)≥0時，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w(見圖9-7)的體積.下面利用第六章中計算“平行截面面積為已知的立體體積”的方法來求這個曲頂柱體的體積.圖9-7一、在直角坐標系下計算二重積分在區(qū)間a,b上任意取定一點x0，過x0作垂直于x軸的平面x=x

0與曲頂柱體相交，截面是一個以區(qū)間［φ1(x0),φ2(x0)］為底，曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，因此，該截面的面積由于x0的任意性，過區(qū)間a,b上任意一點x，且垂直于x軸的平面與曲頂柱體相交得到的截面面積為一、在直角坐標系下計算二重積分(9-2)由此可見，計算二重積分，可以化為計算兩次定積分，故又稱為二次積分.一、在直角坐標系下計算二重積分類似地,若區(qū)域D為Y—型區(qū)域,即D=x,yψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d,則有(9-3)一、在直角坐標系下計算二重積分如果積分區(qū)域既不是X—型區(qū)域，又不是Y—型區(qū)域，則可把D分成幾部分(見圖9-8)，使每個部分是X—型區(qū)域或是Y—型區(qū)域，每部分上的二重積分求得后，根據(jù)二重積分的性質2，它們的和就是在D上的二重積分.圖9-8一、在直角坐標系下計算二重積分在直角坐標系下計算二重積分的步驟是：(1)畫出積分區(qū)域D的圖形，判斷是X—型還是Y—型區(qū)域.(2)確定二次積分的上、下限.若D為X—型區(qū)域，則固定x后，過點x從下至上作y軸的平行線與區(qū)域D相交，該平行線與區(qū)域D的下方邊界的交點(即穿入點)的縱坐標值φ1(x)為積分下限；而該平行線與區(qū)域D的上方邊界的交點(即穿出點)的縱坐標值φ2(x)為積分上限.如果區(qū)域D的下方邊界(或上方邊界)不是由一個函數(shù)表達式表示，則需將區(qū)域D分成若干小區(qū)域，使每一小區(qū)域的下方邊界(或上方邊界)都由一個函數(shù)表達式表示.類似地，可以確定Y—型區(qū)域的二次積分的上下限.(3)用式(9-2)或式(9-3)化二重積分為二次積分.(4)計算二次積分的值.一、在直角坐標系下計算二重積分【例4】圖9-9一、在直角坐標系下計算二重積分解法2如圖9-10所示，也可把D看成是Y—型區(qū)域，即D可用不等式1≤y≤2,y≤x≤2來表示.圖9-10一、在直角坐標系下計算二重積分【例5】圖9-11一、在直角坐標系下計算二重積分【例7】圖9-12一、在直角坐標系下計算二重積分【例8】一、在直角坐標系下計算二重積分圖9-13一、在直角坐標系下計算二重積分【例9】圖9-14一、在直角坐標系下計算二重積分若先對y積分，則需將D分為兩個區(qū)域D1和D2，顯然此式計算起來要麻煩得多(請讀者自己完成).由此可見，選擇合適的積分次序，對于計算二重積分是至關重要的.一、在直角坐標系下計算二重積分【例10】圖9-15計算二重積分D3xydxdy，其中區(qū)域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所圍成的第一象限的圖形，如圖9-15所示.一、在直角坐標系下計算二重積分一、在直角坐標系下計算二重積分【例11】圖9-16一、在直角坐標系下計算二重積分利用對稱性計算二重積分2.利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對稱性，常會化簡二重積分的計算.有關對稱性的結論為：(1)二重積分的奇偶對稱性.設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，若閉區(qū)域D關于y軸對稱，則一、在直角坐標系下計算二重積分一、在直角坐標系下計算二重積分(2)二重積分的輪換對稱性.設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，若閉區(qū)域D中將x與y互換后，一、在直角坐標系下計算二重積分【例12】一、在直角坐標系下計算二重積分(2)用曲線y=－x3將積分域D分成D1和D2兩部分(見圖9-17).顯然D1關于y軸對稱，函數(shù)φ(x,y)關于x是奇函數(shù)；D2關于x軸對稱，函數(shù)φ(x,y)關于y是奇函數(shù).故圖9-17一、在直角坐標系下計算二重積分二、在極坐標下計算二重積分有些積分在直角坐標系下計算很困難，而積分區(qū)域邊界線用極坐標表示較為簡單.如本章開頭所提出的關于球的體積的計算公式推導，學習了定積分的幾何意義以后，我們已經(jīng)知道球的體積V=2DR2－x2－y2dσ，其中D:x2+y2≤R2，該二重積分在直角坐標系下計算極為麻煩(有興趣的讀者不妨試試)，而在極坐標系下計算就很簡單，為此我們推導極坐標系下二重積分的計算.二、在極坐標下計算二重積分在平面解析幾何中我們知道，平面上任意一點的極坐標(r,θ)與它的直角坐標(x,y)的變換公式為

x=rcosθ，y=rsinθ,

其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π.下面介紹在極坐標下二重積分的計算公式.二、在極坐標下計算二重積分設函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，區(qū)域D的邊界曲線如圖9-18所示，

r=r1(θ)，r=r2(θ)(α≤θ≤β)，又設r1(θ)與r2(θ)在［α,β］上連續(xù).圖9-18二、在極坐標下計算二重積分在直角坐標系中，我們用平行于x軸與y軸的兩簇直線劃分區(qū)域D為一系列小矩形，與此類似，在極坐標系中我們用一簇r為常數(shù)的同心圓和θ為常數(shù)的過極點的一簇射線束作劃分.將極角分別為θ與θ+Δθ的兩條射線和半徑分別為r與r+Δr的兩條圓弧所圍成的小區(qū)域記作Δσ，則(9-4)二、在極坐標下計算二重積分計算極坐標下的二重積分，也要化為累次積分.我們按下面三種情況予以說明.(1)極點O在區(qū)域D之外的情況，如圖9-19所示.這時區(qū)域D可表示為D={(r,θ)|α≤θ≤β,r1(θ)≤r≤r2(θ)}圖9-19二、在極坐標下計算二重積分(2)極點O在區(qū)域D的邊界上，如圖9-20所示.這時區(qū)域D可表示為

D={(r,θ)|α≤θ≤β,0≤r≤r(θ)}，于是圖9-20二、在極坐標下計算二重積分(3)極點O在區(qū)域D的內部，如圖9-21(a)所示.這時區(qū)域D可表示為

D={(r,θ)|0≤θ≤2π,0≤r≤r(θ)}，于是二、在極坐標下計算二重積分圖9-21二、在極坐標下計算二重積分二、在極坐標下計算二重積分當區(qū)域D是圓或圓的一部分，或者區(qū)域D的邊界方程用極坐標表示較為簡單，或者被積函數(shù)為

等形式時，一般采用極坐標計算二重積分較為方便.注二、在極坐標下計算二重積分【例13】注二、在極坐標下計算二重積分【例14】圖9-22二、在極坐標下計算二重積分二、在極坐標下計算二重積分【例15】二、在極坐標下計算二重積分【例16】圖9-23二、在極坐標下計算二重積分二、在極坐標下計算二重積分【例17】二、在極坐標下計算二重積分圖9-24二、在極坐標下計算二重積分【例18】圖9-25計算二重積分