2025年北師版九年級數(shù)學寒假復習 專題3.13 圓全章專項復習【4大考點13種題型】

專題3.13圓全章專項復習【4大考點13種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1圓的有關性質】 1【題型1垂徑定理的應用】 2【題型2弧、弦、圓心角的關系】 4【題型3圓周角定理及其推論的應用】 5【題型4巧用圓內接四邊形的性質求解】 6【考點2點和圓、直線和圓的位置關系】 8【題型5切線的判定】 9【題型6切線的性質】 10【題型7切線長定理】 12【題型8三角形的外接圓與內切圓】 13【考點3正多邊形和圓】 15【題型9正多邊形和圓的有關計算】 15【題型10正多邊形中的規(guī)律探究性問題】 16【考點4弧長和扇形面積】 18【題型11圓錐側面展開圖的有關計算】 18【題型12不規(guī)則圖形面積的計算】 20【題型13利用弧長和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉問題】 21【考點1圓的有關性質】知識點一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以瞧成就是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義就是圓的形成進行描述的，第二種就是運用集合的觀點下的定義，但就是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦就是線段，弧就是曲線，判斷等弧首要的條件就是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才就是等弧，而不就是長度相等的弧。知識點三圓的對稱性圓就是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都就是它的對稱軸。知識點四垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論：平分弦（不就是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不就是直徑，否則結論不成立。知識點五弦、弧、圓心角的關系弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。知識點六圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角就是直角，90°的圓周角所對弦就是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系?！巴』虻然　本褪遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點七圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。【題型1垂徑定理的應用】【例1】（2024·江西吉安·三模）如圖，一座石橋的主橋拱是四弧形，某時刻添得水面AB的寬度為8米，拱高CD（AB的中點C到水面的距離）為2米．(1)求主橋拱所在圓的半徑．(2)在主橋拱所在圓的圓心處有一水位檢測儀，若過幾天某時刻的水面為EF，檢測儀觀測點E的仰角為25.6°，求此時水面的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，【變式1-1】（23-24九年級·安徽淮南·期末）我國古代數(shù)學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。鐖D，用鋸去鋸這木材，鋸口深ED=1寸，鋸道長AB=1尺（1尺=10寸）．這根圓柱形木材的直徑是多少寸？【變式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉．在《九章算術》中記載有一類似問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深兩寸，鋸道長一尺二，問徑幾何?”小輝同學根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為2寸，鋸道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求該圓材的直徑為多少寸?【變式1-3】（23-24九年級·河北唐山·期末）如圖，裝有水的水槽放在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=40cm，GH為桌面截線，水面截線MN∥GH，直徑一端點B剛好與點N(1)計算MN的長度，并比較直徑AB與MN長度的大?。?2)請在圖中畫出線段CD，用其長度表示水的最大深度，并求水的最大深度．【題型2弧、弦、圓心角的關系】【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點E，AB=CD．(1)求證：AC=BD；(2)連接BC，作直線EO，求證：【變式2-1】（23-24九年級·湖南湘西·期末）如圖，AC=CB，D，E分別是半徑OA，OB的中點．求證：CD=CE【變式2-2】（23-24九年級·甘肅武威·期末）已知，如圖，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求證：AC=DF．【變式2-3】（2024·浙江·模擬預測）已知AB，CD是圓O的內接四邊形ACBD的兩條對角線，AB，CD相交于點(1)如圖1，求證：BM=DM．(2)在圖1中找出一組全等的三角形，并給出證明．(3)如圖2，圓O的半徑為5，弦CD⊥AB于點P，當△CBP的面積為3.5時，求AB的長．【題型3圓周角定理及其推論的應用】【例3】（2024·貴州遵義·三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點E．(1)寫出圖中一個與∠ACD相等的角______；(2)試判斷△CDE的形狀，并說明理由；(3)若⊙O的半徑為23，∠ABC=60°，求AC【變式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為；（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長為．【變式3-2】（2024·江蘇南京·二模）千姿百態(tài)的橋問題：景區(qū)計劃在半徑為1km的人工湖⊙O“X型”（1）如圖①，若點A，B，C，D在⊙O上，則AC+BD的最大值為km；“L型”（2）如圖②，若點A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；“T型”（3）如圖③，若點A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足為D，則AC+BD的最大值為km．【變式3-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB的中點，弦CD，CE分別交AB于點F，G，且∠DCE=1(1)設∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度數(shù)；(2)求證：FG(3)若⊙O的半徑為1，記△ACF，△BCG，△CFG的面積分別為S1，S2，S，設AF=a，BG=b，且滿足【題型4巧用圓內接四邊形的性質求解】【例4】（2024·福建泉州·模擬預測）已知AB，CD為⊙O的位于圓心兩側的兩條弦，且AD=(1)如圖1，連接AC，BD．求證：AB∥CD．(2)如圖2，過點A作CD的垂線交⊙O于點E．若在AC上取一點F，使得AF=CE．求證：D，O，【變式4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，A,B,C,D,E均是⊙O上的點，且BE是⊙O的直徑，若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式4-2】（2024·吉林白城·模擬預測）如圖，AC是圓內接四邊形ABCD的一條對角線，點D關于AC的對稱點E在邊AB上，若∠ABC=70°，則∠AEC=°．【變式4-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖所示，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．如圖，圓內接四邊形ABCDABCD的對角線ACAC，BDBD交于點EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC=AD，BF=2，試求四邊形ABCD的面積和此圓半徑的長．