系統(tǒng)可觀測性所要研究的是由輸出估計狀態(tài)的可能性教學提綱

系統(tǒng)可觀測性所要研究的是由輸出估計狀態(tài)的可能性。例2-11：考慮如下二階系統(tǒng)：§2-3

線性系統(tǒng)的可觀性其狀態(tài)轉移陣為一、可觀測性的定義已知這個例子說明，通過對系統(tǒng)輸入和輸出信息的測量，經(jīng)過一段時間的積累和加權處理之后，我們可以唯一地確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，也就是說，輸出對系統(tǒng)的初始狀態(tài)有判斷能力。初始狀態(tài)一旦確定，則系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)就完全掌握了。定義2-6：若對狀態(tài)空間中任一非零初態(tài)x(t0)，存在一個有限時刻t1>t0，使得由輸入u[t0,t1]和輸出y[t0,t1]能夠唯一確定初始狀態(tài)x(t0)，則稱動態(tài)方程在t0時刻是可觀測的。反之稱為是不可觀測的。定理2-8：動態(tài)方程在t0時刻可觀測的充分必要條件是存在一個有限時刻t1>t0，使得矩陣的n個列在[t0,t1]上線性無關。二、可觀測性的一般判別準則1）研究分析(＊)式：q個方程，n個未知數(shù)，因此只利用t0

時刻的輸出值無法唯一確定x(t0)。(＊)證明：充分性：2).利用y在［t0,t1］的值，通過加權處理，即在(＊)式兩邊左乘：經(jīng)過整理后有：3).對上式兩邊由t0到t1積分，有對照定理2-1，可知V(t0,t1)非奇異的充分必要條件是C(t)

(t,t0)

在[t0,t1]上列線性無關。證完。注：在討論上述方程的可解性時，不妨令u=0，即只討論從零輸入響應中求初態(tài)。類似于定理2-5，有定理2-10

設狀態(tài)方程(A(t),B(t),C(t))中的矩陣A(t),C(t)是(n

1)次連續(xù)可微的。若存在有限時間t1>t0,使得

則系統(tǒng)在t0

時刻可觀測。

這里，三、可重構性與可到達性概念相仿，可引入可重構的概念。定義2-7與定義2-6在因果性上有區(qū)別：可重構是用過去的信息來判斷現(xiàn)在的狀態(tài)；而可觀測性則是用未來的信息來判斷現(xiàn)在的狀態(tài)。t0t1可觀測t0t1可重構定理2-9：系統(tǒng)(2—1）四、線性系統(tǒng)的對偶性同理可證2)。(2)CeAt的各在[0，)上是復數(shù)域線列線性無關。(1)在[0，)中的每一個

t0,（2-21）可觀測；(3)對于任何t0≥0及任何t>t0，矩陣非奇異；下列提法等價:定理2-11：對于n

維線性不變狀態(tài)方程五、線性時不變系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)（2-21）(5)在復數(shù)域上，矩陣C(sI

A)

1的列是線性無關的；(6)對于A的任一特征值，都有證明：利用對偶原理即可證明。而不可觀測的振型及相應的模式若定理2-11,6的條件不滿足，即存在這說明

是A的屬于特征值

0的特征向量，它在C的核空間中，

0是不可觀的模態(tài)。它對應的特征向量落在C

的核中，輸出y不反映

0對應的運動模式。

例題

§2-4若當型動態(tài)方程

的可控性和可觀測性

一、等價變換的性質(zhì)令，，則經(jīng)等價變換后有其中：定理2-13：在任何等價變換之下，線性時不變系統(tǒng)的可控性和可觀測性不變。注：定理2-13可以推廣到線性時變系統(tǒng)（習題（2-11）。但證完。二、若當動態(tài)方程的可控性和可觀測性判據(jù)典型的若當矩陣：0000-5-55555000000-5-5555500當系統(tǒng)矩陣有重特征值時，常?？梢曰癁槿舢斝危@時A、B、C的形式如下：1.

A有m個相異的特征值

1,

2….,

m；

Ai

：所有與

i對應的若當塊構成的矩陣，共有ri

塊；

Bi：B中與Ai對應的的子塊；

Ci：C中與Ai對應的的子塊；

Aij

：表示Ai的第j

個若當塊；

Bij：Bi中與Aij對應的的子塊；

Cij：Ci

中與Aij對應的的子塊；3.

bLij

：Bij

的最后一行；4.

c1ij

：Cij的第一列。定理2-14

(可控、可觀性判據(jù))

若當型動態(tài)系統(tǒng)(2-26)可控的充分必要條件為下列矩陣行線性無關若當型動態(tài)系統(tǒng)(2-26)可觀測的充分必要條件為下列矩陣列線性無關：證明：令Ai是ni階子塊，只需考慮根據(jù)PBH檢驗法，行滿秩，則肯定有證完。例題考察系統(tǒng)的可控性和可觀測性。代入將后可得行線性無關行線性無關代入將后可得按照上述記號，可知A有二個不同的特征值{1,2}，特征值1對應有三個若當塊，特征值2對應有兩個若當塊，判別可控性的行向量為每組的行向量線性無關，滿足判據(jù)的要求，故系統(tǒng)可控。再來考察這個系統(tǒng)的可觀測性。代入將后可得子矩陣列線性無關代入將后可得由于c121=0該系統(tǒng)不可觀測。推論2-14：（1）若當型動態(tài)方程(A,b)可控的充分必要條件是對應于一個特征值只有一個若當塊，且向量b

中所有與若當塊最后一行相對應的元素不為零；（2）若當型動態(tài)方程(A,c)可觀測的充分必要條件是對應于一個特征值只有一個若當塊，且向量c

中所有與若當塊第一列相對應的元素不為零。利用PBH檢驗法，立即可知這個系統(tǒng)是可控的。例2－15設有兩個若當型狀態(tài)方程（2－29）（2－30）由推論2－14可知，狀態(tài)方程（2－29）可控。方程（2－30）是時變的，雖然A陣具有若當型且對所有的t，b(t)的各分量非零，但并不能應用推論2－14來判斷可控性。事實上，由定理2－4，對任一固定的t0有顯然對所有t>t0，矩陣的各行線性相關，故方程（2－30）在任何t0均不可控。

習題2-14

用若當標準形來做比較直接。首先找出全部運動模式出現(xiàn)在輸出中的條件(充要條件)，將它與系統(tǒng)可觀測的條件比較。為了簡單，只用下例說明：

運動模式有三個：出現(xiàn)在矩陣指數(shù)第一行；對應于最高階若當塊的第一行當C的第一列為非零向量時，對恰當選取的x(0)，y(t)中就包含了三個運動模式。而這一條件比要求C中一、四列線性無關的條件(即可觀測)要弱。因此，最高階若當塊對應的特征向量不在C的核中時,y(t)中就包含了這一若當塊所對應的全部模式。可觀測C中一、四列線性無關C的第一列非零所有模式出現(xiàn)示意圖如下：若A陣每一個特征值只有一個若當塊(即A是循環(huán)矩陣)時，模式全出現(xiàn)就和可觀等價了。關于值域、核與正交補核空間：KerA={x｜x

XAx=0}，這里，KerA是A的不變子空間，即有X

n

維線性空間定義域一個

m×n矩陣A可看作n

維線性空間X到m維線性空間Y的映射Y

m

維線性空間值域若A是n×n

矩陣，可以看作n維空間到自身的線性變換,A是這一線性變換的矩陣表示。2.值域：ImA={y｜y

Y存在x

X，Ax=y}dimImA=rankAImA是A的列向量所張成的空間。可以表示為ImA=span{a1

a2,….,an}