隱函數(shù)的微分法

隱函數(shù)的微分法第四節(jié)隱函數(shù)的微分法引例

引例在用數(shù)學(xué)方法探討物理問題時，往往會發(fā)現(xiàn)物理公式中并沒有明顯的自變量和因變量，如氣體的狀態(tài)方程為pV=RT，其中p為壓強、V為體積、T為絕對溫度、R為常數(shù).像這樣的公式，從數(shù)學(xué)角度上講，就是隱函數(shù).那么隱函數(shù)中變量的變化率如何分析呢？以氣體內(nèi)能模型為例，在氣體可逆變化中，氣體的內(nèi)能E與熵S滿足

，如果結(jié)合狀態(tài)方程pV=RT，不妨討論一下氣體的內(nèi)能與體積和溫度哪個關(guān)系更大.一、一個方程的情形第二章已經(jīng)給出了隱函數(shù)F(x,y)=0不經(jīng)顯化直接由方程求導(dǎo)數(shù)的方法，如對x2+12+y2=0，就可以直接求得

，但進一步分析就會發(fā)現(xiàn)，這個隱函數(shù)顯然是不存在的.由此可見，在求導(dǎo)之前，應(yīng)首先確認(rèn)隱函數(shù)的存在性.下面來探討隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來導(dǎo)出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，本節(jié)中的定理不作嚴(yán)格證明，僅給出推導(dǎo)過程.一、一個方程的情形

（一元函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù)F(x,y)滿足如下條件：（1）在點P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).（2）F(x0,y0)=0，F(xiàn)y(x0,y0)≠0.則方程F(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x)，且滿足條件y0=f(x0)，并有定理1一、一個方程的情形

y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F［x,f(x)］≡0，對等式兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)，得又Fy連續(xù)，且Fy(x0,y0)≠0，所以存在(x0,y0)的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)Fy≠0，因此定理推導(dǎo)一、一個方程的情形求由方程xy=yx所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解設(shè)F(x,y)=xy－yx，則由Fx=yxy－1－yxln

y,Fy=xylnx－xyx－1，故隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).【例1】一、一個方程的情形

（多元函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù)F(x,y,z)滿足如下條件：（1）在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).（2）F(x0,y0,z0)=0，F(xiàn)z(x0,y0,z0)≠0.則方程F(x,y,z)=0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)，它滿足條件z0=f(x0,y0)，并有定理2一、一個方程的情形將z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,將等式兩端分別對x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得因為Fz連續(xù)，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在點(x0,y0,z0)的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)Fz≠0，于是得定理推導(dǎo)一、一個方程的情形設(shè)

解設(shè)Fx,y,z=ez－z+xy－3,則

Fx=y,Fz=ez－1,于是【例2】一、一個方程的情形設(shè)z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所確定的隱函數(shù)，其中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

解方程兩邊同時對x求偏導(dǎo),得即，再一次對x求偏導(dǎo)得【例3】一、一個方程的情形

整理得二、方程組的情形在滿足條件時，一個方程組可以確定一對二元函數(shù).例如，由方程xu-yv=0,yu+xv=1可以整理出兩個二元函數(shù)，據(jù)此可求其偏導(dǎo)數(shù).但實際上，更多的情況是無法顯化出對應(yīng)的函數(shù)u,v，那么根據(jù)原方程組直接求u,v的偏導(dǎo)數(shù)就成為必要.二、方程組的情形設(shè)Fx,y,u,v,Gx,y,u,v在點Px0,y0,u0,v0的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).又Fx0,y0,u0,v0=0,Gx0,y0,u0,v0=0,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式定理3二、方程組的情形在點Px0,y0,u0,v0不等于零,則方程組

在點Px0,y0,u0,v0的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),它們滿足條件u0=ux0,y0,v0=vx0,y0,并有二、方程組的情形二、方程組的情形設(shè)方程組確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),則將恒等式兩端分別對x（或?qū)）求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得定理推導(dǎo)二、方程組的情形設(shè)

解下面直接利用定理3的結(jié)論來求解.當(dāng)然也可依照推導(dǎo)定理3的方法來求解.【例4】二、方程組的情形這是關(guān)于

的線性方程組.由假設(shè)可知，在點P(x0,y0,u0,v0)的一個鄰域內(nèi)，系數(shù)行列式從而解上述線性方程組，得二、方程組的情形在的條件下，有二、方程組的情形設(shè)函數(shù)x=xu,v,y=yu,v在點u,v的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又,證明方程組在點x,y,u,v的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)，并有【例5】二、方程組的情形將方程組

改寫成如下形式按假設(shè)證明二、方程組的情形由定理3知，方程組在點x,y,u,v的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y).將反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)代回方程組得將上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù),得二、方程組的情形

這是關(guān)于

的線性方程組，由于J≠0,故可解得同理,可得二、方程組的情形引例說明為方便起見，取V,T為自變量，于是