【考點2點和圓、直線和圓的位置關系】知識點一點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。（2）用數(shù)量關系表示：若設⊙O的半徑就是r，點P到圓的距離OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點p在圓上d=r；點p在圓內d＜r。知識點二過已知點作圓（1）經過一個點的圓（如點A）以點A外的任意一點（如點O）為圓心，以OA為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個?！1A·O2·O3（2）經過兩點的圓（如點A、B）以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點O）為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。AB（3）經過三點的圓①經過在同一條直線上的三個點不能作圓②不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以OA（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。知識點三三角形的外接圓與外心（1）經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2）外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四直線與圓的位置關系（1）直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關系可以用數(shù)量關系表示若設⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交d＜r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d＞r。知識點五切線的判定與性質（1）切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線。（2）切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。（3）切線的其她性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點六切線長定理（1）切線長的定義：經過園外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線與切線長就是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線就是直線，就是不能度量的；切線長就是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個就是在圓外一點，另一個就是切點。知識點七三角形的內切圓與內心（1）三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。（2）三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。（3）注意：三角形的內心就是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點與內心的射線，必平分三角形的內角?！绢}型5切線的判定】【方法總結】因為切線與圓有且只有一個公共點,所以題中信息是否明確給出公共點可以作為判定切線方法選擇的一個標準.【例5】（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在圓上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，與AB相交于點E．(1)在CA的延長線上找一點F，使CF=CD，連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：FD是⊙O的切線．【變式5-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將△ABC沿過點A的直線翻折并展開，點C的對應點C′落在邊AB上，折痕為AD，點O在邊AB上，⊙O經過點A、D．若∠ACB=90°，判斷BC與⊙O的位置關系，并說明理由．【變式5-2】（2024·山東青島·一模）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC是⊙O的直徑，D為BC的中點，∠ABE=∠C，E在CA的延長線上．(1)EB是⊙O的切線嗎？為什么？(2)若DB=12AC【變式5-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC的延長線與過點A的直線相交于點E，且∠ABE=∠EAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)點F是弧AD的中點，點B在弧DF上，過點F作FG⊥AB于點G，是否存在常數(shù)k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【題型6切線的性質】【方法總結】已知圓的切線時,常連接圓心和切點,得到半徑垂直于切線,通過構造直角三角形解決問題,即“見切線,連半徑,得垂線”.【例6】（2024·湖南·二模）如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，△ABC是等邊三角形，AE是⊙O的切線，D是AC的中點，CD的延長線交AE于點E．(1)求證：AE∥(2)若DE=2，求△ADE的面積．【變式6-1】（2024·天津濱海新·模擬預測）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AB=2AC．(1)如圖①，點P是弧BC上一點，求∠APC的大小；(2)如圖②，過點C作⊙O的切線MC，過點B作BD⊥MC于點D，BD與⊙O交于點E，若AB=4，求CE的長．【變式6-2】（2024·安徽合肥·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AO平分∠BAD．點O在AC上，以點O為圓心，OA為半徑，作⊙O與BC相切于點B，BO延長線交⊙O于點E，交AD于點F，連接AE，DE．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AE=DE=8，求AF的長．【變式6-3】（2024·山東·模擬預測）如圖，AD是⊙O的直徑，B、C都是⊙O上的點，連接AB、BC、OC、AC，E是(1)證明：DE是⊙O的切線；(2)連接OE，交⊙O于點F．當CD=AO時，若CE=2，求EF的長．【題型7切線長定理】【例7】（23-24九年級·河南商丘·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在邊BC上，以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點E，連接OA，且OA=OB．連接CE交OA于點F．(1)求證：AB=2AC．(2)若AC=3，求線段OC，CF【變式7-1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，圓O的圓心在梯形ABCD的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若CD∥AB，AB=10，AD=6，則CB長（

）A．4 B．5 C．6 D．無法確定【變式7-2】（2024·山東聊城·二模）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓弧的三等分點，過B，C兩點的半圓O的切線交于點P，若AB的長是2a，則PA的長是．【變式7-3】（23-24九年級·江蘇揚州·期中）數(shù)學興趣小組的同學在探究等分問題的過程中，得到了很多成果．成果一：制作了三分角儀．圖(1)是示意圖，點B在半徑OC的延長線上，CD⊥OC，BC=OC，CD足夠長．若要將∠GAH三等分，只需要適當放置三分角儀，使點A在CD上，點B落在AG上，當AH與半⊙O相切時，AC、AO就將∠GAH三等分了．成果二：創(chuàng)造了只用圓規(guī)將圓四等分的方法．如圖(2)，具體步驟為：①將⊙O六等分，等分點分別是點A、B、C、D、E、F；②分別以點A、D為圓心，AE長為半徑作弧，交于點G；③以點A為圓心，OG長為半徑作弧，交⊙O于點M、N，則點A、M、D、N將⊙O四等分．(1)請你說明三分角儀的正確性；(2)證明點A、M、D、N是⊙O四等分點．【題型8三角形的外接圓與內切圓】【方法總結】三角形內切圓的常用結論：【例8】（2024·上?！つM預測）如圖，AB是圓O直徑，弦CE⊥AB，垂足為D，圓O周長為4π，AC=2(1)AE，求△AEC內切圓的面積；(2)BC，OE，求證：【變式8-1】（23-24九年級·江蘇鹽城·期中）如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D．(1)求證：∠BAD=∠CBD；(2)求證：BD=ID；(3)連接BI、CI，求證：點D是△BIC的外心．【變式8-2】（23-24九年級·山東淄博·期末）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．【變式8-3】（23-24九年級·內蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．【考點3正多邊形和圓】知識點一正多邊形的外接圓與圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n（n就是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點所的的多邊形就是這個圓的內接正多邊形，這個圓就就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質（1）正n邊形的半徑與邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。（2）所有的正多邊形都就是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也就是中心對稱圖形，正n邊形的中心就就是對稱中心。正n邊形的每一個內角等于，中心角與外角相等，等于?！绢}型9正多邊形和圓的有關計算】【方法總結】利用正多邊形和圓的性質,已知正多邊形的邊長,求解與正多邊形有關的量時,通常做法是作出正多邊形的邊心距,構造由半徑、邊心距、邊長的一半圍成的直角三角形,然后利用勾股定理解決.【例9】（2024·遼寧·模擬預測）在圓內接正六邊形ABCDEF中，AC，EC分別交BD于點H，G．

(1)如圖①，求證：點H，G三等分BD．(2)如圖②，操作并證明．①尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，垂足為K，以點O為圓心，OK的長為半徑作圓；（在圖②中完成作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）②求證：CE是①所作圓的切線．【變式9-1】（2024·福建廈門·二模）如圖，正五邊形ABCEF內接于⊙O，點D在⊙O上，則∠D的度數(shù)為（

）

A．45° B．50° C．60° D．72°【變式9-2】（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，線段MN在對角線BD上運動，若⊙O的面積為2π，MN=1，則（1）⊙O的直徑長為；（2）△AMN周長的最小值是．【變式9-3】（23-24九年級·浙江金華·期中）如圖所示，已知正八邊形ABCDEFGH內接于⊙O，連接AC、BD，相交于點P．若⊙O的半徑為1，(1)求AC的長；(2)求∠APD的度數(shù)．【題型10正多邊形中的規(guī)律探究性問題】【方法總結】正多邊形中規(guī)律探究性問題是重要的考點之一,解答這類問題的關鍵是靈活運用特殊與一般的思想.這類問題需要從簡單的情形入手,由淺入深、由簡單到復雜、由特殊到一般逐步分析探索,發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律,再根據(jù)變化規(guī)律歸納出最后的結果.【例10】（2024·湖南湘西·中考真題）觀察下列結論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB,BC上的點，且AM=BN，則AN=CM，∠NOC=60°；（2）如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB,BC上的點，且AM=BN，則AN=DM，∠NOD=90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB,BC上的點，且AM=BN，則AN=EM，∠NOE=108°；……根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4??An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是【變式10-1】（2015·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長為（）A．24329 B．81329 【變式10-2】（23-24九年級·湖南湘西·期中）如圖1，圖2，圖3?，M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON，圖1中∠MON=120°，圖2中∠MON=90°，圖3中∠MON=72°…，根據(jù)這樣的規(guī)律，圖n中【變式10-3】（23-24九年級·浙江臺州·期中）李老師帶領班級同學進行拓廣探索，通過此次探索讓同學們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對應的內切圓的周長C的比值，稱作這個正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長為1，求得其內切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結]隨著n的增大，kn【考點4弧長和扇形面積】知識點一弧長公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式l=×2πR=。知識點二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長公式與面積公式發(fā)現(xiàn)：S扇形=知識點三圓錐的側面積與全面積圓錐的側面積就是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易的到圓錐的側面展開圖就是一個扇形。設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側面積。圓錐的全面積為。【題型11圓錐側面展開圖的有關計算】【例11】（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，∠BPD=120°，點A、C分別在射線PB、PD上，∠PAC=30°，(1)用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點分別與射線PB和PD相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；(2)將劣弧AC所在的扇形圍成圓錐的側面，則該圓錐的底面圓的半徑為．(3)求所得的劣弧與線段PA、PC圍成的封閉圖形的面積．【變式11-1】（23-24九年級·江蘇泰州·期中）如圖，在直徑為2的圓形紙片上裁剪出圓心角∠ACB=90°的扇形CAB．

(1)求陰影部分面積；(2)用所裁剪的扇形紙片CAB圍成一個圓錐的側面，求圓錐底面圓的半徑．【變式11-2】（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，在半徑為4的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是AB上的一個動點（不與點A，B重合），連接AC，BC，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別為點D，E．

(1)若扇形AOB是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑；(2)在△DOE中是否存在長度為定值的邊?若存在，請求出這條邊的長度；若不存在，請說明理由．【變式11-3】（2024·廣東東莞·二模）【綜合與實踐】主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個底面半徑為r的圓錐側面展開，可得到一個半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽，

(1)現(xiàn)在需要制作一個r=10cm，l=30(2)為了使（1）中所制作的生日帽更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），求彩帶長度的最小值．【題型12不規(guī)則圖形面積的計算】【例12】（23-24九年級·浙江臺州·期末）如圖，扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4，點C為OB的中點，將扇形OAB繞點C順時針旋轉90°，得到扇形O′A′A．4π3+5C．4π3+7【變式12-1】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC=22，∠ACB=90°，D是AB的中點，以點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰好在EF上（點E，F(xiàn)不與點C重合），半徑DE，DF分別與AC，BC相交于點G，H，則陰影部分的面積為【變式12-2】（23-24九年級·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點O是邊BC的中點，半圓O與△ABC相切于點D、EA．32 B．22 C．2 【變式12-3】（2024·廣東惠州·三模）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，點E是AB延長線上一點，且AF=EF，連接DE．(1)填空：∠BCD=°；(2)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；(3)取CB的中點M，連接DM，求圖中陰影部分的面積．【題型13利用弧長和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉問題】【例13】（23-24九年級·云南曲靖·階段練習）如圖，在等邊△ABC內有一點P，且PA=2，PB=3，PC=1，若把BP繞著點B逆時針旋轉60°得到BP′，連接P(1)求∠BPC的度數(shù)；(2)求PP(3)求點P劃過的路徑長；(4)當BC=52時，如果△BP′A【變式13-1】（2024·江蘇南通·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為22cm，將正方形ABCD在直線l上順時針連續(xù)翻轉4次，則點A所經過的路徑長為(

A．4πcm B．2+22πcm C．22πcm D．【變式13-2】（16-17九年級·山東濟南·期末）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞著點D在桌面上順時針旋磚至A1B1C1D，使其?？吭诰匦?/p>

A．5π6 B．5π3 C．5π2【變式13-3】（2024·山東淄博·二模）如圖①，小慧同學把一個等邊三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點按順時針方向旋轉120°，點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經過上述兩次旋轉到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點O所經過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點按順時針方向旋轉90°，……，按上述方法經過若干次旋轉后，她提出了如下問題：（1）若正方形紙片OABC按上述方法經過3次旋轉，求頂點O經過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經過5次旋轉，求頂點O經過的路程；（2）正方形紙片OABC按上述方法經過多少次旋轉，頂點O經過的路程是21+102

專題3.13圓全章專項復習【4大考點13種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1圓的有關性質】 2【題型1垂徑定理的應用】 3【題型2弧、弦、圓心角的關系】 7【題型3圓周角定理及其推論的應用】 12【題型4巧用圓內接四邊形的性質求解】 21【考點2點和圓、直線和圓的位置關系】 26【題型5切線的判定】 27【題型6切線的性質】 33【題型7切線長定理】 40【題型8三角形的外接圓與內切圓】 46【考點3正多邊形和圓】 52【題型9正多邊形和圓的有關計算】 52【題型10正多邊形中的規(guī)律探究性問題】 57【考點4弧長和扇形面積】 62【題型11圓錐側面展開圖的有關計算】 63【題型12不規(guī)則圖形面積的計算】 69【題型13利用弧長和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉問題】 76【考點1圓的有關性質】知識點一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以瞧成就是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義就是圓的形成進行描述的，第二種就是運用集合的觀點下的定義，但就是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦就是線段，弧就是曲線，判斷等弧首要的條件就是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才就是等弧，而不就是長度相等的弧。知識點三圓的對稱性圓就是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都就是它的對稱軸。知識點四垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論：平分弦（不就是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不就是直徑，否則結論不成立。知識點五弦、弧、圓心角的關系弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。知識點六圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角就是直角，90°的圓周角所對弦就是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系?！巴』虻然　本褪遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點七圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。【題型1垂徑定理的應用】【例1】（2024·江西吉安·三模）如圖，一座石橋的主橋拱是四弧形，某時刻添得水面AB的寬度為8米，拱高CD（AB的中點C到水面的距離）為2米．(1)求主橋拱所在圓的半徑．(2)在主橋拱所在圓的圓心處有一水位檢測儀，若過幾天某時刻的水面為EF，檢測儀觀測點E的仰角為25.6°，求此時水面的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，【答案】(1)主橋拱所在圓的半徑長為5米(2)此時水面的寬度約為9米【分析】（1）連接OA，OD，構造△ADO，通過垂徑定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．（2）設OC與EF相交于點G，根據(jù)平行線的性質得出∠OEG=25.6°，△OGE為直角三角形，再利用銳角三角形的余弦值即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接OA，OD．∵C是AB的中點，CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=4，CD設半徑OA=OC=r，則OD=OC?CD=r?2．∵在Rt△ADO中，O∴r2=4答：主橋拱所在圓的半徑長為5米．（2）（2）如圖，設OC與EF相交于點G．由題意得∠EOH=25.6°．∵EF//OH，∴∵EF//AB∴OD⊥EF，∴∠OGE=90°．∵在Rt△OGE中，OE=5∴EG=OE?cos∴EF=2EG=9．答：此時水面的寬度約為9米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形及應用，涉及垂徑定理，勾股定理的應用及平行線的性質等知識，解決問題的關鍵是學會添加輔助線，構造直角三角形解決問題．【變式1-1】（23-24九年級·安徽淮南·期末）我國古代數(shù)學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。鐖D，用鋸去鋸這木材，鋸口深ED=1寸，鋸道長AB=1尺（1尺=10寸）．這根圓柱形木材的直徑是多少寸？【答案】這根圓形木材的直徑為26寸【分析】本題考查垂徑定理結合勾股定理計算半徑長度．根據(jù)題意可得OE⊥AB，由垂徑定理可得AD=BD=12AB=12尺=5【詳解】解：由題可知OE⊥AB，∵OE為⊙O半徑，∴AD=BD=設OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r?1，在Rt△OAD由勾股定理得r?12解得r=13，∴這根圓形木材的直徑為26寸．【變式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉．在《九章算術》中記載有一類似問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶顑纱?，鋸道長一尺二，問徑幾何?”小輝同學根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為2寸，鋸道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求該圓材的直徑為多少寸?【答案】該圓材的直徑為20寸【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，過點O作OC⊥AB于點D，交AB于點C，連接OA，設⊙O半徑為x，則OD=x?2，由勾股定理建立方程即可求得x，從而求得圓的直徑．【詳解】解：設該圓材的半徑為x寸．如圖所示，過點O作OC⊥AB于點D，交AB于點C，連接OA，則CD=2寸，設OA=x寸，AB=1.2尺=12寸，所以AD=BD=1在Rt△AOD中，即x解得x=10，則2x=2×10=20，即該圓材的直徑為20寸．【變式1-3】（23-24九年級·河北唐山·期末）如圖，裝有水的水槽放在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=40cm，GH為桌面截線，水面截線MN∥GH，直徑一端點B剛好與點N(1)計算MN的長度，并比較直徑AB與MN長度的大小；(2)請在圖中畫出線段CD，用其長度表示水的最大深度，并求水的最大深度．【答案】(1)MN的長度為40π3；直徑AB小于MN(2)水的最大深度為10【分析】本題主要考查了圓周角定理的推論，垂徑定理，含30度角的直角三角形，弧長公式．（1）連接OM，由OM=OB，∠ANM=30°，求出∠MOB=120°，根據(jù)弧長公式即可求解；（3）過點O作OD⊥MN交MN于點C，根據(jù)含30度角的直角三角形的特征，由OB=12AB，求出OC=【詳解】（1）解：如圖，連接OM．∵OM=OB，∴∠OMB=∠ANM=30°，∴∠MOB=180°?∠OMB?∠ANM=120°，∴l(xiāng)∵40π∴直徑AB小于MN長度；（2）解：如圖，過點O作OD⊥MN交MN于點C，在Rt△OCB中，∠ANM=30°，AB=40∵OB=1∴OC=1∴CD=OD?OC=20?10=10cm∴水的最大深度為10cm【題型2弧、弦、圓心角的關系】【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點E，AB=CD．(1)求證：AC=BD；(2)連接BC，作直線EO，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質，利用弧、弦、圓心角的關系求證，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關系得出AB?+AD（2）因為AB=CD，所以AB=CD，即∠ACB=∠DBC．結合OB=OC，得出E、O都在【詳解】（1）證明：∵AB=CD，∴AB∴AB?即BD=∴AC=BD．（2）證明：連接OB、OC、BC∵AB=CD∴AB=∴∠ACB=∠DBC．∴EB=EC∵OB=OC∴E、O都在BC的垂直平分線上．∴EO⊥BC【變式2-1】（23-24九年級·湖南湘西·期末）如圖，AC=CB，D，E分別是半徑OA，OB的中點．求證：CD=CE【答案】見解析【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，以及全等三角形的判定與性質．連接OC，構建全等三角形ΔCOD和ΔCOE；然后利用全等三角形的對應邊相等證得【詳解】證明：連接OC．在⊙O中，∵AC=∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，∴OD=OE，∵OC=OC，∴△COD≌△COE(SAS∴CD=CE．【變式2-2】（23-24九年級·甘肅武威·期末）已知，如圖，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求證：AC=DF．【答案】證明見解析【分析】此題考查了弧與弦的關系，熟練掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等是解題的關鍵．利用AB=DE，BC=EF，得出AB=DE，BC=【詳解】證明：∵AB=DE，BC=EF，∴AB=DE，∴AC=∴AC=DF．【變式2-3】（2024·浙江·模擬預測）已知AB，CD是圓O的內接四邊形ACBD的兩條對角線，AB，CD相交于點(1)如圖1，求證：BM=DM．(2)在圖1中找出一組全等的三角形，并給出證明．(3)如圖2，圓O的半徑為5，弦CD⊥AB于點P，當△CBP的面積為3.5時，求AB的長．【答案】(1)證明見解析；(2)△ABD≌△CDB，證明見解析；(3)8．【分析】（1）由AB=CD得AB=CD，即得BC=（2）△ABD≌△CDB．由（1）得，∠ABD=∠CDB，再利用SAS即可求證；（3）如圖2，連接OB、OC，由垂直得∠BPD=∠BPC=90°，同理（1）可得BP=DP，得到△BPD為等腰直角三角形，即得∠PDB=∠PBD=45°，進而得∠BOC=2∠BDC=90°，利用勾股定理得BC=OB2+OC2=52，設BP=DP=x，CP=y，可得【詳解】（1）證明：∵AB=CD，∴AB=∴AB?即BC=∴∠CDB=∠ABD，即∠MDB=∠MBD，∴BM=DM；（2）解：△ABD≌△CDB．證明：由（1）得，∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中，AB=CD∠ABD=∠CDB∴△ABD≌△CDBSAS（3）解：如圖2，連接OB、OC，∵CD⊥AB，∴∠BPD=∠BPC=90°，同理（1）可得BP=DP，∴△BPD為等腰直角三角形，∴∠PDB=∠PBD=45°，∴∠BOC=2∠BDC=2×45°=90°，∴BC=O設BP=DP=x，CP=y，在Rt△BPC中，由勾股定理得B∴x2又∵△CBP的面積為3.5，∴12∴xy=7，∴x+y2∴x+y=8，∴AB=CD=CP+DP=x+y=8．【點睛】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關系，等角對等邊，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，完全平方公式，正確作出輔助線是解題的關鍵．【題型3圓周角定理及其推論的應用】【例3】（2024·貴州遵義·三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點E．(1)寫出圖中一個與∠ACD相等的角______；(2)試判斷△CDE的形狀，并說明理由；(3)若⊙O的半徑為23，∠ABC=60°，求AC【答案】(1)∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；(2)△DEC是等腰三角形，理由見解析(3)6【分析】（1）根據(jù)題意得AD=CD,則（2）根據(jù)題意得AD=CD,則∠ABD=∠CBD，由角平分線的∠ACE=∠BCE，結合∠DEC=∠CBD+∠BCE和∠DCE=∠ACD+∠ACE，則∠DEC=∠DCE，故（3）連接OD，交AC于點F，連接OA．由題意得∠ABD=30°，∠OFA=90°，則∠AOD=60°，在Rt△OFA中AF=OA?sin60°【詳解】（1）解：∵D是弧AC的中點，∴AD=∴∠ACD=∠ABD=∠CBD=∠DAC，故答案為：∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；（2）解：△DEC是等腰三角形，理由如下：∵點D是AC的中點，∴AD=∴∠ABD=∠CBD，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，在△DEC中，∠DEC=∠CBD+∠BCE，∵∠DCE=∠ACD+∠ACE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC，即△DEC是等腰三角形．（3）解：連接OD，交AC于點F，連接OA．如圖，∵∠ABC=60°，D是弧AC的中點，∴∠ABD=30°，∠OFA=90°，∵AD=∴∠AOD=60°，在Rt△OFA中，OA=2∴AF=OA?sin又OF⊥AC，∴AC=2AF=2×3=6。【點睛】本題主要考查圓的知識，涉及同弧所對圓周角相等、角平分線的定義、等腰三角形的性質、垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形，解題的關鍵是熟悉圓的相關知識?！咀兪?-1】（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為；（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長為．【答案】45°6【分析】（1）連接OA,OB，證明△AOF和△BOF都是等腰直角三角形即可；（2）延長AO交⊙O于點G，連接BG，則OF是△ABG的中位線，可以求出BG=6，然后根據(jù)垂直證明∠CAD=∠BAG，根據(jù)圓周角相等則所對的弦相等得到CD=BG=6．【詳解】解：（1）如圖，連接OA,OB，∵OF是弦AB的弦心距，∴OF⊥AB，∴AF=BF.∵AF=OF,∴△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，∴∠AOF=∠BOF=45°,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=90°,∵AB=∴∠ADB=1故答案為：45°；（2）如圖，延長AO交⊙O于點G，連接BG，由AF=BF,OA=OG，得OF是△ABG的中位線，∴BG=2OF，在Rt△AOF中，OA=5,AF=由勾股定理得OF=∴BG=6，∵AC⊥BD∴∠CAD+∠ADB=90°，∵AG是⊙O的直徑，∴∠ABG=90°，∠BAG+∠G=90°，∵AB∴∠G=∠ADB,∴∠CAD=∠BAG,∴DC=∴CD=BG=6，故答案為：6．【點睛】本題考查垂徑定理及其推論，圓周角定理，圓心角與弧、弦的關系，三角形的中位線定理，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．【變式3-2】（2024·江蘇南京·二模）千姿百態(tài)的橋問題：景區(qū)計劃在半徑為1km的人工湖⊙O“X型”（1）如圖①，若點A，B，C，D在⊙O上，則AC+BD的最大值為km；“L型”（2）如圖②，若點A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；“T型”（3）如圖③，若點A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足為D，則AC+BD的最大值為km．【答案】（1）4；（2）22km【分析】（1）根據(jù)題意得出AC≤2，BD≤2，即可得出結論；（2）連接AC，過點B作BE⊥AC于點E，根據(jù)90度的圓周角所對的弦是直徑及勾股定理得AB2+BC2=AC（3）如圖，過點O作OG⊥AC于點G，延長GO交⊙O于點H，連接OC，設GC=x，AC+GO=mm>0，得到DB≤GH，由垂徑定理得AG=GC=x，根據(jù)勾股定理得GO2+GC2=OC2【詳解】解：（1）∵點A，B，C，D在半徑為1km的⊙O∴AC≤2，BD≤2，∴AC+BD≤4，∴AC+BD的最大值為4km故答案為：4；（2）連接AC，過點B作BE⊥AC于點E，∵AB⊥BC，⊙O的半徑為1，∴AB∴AB+BC=A∵S△ABC即當BE=1時，△ABC的面積取得最大值，∴12AB?BC≤1∴AB+BC=4+2AB?BC∴AB+BC的最大值為22（3）如圖，過點O作OG⊥AC于點G，延長GO交⊙O于點H，過點O作OK⊥BD于點K，連接OC，OB，設GC=x，AC+GO=mm>0∵AC⊥BD，∴∠OGD=∠GDK=∠DKO=90°，∴四邊形OGDK是矩形，∴DK=OG，∴DB=DK+KB≤GO+OB=GO+OH=GH，當點D與點G重合時，取“=”，∵OG⊥AC，AG=GC=x，∴GO=m?AC=m?2x，∵GO2+G整理，得：5x∴?4m2解得：?5∴0<m≤5∴AC+BD≤AC+GH=AC+GO+OH=m+1≤5∴AC+BD的最大值為5故答案為：5+1【點睛】本題是圓的綜合題，考查了弦與直徑的關系，90度的圓周角所對的弦是直徑，垂徑定理，矩形的判定和性質，勾股定理，一元二次方程根的判別式等知識點．掌握圓的基本性質是解題的關鍵．【變式3-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB的中點，弦CD，CE分別交AB于點F，G，且∠DCE=1(1)設∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度數(shù)；(2)求證：FG(3)若⊙O的半徑為1，記△ACF，△BCG，△CFG的面積分別為S1，S2，S，設AF=a，BG=b，且滿足【答案】(1)∠CDE=90°?α(2)見解析(3)a=3?52【分析】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質，勾股定理，解一元二次方程；（1）連接AE，由AB是⊙O的直徑可得∠ACB=90°，則∠DCE=12∠ACB=45°，即可得到∠BAE=∠BCE=45°?α（2）把△ACF順時針旋轉90°，則CA與CB重合，即可得到△ACF≌△BCM，得到AF=BM，∠CAB=∠CBA=∠CBM=45°，則GM2=BM2+BG（3）連接OC，則OC⊥AB，即可表示出S1，S2，【詳解】（1）連接AE，OC，∵AB是⊙O的直徑，點C是AB的中點，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°，∴∠DCE=1∵∠ACD=α，∴∠BAE=∠BCE=∠ACB?∠ACD?∠DCE=45°?α，∴∠CDE=∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+45°?α=90°?α；（2）把△ACF順時針旋轉90°，點F對應點M，連接GM，則∠FCM=90°，∵∠ACB=90°，∴CA與CB重合，∴△ACF≌△BCM，∴AF=BM，∠CAB=∠CBA=∠CBM=45°，CF=CM，∴∠GBM=90°，∴GM∵∠FCM=90°，∠DCE=45°，∴∠DCE=∠MCG=45°，∵CF=CM，CG=CG，∴△FCG≌△MCG，∴FG=MG，∴FG（3）∵⊙O的半徑為1，∴OC=OA=OB=1，∵點C是AB的中點，∴OC⊥AB，∵AF=a，BG=b，∴FG=AB?AF?BG=2?a?b，∴S1=S△ACF=由（2）可得FG2=AF2∴S=S△CFG=∵S△MCG∴S+1∴S=S∵S1∴S1整理得2S12∴2∴2×12∵FG∴2?a?b2∴2?a?2a整理可得a2?3a+1=0，解得∵a<2，∴a=3?∴b=2a=3?5【題型4巧用圓內接四邊形的性質求解】【例4】（2024·福建泉州·模擬預測）已知AB，CD為⊙O的位于圓心兩側的兩條弦，且AD=(1)如圖1，連接AC，BD．求證：AB∥CD．(2)如圖2，過點A作CD的垂線交⊙O于點E．若在AC上取一點F，使得AF=CE．求證：D，O，【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AC、BD，由AD=BC可得∠ACD=∠BDC，根據(jù)圓內接四邊形的性質得∠ACD+∠ABD=180°，可得∠BDC+∠ABD=180°，即可得（2）連接CF，由AF=CE可得AC=EF，則∠EAF=∠AEC，根據(jù)圓內接四邊形的性質得∠AEC+∠AFC=180°，可得∠EAF+∠AFC=180°，可得AE∥CF，則FC⊥CD，∠FCD=90°，即可得本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質等，合理添加輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵AD=∴∠ACD=∠BDC，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴∠BDC+∠ABD=180°，∴AB∥CD；（2）如圖2，連接CF，AF，CE，DF，∵AF=CE∴AC=∴∠EAF=∠AEC，∵∠AEC+∠AFC=180°，∴∠EAF+∠AFC=180°，∴AE∥CF，∵AE⊥CD，∴FC⊥CD，∴∠FCD=90°，∴DF經過圓心O．∴D，O，F(xiàn)三點共線【變式4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，A,B,C,D,E均是⊙O上的點，且BE是⊙O的直徑，若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】本題主要考查圓與內接四邊形的綜合，掌握內接四邊形的性質，直徑所對圓周角是直角的知識是解題的關鍵．根據(jù)A,B,C,D,E均是⊙O上的點，可得四邊形ABCD是內接四邊形，則∠BAD+∠BCD=180°，由此可求出∠BAD的度數(shù)，根據(jù)BE是⊙O的直徑，可得∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°，由此即可求解．【詳解】解：A,B,C,D,E均是⊙O上的點，∴四邊形ABCD是內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°，∴∠DAE=90°?∠BAD=90°?60°=30°，故選：B．【變式4-2】（2024·吉林白城·模擬預測）如圖，AC是圓內接四邊形ABCD的一條對角線，點D關于AC的對稱點E在邊AB上，若∠ABC=70°，則∠AEC=°．【答案】110【分析】本題考查了圓內接四邊形的性質定理，軸對稱的性質，熟練掌握圓內接四邊形的性質定理及軸對稱的性質是解題的關鍵．根據(jù)圓內接四邊形的性質定理可得∠D=110°，再根據(jù)軸對稱的性質即得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∠ABC=70°，∴∠D=180°?∠ABC=180°?70°=110°，∵點D關于AC的對稱點E在邊AB上，∴△ADC≌△AEC，∴∠D=∠AEC=110°．故答案為：110．【變式4-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖所示，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．如圖，圓內接四邊形ABCDABCD的對角線ACAC，BDBD交于點EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC=AD，BF=2，試求四邊形ABCD的面積和此圓半徑的長．【答案】(1)見解析(2)163；【分析】本題考查圓內接四邊形的性質，圓周角定理，平行線的性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是由圓內接四邊形的性質得到∠ABD+∠ADB=90°，由垂徑定理推出ΔACD（1）由圓周角定理得到∠BAC=∠CDB，而∠BAC=∠ADB，因此∠ADB=∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圓內接四邊形的性質得到∠ABD+∠ADB=90°，即可求出∠BAD=90°；（2）由垂徑定理推出ΔACD是等邊三角形，得到∠ADC=60°由BD⊥AC，得到∠BDC=12∠ADC=30°，由平行線的性質求出∠F=90°，由圓內接四邊形的性質求出∠FBC=∠ADC=60°，得到BC=2BF=4，由直角三角形的性質得到【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°，∴2(∠ABD+∠ADB)=180°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAD=180°?90°=90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，∵∠BAD=90°，∴BD是圓的直徑，∴BD垂直平分AC，∴AD=CD，∵AC=AD，∴Δ∴∠ADC=60°∵BD⊥AC，∴∠BDC=1∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD=180°，∴∠F=90°，∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠FBC+∠ABC=180°，∴∠FBC=∠ADC=60°，∴BC=2BF=4，∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，∴BC=1∵BD是圓的直徑，∴圓的半徑長是4，∴S【考點2點和圓、直線和圓的位置關系】知識點一點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。（2）用數(shù)量關系表示：若設⊙O的半徑就是r，點P到圓的距離OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點p在圓上d=r；點p在圓內d＜r。知識點二過已知點作圓（1）經過一個點的圓（如點A）以點A外的任意一點（如點O）為圓心，以OA為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個?！1A·O2·O3（2）經過兩點的圓（如點A、B）以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點O）為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。AB（3）經過三點的圓①經過在同一條直線上的三個點不能作圓②不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以OA（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。知識點三三角形的外接圓與外心（1）經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2）外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四直線與圓的位置關系（1）直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關系可以用數(shù)量關系表示若設⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交d＜r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d＞r。知識點五切線的判定與性質（1）切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線。（2）切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。（3）切線的其她性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點六切線長定理（1）切線長的定義：經過園外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線與切線長就是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線就是直線，就是不能度量的；切線長就是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個就是在圓外一點，另一個就是切點。知識點七三角形的內切圓與內心（1）三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。（2）三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。（3）注意：三角形的內心就是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點與內心的射線，必平分三角形的內角?！绢}型5切線的判定】【方法總結】因為切線與圓有且只有一個公共點,所以題中信息是否明確給出公共點可以作為判定切線方法選擇的一個標準.【例5】（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在圓上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，與AB相交于點E．(1)在CA的延長線上找一點F，使CF=CD，連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：FD是⊙O的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)基本作圖的基本要求作圖解答即可．（2）連接OD．根據(jù)直徑，得到∠ACB=90°，進而得出∠1=∠2=45°，再由圓周角定理，得到∠BOD=90°，∠CAB=∠CDB，從而推出∠CFD=∠CAE，得到AB∥FD，即可證明FD是⊙O的切線．本題考查了基本作圖，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，切線的判定定理，熟練掌握作圖，切線的判定定理是解題的關鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下：則點F、FD為所求．（2）證明：連接OD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2=1∵BD∴∠BOD=2∠2=90°，∵CF=CD，∴∠CFD=∠CDF=1∵CB∴∠CAB=∠CDB，∵∠CDB=3∠ABC，∴∠CAB=3∠ABC，∵∠CAB+∠ABC=90°，∴3∠ABC+∠ABC=90°．∴∠ABC=22.5°，∠CAB=67.5°，∴∠CFD=∠CAE，∴AB∥FD，∴∠FDO=∠3=90°，∴FD⊥OD．又∵OD為⊙O半徑，∴FD是⊙O切線．【變式5-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將△ABC沿過點A的直線翻折并展開，點C的對應點C′落在邊AB上，折痕為AD，點O在邊AB上，⊙O經過點A、D．若∠ACB=90°，判斷BC與⊙O的位置關系，并說明理由．【答案】BC與⊙O相切，理由見解析【分析】連接OD，由等腰三角形的性質得∠OAD=∠ODA，再由折疊的性質得∠CAD=∠OAD，進而證明AC∥OD，則∠ODB=∠ACB=90°，因此【詳解】解：BC與⊙O相切．證明：連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵圖形沿過點A的直線翻折，點C的對應點C'落在邊AB∴∠CAD=∠OAD．∴∠CAD=∠ODA．∴AC∥∴由∠ACB=90°，得∠ODC=90°，即OD⊥BC．∴BC與⊙O相切．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系、等腰三角形的性質、折疊的性質以及平行線的判定與性質等知識，熟練掌握切線的判定和折疊的性質是解題的關鍵．【變式5-2】（2024·山東青島·一模）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC是⊙O的直徑，D為BC的中點，∠ABE=∠C，E在CA的延長線上．(1)EB是⊙O的切線嗎？為什么？(2)若DB=12AC【答案】(1)EB是⊙O的切線，理由見解析；(2)30【分析】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定及性質，圓周角定理，關鍵是掌握切線的判定方法，圓周角定理．（1）由圓周角定理得到∠C+∠CAB=90°，由等腰三角形的性質得到∠EBA+∠OBA=90°，即可證明問題；（2）連接OD，得到△OBD是等邊三角形，得到∠BOD=60°，由D為BC的中點，得到∠COD=∠BOD=60°，由圓周角定理即可求出∠DBC的度數(shù)．【詳解】（1）解：EB是⊙O的切線，理由如下，連接OB，∵AC是圓的直徑，∴∠CBA=90°，∴∠C+∠CAB=90°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB，∴∠C+∠OBA=90°，∵∠EBA=∠C，∴∠EBA+∠OBA=90°，∴半徑OB⊥BE，∴EB是⊙O的切線；（2）解：連接OD，∵BD=12∴BD=OD=OB，∴△OBD等邊三角形，∴∠BOD=60°，∵D為BC的中點，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠DBC=1故答案為：30．【變式5-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC的延長線與過點A的直線相交于點E，且∠ABE=∠EAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)點F是弧AD的中點，點B在弧DF上，過點F作FG⊥AB于點G，是否存在常數(shù)k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)k=2．【分析】（1）由圓周角定理的推論得∠ABD=∠DBC+∠ABC=90°，從而得∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，即可證明結論成立；（2）在AB上取一點M，使得AM=BD，連接AF、FM、FD、FB，證明ΔAFM≌△DFBSAS，得BF=MF，∠AFM=∠DFB，又由圓周角定理及等腰直角三角形的性質得∠AED=90°，【詳解】（1）∵AD是⊙O的直徑,∴∠ABD=∠DBC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ABC，∠DBC=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，∴AD⊥AE，∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解:存在，k=2，理由如下:在AB上取一點M，使得AM=BD，連接AF、FM、FD、FB，∵點F是AD的中點，∴DF=AF，在△AFM和△DFB中，AM=BD∠FDB=∠FAM∴△AFM≌△DFBSAS∴BF=MF，∠AFM=∠DFB，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED=∠AFM+∠DFM=∠DFB+∠DFM=90°，∵BF=MF，GF⊥BM，∴BG=GM=GF，∴BM=2GF，∴AB+BD=AM+2GM+AM=2AG，∴k=2．【點睛】本題主要考查了圓周角定理的推理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，切線的判定，熟練掌握直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．【題型6切線的性質】【方法總結】已知圓的切線時,常連接圓心和切點,得到半徑垂直于切線,通過構造直角三角形解決問題,即“見切線,連半徑,得垂線”.【例6】（2024·湖南·二模）如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，△ABC是等邊三角形，AE是⊙O的切線，D是AC的中點，CD的延長線交AE于點E．(1)求證：AE∥(2)若DE=2，求△ADE的面積．【答案】(1)見解析(2)△ADE的面積為2【分析】（1）由等邊三角形得∠B=∠ACB=60°，因為AC=AC，所以∠AOC=2∠B=120°，結合三角形內角和列式計算∠OAC=∠OCA=30°，再因為AE是⊙O的切線，所以（2）先由圓內角四邊形的對角互補，得∠ADC=120°，再由圓周角定理得出∠DAC=∠DCA=30°，然后證明△AED為直角三角形．運用勾股定理列式代入數(shù)值進行計算，即可作答．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°．連接OA,OC，∵AC則∠AOC=2∠B=120°．∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=∵AE是⊙O的切線，∴∠OAE=90°．∴∠EAC=∠OAE?∠OAC=90°?30°=60°．∴∠EAC=∠ACB．∴AE∥BC．（2）解：∵⊙O為四邊形ABCD的外接圓，∠B=60°．∴∠ADC=180°?60°=120°∵D是AC的中點，∴AD∴∠DAC=∠DCA=30°．∵∠EAC=60°∴∠EAD=30°,∠E=90°∴△AED為直角三角形．∴AD=2DE=4．∴AE=A∴△ADE的面積為12【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，圓周角定理，圓內接四邊形，切線性質，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【變式6-1】（2024·天津濱海新·模擬預測）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AB=2AC．(1)如圖①，點P是弧BC上一點，求∠APC的大?。?2)如圖②，過點C作⊙O的切線MC，過點B作BD⊥MC于點D，BD與⊙O交于點E，若AB=4，求CE的長．【答案】(1)∠APC=30°(2)CE=2【分析】（1）連接OC，由AB為⊙O的直徑，AB=2AC，得到△AOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得到∠AOC=60°，于是得到結論；（2）連接AE，OC與AE相交于F，由MC是⊙O的切線，得到MC⊥OC，求得∠MCO=∠CDB=90°，根據(jù)平行線的判定定理得到BD∥OC，由平行線的性質得到∠AFO=∠AEB，由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，由垂徑定理得到【詳解】（1）解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB=2AC，∴OA=OC=AC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠APC=1（2）解：