2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練專題35最值模型之費馬點模型解讀與提分精練（全國版）

專題35最值模型之費馬點模型費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學．費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.費馬點模型 1模型2.加權費馬點模型 12 20模型1.費馬點模型結論：如圖1，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小。圖1圖2圖3注意：上述結論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120°）證明：如圖2，以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最?。藭r，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費馬點的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費馬點?！咀钪翟怼績牲c之間，線段最短。例1．（23-24九年級上·廣東江門·階段練習）如圖，在中，，點為內(nèi)部一點，則點到三個頂點之和的最小值是．例2．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，在矩形中，是的中點，是邊上一動點，將沿著翻折，使得點落在點處，矩形內(nèi)有一動點連接則的最小值為．例3．（23-24九年級下·河南周口·階段練習）【問題背景】在已知所在平面內(nèi)求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。ㄈ鐖D1）．這個問題是有著“業(yè)余數(shù)學家之王”美譽的法國律師費馬在1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．解決方法如下：如圖2，把繞A點逆時針旋轉得到（點P，C的對應點分別為點，），連接，則，．∵______，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，即點P是的“費馬點”．任務：（1）橫線處填寫的條件是______；（2）當點P是的“費馬點”時，______；（3）如圖3，△ABC中，，，E，F(xiàn)為BC上的點，且，判斷之間的數(shù)量關系并說明理由；【實際應用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點A，B，C為公園的出入口，，，AC＝4km，工人師傅準備在公園內(nèi)修建一涼亭P，使該涼亭到三個出入口的距離最小，則的最小值是______．例4．（2023春·重慶·九年級專題練習）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學們探索以下問題．(2)如圖3，三個內(nèi)角均小于120°，在外側作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．例5．（2024·江蘇·校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，公里，公里，現(xiàn)在要設立兩個車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．模型2.加權費馬點模型結論：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權費馬點）證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。例1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點A旋轉，連接，，，．

(1)求證：；(2)當?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．例2．（2024·重慶·二模）已知中，點和點是平面內(nèi)兩點，連接，和，．(1)如圖1，若，，，求的長度；(2)如圖2，連接和，點為中點，點為中點，連接和，若，求證：；(3)若，，當取得最小值，且取得最大值時，直接寫出的面積．例3．（23-24九年級上·重慶·階段練習）在等邊中，點D是邊上一點，連接，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，則，，連接交于點F，交于點H．(1)如圖1，當點D為中點時，且，求的面積；(2)如圖2，猜想線段、、之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若，在內(nèi)部有一個動點P，連接、、，直接寫出的最小值．1．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，點M是矩形內(nèi)一點，且，，N為邊上一點，連接、、，則的最小值為______．2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點）上任意一點，，（點N在AB的左側），當AM+BM+CM的最小值為時，正方形的邊長為______．3.（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習）法國數(shù)學家費馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小．人們稱這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為．4．（2023·四川成都·二模）如圖，矩形中，，點E是的中點，點F是邊上一動點．將沿著翻折，使得點B落在點處，若點P是矩形內(nèi)一動點，連接，則的最小值為．?5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，P為平面內(nèi)的一點，連接，若，則的最小值是（

）A． B．36 C． D．6．（23-24九年級上·重慶渝中·自主招生）如圖，E是邊長為8的正方形的邊上的動點，于點F，G在上，且，P是平面內(nèi)一動點，H是上的動點，則的最小值為．7．（2024·湖北·模擬預測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想如可看做是圖一中的長，可看做是的長．材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學問題．費馬點即在中有一點使得的值最?。▽W家費馬給出的證明方法如下：將繞點向外旋轉得到，并連接易得是等邊三角形、，則，則，所以的值最小為．請結合以上兩材料求出的最小值

8．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壭？计谥校┚C合與實踐：【問題情境】學完等邊三角形后，老師在課堂上提出了一個問題并證明了：如圖1，等邊與等邊共一個頂點時，無論怎么擺放可通過恒有．于是提出了如下問題．

【問題證明】（1）如圖2，M是等腰內(nèi)一點，N是等邊內(nèi)一點，且滿足．求證：是等邊三角形．【遷移應用】（2）在（1）的基礎上，知點M是等腰內(nèi)一點，當點M到三角形3個頂點的距離之和，即最小時，我們把M點稱為等腰的“紫荊點”．若M是等腰的紫荊點，求．完成以下推導過程：（①填理由；②填線段；③與④填關系式）解：如圖3，令，分別是等腰，等邊內(nèi)一點，且滿足∴∵是等邊三角形∴，由①可知：∴的最小值的最小值=②∴如圖4，當D、N、M、C在一條直線上時．M是等腰的紫荊點∴③；④∴

【拓展提升】（3）甲同學發(fā)現(xiàn)等腰“紫荊點”的作法：如圖5，已知，在AB的左側作等邊．連接，與的角平分線交于點M，點M就是“紫荊點”，甲同學發(fā)現(xiàn)是否正確？請說明理由．9．（2024·陜西西安·二模）問題提出(1)如圖1，在等邊內(nèi)部有一點P，，，，則______．問題解決(2)如圖2，五邊形ABCDE是某公園局部平面圖，，，，，，．現(xiàn)需要在該五邊形內(nèi)部修建一條人工小溪，并建造一座觀賞橋梁PQ和三條觀光路AP，CQ，DQ，且，．已知觀賞橋梁修建費用每米2a元和觀光路修建費用每米a元．是否存在點P，使得修建橋梁和觀光路總費用最低？若存在，請用含有a的代數(shù)式表示出總費用最小值；若不存在，請說明理由．10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）（1）如圖①，在中，，，P為內(nèi)一點，求的最小值．為了求的最小值，小明是這樣做的：將繞點A順時針旋轉60°得到，則，連接．此時小明發(fā)現(xiàn)，且，則為等邊三角形，于是．試著根據(jù)小明的思路，求出的最小值．（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地，其中米，米，點E在邊上且米，F(xiàn)為邊上任意一點，點A關于的對稱點為．牧場主欲在四邊形的四條邊上裝上柵欄飼養(yǎng)土雞，并將B點、C點分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形內(nèi)一點P處打一口井，并修建地下管道，，．請問：是否存在一點P，使的值最?。咳绻嬖?，請求出的最小值及此時的長；如果不存在，請說明理由．11．（23-24八年級下·陜西·階段練習）課本再現(xiàn)：（1）把兩個全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則的度數(shù)為________；

圖1圖2

圖3遷移應用：（2）如圖2，在正方形中，E是邊上一點（不與點C、D重合），連接，將繞點E順時針旋轉至，作射線交的延長線于點G，求證：；

拓展延伸：（3）如圖3，在菱形中，，E是邊上一點（不與點C、D重合），連接，將繞點E順時針旋轉至，作射線交的延長線于點G．

①線段與的數(shù)量關系是________②連接，點P為內(nèi)一點，連接．若，則的最小值為________．12．（23-24九年級上·重慶江津·階段練習）如圖，在中，，，于點D．點G是射線AD上一點，過G作分別交AB、AC于點E、F：

(1)如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當點G與點D重合時，求證：；(2)如圖②所示，當點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關系并說明理由；(3)當點G在線段AD上時，請直接寫出的最小值．參考公式：13．（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置．托里拆利成功地解決了費馬的問題．后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點．問題解決：（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點B順時針旋轉60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動點E，在點E運動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．14.（23-24九年級上·湖北襄陽·自主招生）（1）如圖在內(nèi)部有一點，是正三角形，連接、、，將線段繞順時針反向旋轉至，①求證：；②調(diào)整P點的位置，使最小，求此時和的大小.（2）如圖在直角三角形中，，，在其內(nèi)部任取一點，求的最小值.

15．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）16．（2024·廣東·一模）如圖，和均為等腰直角三角形，．現(xiàn)將繞點C旋轉．（1）如圖1，若三點共線，，求點B到直線的距離；（2）如圖2，連接，點F為線段的中點，連接，求證：；（3）如圖3，若點G在線段上，且，在內(nèi)部有一點O，請直接寫出的最小值．

專題35最值模型之費馬點模型費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學．費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.費馬點模型 1模型2.加權費馬點模型 12 20模型1.費馬點模型結論：如圖1，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小。圖1圖2圖3注意：上述結論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120°）證明：如圖2，以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最?。藭r，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費馬點的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費馬點?！咀钪翟怼績牲c之間，線段最短。例1．（23-24九年級上·廣東江門·階段練習）如圖，在中，，點為內(nèi)部一點，則點到三個頂點之和的最小值是．【答案】【分析】將繞著點A順時針旋轉，得到，連接，過點C作，交的延長線于N，由旋轉的性質可得，，，，，易得是等邊三角形，可得，進而得到，當點H、E、P、C共線時，有最小值，再求出和的長度，由勾股定理可求解．【詳解】解：將繞著點A順時針旋轉，得到，連接，過點C作，交的延長線于N，∴，，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴當點H、E、P、C共線時，有最小值．∵，，∴，∴，∴．在中，，即點P到三個頂點之和的最小值是．故答案為：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，構造旋轉圖形是本題的關鍵．例2．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，在矩形中，是的中點，是邊上一動點，將沿著翻折，使得點落在點處，矩形內(nèi)有一動點連接則的最小值為．【答案】【分析】將繞點D逆時針旋轉得到，連接，從而將轉化到，當點E、、P、、在同一條直線上時，=取得最小值．【詳解】如圖，將繞點D逆時針旋轉得到，連接，則有：、是等邊三角形，=由折疊的性質可知，的運動軌跡是以E為圓心，EB長為半徑的圓（如圖所示），故當E、、P、、在同一直線上時取最小值；是的中點，、是等邊三角形，DC=4，，，的最小值為：==；故答案為．【點睛】本題考查了圖形中求最短距離的問題，解題的關鍵是把所求線段轉化到同一直線中求解．例3．（23-24九年級下·河南周口·階段練習）【問題背景】在已知所在平面內(nèi)求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。ㄈ鐖D1）．這個問題是有著“業(yè)余數(shù)學家之王”美譽的法國律師費馬在1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．解決方法如下：如圖2，把繞A點逆時針旋轉得到（點P，C的對應點分別為點，），連接，則，．∵______，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，即點P是的“費馬點”．任務：（1）橫線處填寫的條件是______；（2）當點P是的“費馬點”時，______；（3）如圖3，△ABC中，，，E，F(xiàn)為BC上的點，且，判斷之間的數(shù)量關系并說明理由；【實際應用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點A，B，C為公園的出入口，，，AC＝4km，工人師傅準備在公園內(nèi)修建一涼亭P，使該涼亭到三個出入口的距離最小，則的最小值是______．【答案】問題背景：（1）見解析；（2）；（3），理由見解析；實際應用；【分析】問題背景：（1）先證明為等邊三角形，得到，則，由此可得當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，即點P是的“費馬點”．（2）由旋轉的性質可得，，進而利用三角形內(nèi)角和定理得到，再由等邊三角形的性質得到，則，，即可利用周角的定義得到；（3）將繞點逆時針旋轉，得到，連接，利用旋轉的性質和等邊對等角，得到，為直角三角形，進而得到，證明，得到，即可得出結論；實際應用：如圖所示，將繞點A逆時針旋轉得到，連接，由問題背景（1）可得當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，最小值為，過點作交延長線于D，證明是等腰直角三角形，得到，則，利用勾股定理得到，則得最小值為．【詳解】解：問題背景：（1）如圖2，把繞A點逆時針旋轉得到（點P，C的對應點分別為點，），連接，則，．∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，即點P是的“費馬點”．（2）如圖2所示，設交于O，由（1）可得當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，由旋轉的性質可得，，又∵，∴∵為等邊三角形，∴，∴，，∴，∴，故答案為：；

（3），理由如下：∵，，∴，如圖所示，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，則：，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴；實際應用：如圖所示，將繞點A逆時針旋轉得到，連接，由問題背景（1）可得當B，P，，四點在同一直線上時，的值最小，最小值為，過點作交延長線于D，由旋轉的性質可得，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴得最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定等等，通過旋轉構造全等三角形是解題的關鍵．例4．（2023春·重慶·九年級專題練習）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學們探索以下問題．(2)如圖3，三個內(nèi)角均小于120°，在外側作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)旋轉性質得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時針旋轉60°，得到△AB′P′，連結PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點之間線段最短得出點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，點P在CB′上即可；（3）將△APB逆時針旋轉60°，得到△AP′B′，連結BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，利用30°直角三角形性質得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時針旋轉60°得到△CE′B′，連結EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點C，點E，點E′，點B′四點共線時，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．【詳解】（1）解：連結PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；（2）證明：將△APB逆時針旋轉60°，得到△AB′P′，連結PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，∴點P在CB′上，∴過的費馬點．（3）解：將△APB逆時針旋轉60°，得到△AP′B′，連結BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：將△BCE逆時針旋轉60°得到△CE′B′，連結EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點C，點E，點E′，點B′四點共線時，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點睛】本題考查圖形旋轉性質，等邊三角形判定與性質，勾股定理，直角三角形判定與性質，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質，30°直角三角形性質，掌握圖形旋轉性質，等邊三角形判定與性質，勾股定理，直角三角形判定與性質，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質，30°直角三角形性質是解題關鍵．例5．（2024·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，公里，公里，現(xiàn)在要設立兩個車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．【答案】15+10【分析】將△AEB繞A順時針旋轉60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點D逆時針旋轉60°得到△DF'M，連接CM、FM、FF'，如圖2，此時EH、EF、FM共線，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋轉的性質和等邊三角形的性質，相加即可得出結論．【詳解】解：如圖1，將△AEB繞A順時針旋轉60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點D逆時針旋轉60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF=FF'，F(xiàn)C=F'M，∴當H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案為：（15+10）．【點睛】本題考查了矩形的性質和最短路徑問題，旋轉的性質和等邊三角形的性質，確定最小值時點E和F的位置是本題的關鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結論．模型2.加權費馬點模型結論：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權費馬點）證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。例1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點A旋轉，連接，，，．

(1)求證：；(2)當?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質，先證，利用相似三角形的性質準備條件，再證即可；（2）①先確定當在矩形外，且三點共線時，的長度最大，并畫出圖形，在中求出的長，最利用的性質求解即可；②將繞著點A順時針旋轉,且使，連接，同理將繞著點A順時針旋轉,得到,且使，連接，過P作于S，過點L作垂直的延長線于點Q，確定，當C、P、K、L四點共線時，的長最小，再根據(jù)直角三角形的性質和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當在矩形外，且三點共線時，的長度最大，如圖所示：

此時，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點A順時針旋轉,且使，連接，同理將繞著點A順時針旋轉,得到,且使，連接，由旋轉可得：，∴，∴，∴,過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當C、P、K、L四點共線時，的長最小，由題意，，，，，過點L作垂直的延長線于點Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關的知識與聯(lián)系，適當添加輔助線是解答的關鍵.例2．（2024·重慶·二模）已知中，點和點是平面內(nèi)兩點，連接，和，．(1)如圖1，若，，，求的長度；(2)如圖2，連接和，點為中點，點為中點，連接和，若，求證：；(3)若，，當取得最小值，且取得最大值時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點作交于點，證明即可求解；（2）取的中點，連接，根據(jù)中位線的性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，再證明，得出，進而即可得證；（3）將繞點順時針轉得到，將繞點順時針旋轉得到，連接，根據(jù)，當四點共線時，最小，進而確定的位置，根據(jù)點在為圓心，為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關系，得出當取得最大值時，在的延長線上，連接，過點作于點，進而解直角三角形，求得的長，根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作交于點，∵中，∴，，∵，，∴，．又∵，∴∴∴；（2）解：如圖所示，取的中點，連接，又∵是，，∴，∵∴，∵，為的中點，∴，在中，∴∴∴即又∵即，∴∴∵∴∴（3）解：∵中，，∴是等邊三角形，如圖所示，將繞點順時針轉得到，將繞點順時針旋轉得到，連接，∴，，，則是等邊三角形，是等邊三角形，∵取的中點，則，∵是的中點，，，∴∴當四點共線時，最小此時如圖所示，∴∵，∴，∴是直角三角形，∴是直角三角形，∴∵∴∴設，則，，在中，∵是等邊三角形，∴，在中，∴∴解得：∴，取的中點，連接，∵∴點在為圓心，為半徑的圓上運動，∴，∴當取得最大值時，在的延長線上，連接，過點作于點，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形中位線的性質，旋轉的性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質與判定，加權費馬點問題，點與圓的位置關系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關鍵．例3．（23-24九年級上·重慶·階段練習）在等邊中，點D是邊上一點，連接，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，則，，連接交于點F，交于點H．(1)如圖1，當點D為中點時，且，求的面積；(2)如圖2，猜想線段、、之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若，在內(nèi)部有一個動點P，連接、、，直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）過點E作，交的延長線于點M，求得，，，利用計算即可．（2）在上取點M使，連接．則由可證明，從而有，；再由證明，得，則由線段的和差關系可得結論；（3）過點C作于點C，使得，過點C作于點C，使得，證明，得到，根據(jù)勾股定理，得，從而得到，根據(jù)兩點之間線段最短，得到，得到當共線時，取得最小值，過點A作，交的延長線于點Q，過點A作于點R，則四邊形是矩形，利用等邊三角形的性質，勾股定理解答即可．【詳解】（1）解：過點E作，交的延長線于點M，∵等邊，∴，，∵點D為中點,∴，，∵，，，∴，由勾股定理得，解得；∵，，∴，∴．（2）解：．理由如下：在上取點M使，連接．∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，∴．（3）解：過點C作于點C，使得，過點C作于點C，使得，根據(jù)題意，得，，∴，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，∵，∴當共線時，取得最小值，∵，∴，∴，過點A作，交的延長線于點Q，過點A作于點R，則四邊形是矩形，∴，∵等邊，∴，，∴，∴，故的最小值為．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，三角形相似的判定和性質，含30度直角三角形的性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握相應的知識是解題的關鍵．本題有一定的難度，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．1．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，點M是矩形內(nèi)一點，且，，N為邊上一點，連接、、，則的最小值為______．【答案】【分析】將繞點A逆時針旋轉得到，連接、，然后即可得為等邊三角形，同理為等邊三角形，接著證明當、、三條線段在同一直線上，的值最小，即的值最小，過點作于點E，即最小值為：，問題隨之得解．【詳解】如圖所示，將繞點A逆時針旋轉得到，連接、，根據(jù)旋轉的性質有：，，，為等邊三角形，同理為等邊三角形，，，，當線段、、三條線段在同一直線上，且該直線與垂直時，的值最小，即的值最小，如下圖，過點作于點E，交于點F，最小值為：，在矩形中，于點E，即可知四邊形是矩形，，即，為等邊三角形，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，矩形的性質，等邊三角形的判定定理與性質，勾股定理，垂線段最短等知識，作出合理的輔助線是解答本題的關鍵．2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點）上任意一點，，（點N在AB的左側），當AM+BM+CM的最小值為時，正方形的邊長為______．【答案】【分析】首先通過SAS判定，得出，因為,,得出是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=，作輔助線，過點E作交CB的延長線于F，由題意求出，設正方形的邊長為x，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為．【詳解】∵為正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴為等邊三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值為．∴EN+MN+CM的最小值為即CE=．過點E作交CB的延長線于F，可得．設正方形的邊長為x，則BF=，．在，∵，∴解得（負值舍去）．∴正方形的邊長為．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角三角的性質，熟練運用勾股定理是解題的關鍵．3.（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習）法國數(shù)學家費馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小．人們稱這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為．【答案】7+2【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質，即可求解．【詳解】解：如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴即PB2＝12∴∴故答案為：【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關鍵是利用相似三角形的判定和性質．4．（2023·四川成都·二模）如圖，矩形中，，點E是的中點，點F是邊上一動點．將沿著翻折，使得點B落在點處，若點P是矩形內(nèi)一動點，連接，則的最小值為．?【答案】/【分析】本題考查了圖形的折疊與旋轉，兩點之間線段最短的應用，勾股定理等知識點，將繞點C順時針旋轉得到，連接，連接，由等腰三角形得出，再由折疊得出點的軌跡在以點E為圓心，為半徑的圓周上，所以的最小值為，即的最小值為，經(jīng)計算得出答案即可，熟練掌握圖形的旋轉及圖形的折疊對稱的性質是解決此題的關鍵．【詳解】將繞點C順時針旋轉得到，連接，連接，則三點共線，，∴，∴，∵點E是的中點，∴，∵，∴，由折疊成，∴，∴點在以點E為圓心，為半徑的圓上，∴，∵兩點間線段最短，∴，即，∴，∴，則的最小值為，故答案為：．5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，P為平面內(nèi)的一點，連接，若，則的最小值是（

）A． B．36 C． D．【答案】A【分析】分別以、為邊在下方構造等邊三角形、，分別取、中點，連接，先證得，可得，由中位線可得，由等邊三角形性質可得，當三點共線時即可求得的最小值，最終求出的最小值．【詳解】分別以、為邊在下方構造等邊三角形、，分別取、中點，連接，如圖所示，∵取、中點，∴，∵等邊三角形，∴，∵等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當三點共線時最小，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故選：A．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、中位線的性質、勾股定理等知識點，解題的關鍵是利用手拉手模型構造輔助線．6．（23-24九年級上·重慶渝中·自主招生）如圖，E是邊長為8的正方形的邊上的動點，于點F，G在上，且，P是平面內(nèi)一動點，H是上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】連接，以為斜邊構造等腰直角三角形，則以O為圓心，以為半徑的圓中的一個銳角圓周角為，過點O作于點Q，過點O作交的延長線于點P，，利用旋轉解答即可．【詳解】解：連接，根據(jù)題意，得，∵，，∴∴，以為斜邊構造等腰直角三角形，則以O為圓心，以為半徑的圓中的一個銳角圓周角為，根據(jù)，得對角互補，∴G的運動軌跡為以O為圓心，以為半徑的圓的紅色圓弧，過點O作于點Q，過點O作交的延長線于點P，則四邊形是正方形，且，∴，，取，連接，∵，，∴，且，∴，∴，∴，將四邊形繞點A順時針旋轉，則，如圖作，∴，∴，∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，旋轉的性質，三角形相似的判定和性質，三角形不等式的應用，熟練掌握旋轉的性質，三角形相似的判定和性質，三角形不等式的應用是解題的關鍵．7．（2024·湖北·模擬預測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想如可看做是圖一中的長，可看做是的長．材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學問題．費馬點即在中有一點使得的值最?。▽W家費馬給出的證明方法如下：將繞點向外旋轉得到，并連接易得是等邊三角形、，則，則，所以的值最小為．請結合以上兩材料求出的最小值

【答案】【分析】本題考查坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，將原式轉化為，構造直角三角形，，，以為坐標原點構造直角坐標系，設為，進而得到，，，將繞點點逆時針旋轉得到，并做，根據(jù)旋轉的性質，含30度角的性質，求出的長，根據(jù)，進行求解即可．【詳解】解：原式可看做下圖中的，其中為，則，，將繞點點逆時針旋轉得到，并做，，，，，，為等邊三角形，，，，又，∵，∴，∴的最小值為；的最小值為．

8．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壭？计谥校┚C合與實踐：【問題情境】學完等邊三角形后，老師在課堂上提出了一個問題并證明了：如圖1，等邊與等邊共一個頂點時，無論怎么擺放可通過恒有．于是提出了如下問題．

【問題證明】（1）如圖2，M是等腰內(nèi)一點，N是等邊內(nèi)一點，且滿足．求證：是等邊三角形．【遷移應用】（2）在（1）的基礎上，知點M是等腰內(nèi)一點，當點M到三角形3個頂點的距離之和，即最小時，我們把M點稱為等腰的“紫荊點”．若M是等腰的紫荊點，求．完成以下推導過程：（①填理由；②填線段；③與④填關系式）解：如圖3，令，分別是等腰，等邊內(nèi)一點，且滿足∴∵是等邊三角形∴，由①可知：∴的最小值的最小值=②∴如圖4，當D、N、M、C在一條直線上時．M是等腰的紫荊點∴③；④∴

【拓展提升】（3）甲同學發(fā)現(xiàn)等腰“紫荊點”的作法：如圖5，已知，在AB的左側作等邊．連接，與的角平分線交于點M，點M就是“紫荊點”，甲同學發(fā)現(xiàn)是否正確？請說明理由．【答案】（1）見詳解（2）①兩點之間，線段最短，②③④（3）正確，理由見詳解【分析】（1）因為，所以，，因為是等邊三角形，則，故，即可證明是等邊三角形；（2）依題意，由的最小值的最小值，知道①填寫的內(nèi)容是兩點之間，線段最短，即②填寫的是；根據(jù)，又因為以及鄰補角性質，故，因為三角形外角性質，知，結合推導前后內(nèi)容，即可作答；（3）連接，在上取點N，使，根據(jù)是等腰的角平分線，得，結合，所以，證明，得，，證明是等邊三角形，，，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵是等邊三角形，則，∴∵，∴是等邊三角形；（2）解：如圖3，令，分別是等腰，等邊內(nèi)一點，且滿足∴∵是等邊三角形∴，由兩點之間，線段最短可知：∴的最小值的最小值∴如圖4，當D、N、M、C在一條直線上時．M是等腰的紫荊點∴；∴

（3）正確，證明如下：如圖：連接，在上取點N，使，連接，∵是等腰三角形∴∵是等腰的角平分線，∴∵，∴∴，∵是等邊三角形，是等腰三角形∴∴∵∴∴，，∴，∴是等邊三角形，則，即，結合“紫荊點”的定義，則甲同學發(fā)現(xiàn)是正確的．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、以及等腰三角形的性質和等邊三角形的性質與判定，綜合性較強，熟練掌握作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．9．（2024·陜西西安·二模）問題提出(1)如圖1，在等邊內(nèi)部有一點P，，，，則______．問題解決(2)如圖2，五邊形ABCDE是某公園局部平面圖，，，，，，．現(xiàn)需要在該五邊形內(nèi)部修建一條人工小溪，并建造一座觀賞橋梁PQ和三條觀光路AP，CQ，DQ，且，．已知觀賞橋梁修建費用每米2a元和觀光路修建費用每米a元．是否存在點P，使得修建橋梁和觀光路總費用最低？若存在，請用含有a的代數(shù)式表示出總費用最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)150°；(2)最小的總費用為元【分析】（1）、將繞點B順時針旋轉60°得，則可得為等邊三角形，由勾股定理逆定理可得：，即可求解；（2）、連接BE，BP，EP，將繞點B順時針旋轉60°得到，連接由（1）方法可得最小，即需最小，所以當A，P，，四點共線時，由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖3，將繞點B順時針旋轉60°得，則，，為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）如圖4，連接BE，BP，EP，修橋梁費用為100a，修觀光路費用為．∵，，∴四邊形BCQP是平行四邊形，四邊形PQDE是平行四邊形，∴，，∴要使最小，則需最?。畬⒗@點B順時針旋轉60°得到，連接．∴是等邊三角形，∴，，∴，當A，P，，四點共線時，最小，∴的最小值為，如圖5，延長，過點A作，垂足為點H，∵，，∴．∵，∴，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理，得，∴最小的總費用為元．【點睛】本題考查了三角形旋轉，等邊三角形判定和性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識，利用三角形旋轉性質作出輔助三角形是解題的關鍵．10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）（1）如圖①，在中，，，P為內(nèi)一點，求的最小值．為了求的最小值，小明是這樣做的：將繞點A順時針旋轉60°得到，則，連接．此時小明發(fā)現(xiàn)，且，則為等邊三角形，于是．試著根據(jù)小明的思路，求出的最小值．（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地，其中米，米，點E在邊上且米，F(xiàn)為邊上任意一點，點A關于的對稱點為．牧場主欲在四邊形的四條邊上裝上柵欄飼養(yǎng)土雞，并將B點、C點分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形內(nèi)一點P處打一口井，并修建地下管道，，．請問：是否存在一點P，使的值最??？如果存在，請求出的最小值及此時的長；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，的最小值為300，的長為米【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性質，特殊角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質．（1）連接，由旋轉的性質得到，，，再由勾股定理得即可解答．（2）連接，作點A關于的對稱點，則點的軌跡為弧，將繞點B順時針旋轉60°得到，連接，，，．由旋轉的性質得，，，，當E，，P，，C五點共線時，取得最小值，過點作于點H，交于點M，證得為等邊三角形，再由特殊角的三角函數(shù)得到，米，則，再根據(jù)勾股定理得的值，設交于點N，過點B作于點Q，易證，即可解答．【詳解】解：（1）如圖①，連接．根據(jù)小明的思路可知，，，則．∵，，在中，，當C，P，，E四點共線時取得最小值，的最小值為．（2）存在．∵點A，關于對稱，米，點在以點E為圓心，50米為半徑的圓弧上．如圖②，連接，作點A關于的對稱點，則點的軌跡為?。桑?）同理可得，將繞點B順時針旋轉60°得到，連接，，，．由旋轉的性質得，，，為等邊三角形，，∵，米．當E，，P，，C五點共線時，取得最小值，最小值為，此時點為與弧的交點．過點作于點H，交于點M．∵，為等邊三角形，米．∵，，，（米），在中，（米）．易得米，米，則（米），（米），在中，（米），（米），的最小值為300．設交于點N，過點B作于點Q．，，，即，米，米，米，，，，，米，易知當取得最小值時，，在中，（米）．答：的最小值為300，此時的長為米．11．（23-24八年級下·陜西·階段練習）課本再現(xiàn)：（1）把兩個全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則的度數(shù)為________；

圖1圖2

圖3遷移應用：（2）如圖2，在正方形中，E是邊上一點（不與點C、D重合），連接，將繞點E順時針旋轉至，作射線交的延長線于點G，求證：；

拓展延伸：（3）如圖3，在菱形中，，E是邊上一點（不與點C、D重合），連接，將繞點E順時針旋轉至，作射線交的延長線于點G．

①線段與的數(shù)量關系是________②連接，點P為內(nèi)一點，連接．若，則的最小值為________．【答案】（1）90；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）先證明，可得，從而得到，由此可得答案；（2）過點F作交延長線于點H，結合正方形的性質和旋轉的性質證明，可得，從而得到，進而得到是等腰直角三角形，即可證明結論；（3）①過點F作，與的延長線交于點H，可證得，從而得到，，，進而得到，，繼而得到；②把繞點B逆時針旋轉，點P的對應點為點N，點A的對應點為點M，過點M作的垂線交的延長線于點H，得為等邊三角形，求出,當點四點共線時，的值最小，即的長，可得的最小值為的長，根據(jù)勾股定理可求解【詳解】解：（1）∵矩形和矩形是全等矩形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：90；（2）如圖，過點F作交延長線于點H，∵四邊形是正方形，∴，∴，由旋轉的性質得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴；（3）①過點F作，與的延長線交于點H，∵四邊形是菱形，∴，由旋轉得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴，故答案為：；②如圖，把繞點B逆時針旋轉，點P的對應點為點N，點A的對應點為點M，過點M作的垂線交的延長線于點H，則，∴是等邊三角形，∴∴，當點四點共線時，的值最小，最小值為線段的長，∵四邊形是菱形，且，∴，，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質、矩形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、等腰直角三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形、矩形、菱形的性質以及旋轉的性質，證明三角形全等是解題的關鍵12．（23-24九年級上·重慶江津·階段練習）如圖，在中，，，于點D．點G是射線AD上一點，過G作分別交AB、AC于點E、F：

(1)如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當點G與點D重合時，求證：；(2)如圖②所示，當點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關系并說明理由；(3)當點G在線段AD上時，請直接寫出的最小值．參考公式：【答案】(1)證明見詳解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質和全等三角形的性質即可求證；（2）過點作上交延長線于點，由等腰直角三角形可得，，由““可證，可得，可得結論；（3）將繞點順時針旋轉得到△，連接，，過點作，交的延長線于點，由旋轉的性質可得，則當點，點，點，點共線時，的值最小，最小值為的長，由角所對直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解．【詳解】（1）解：由題：在中，，，于點，,則也是上的中點，即是的垂直平分線，，，，，，，．（2），理由如下：如圖1，過點作交延長線于點，，

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如圖2，將繞點順時針旋轉得到△，連接，，過點作，交的延長線于點，，，，，，是等邊三角形，，，當點，點，點，點共線時，的值最小，最小值為的長，，，，，，，的最小值為：．【點睛】考查綜合運用旋轉的知識作輔助線證明的能力，用旋轉的知識解決幾何最值問題，對于與等腰直角三角形有關的證明題往往要進行圖形的旋轉，把要證明的要素集中到一個熟悉的圖形中進行，最值問題常常要通過軸對稱和旋轉把要求的線段之和或差轉化為俱有固定端點的折線，然后據(jù)兩點之間線段最短來解決．13．（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置．托里拆利成功地解決了費馬的問題．后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點．問題解決：（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點B順時針旋轉60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動點E，在點E運動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）兩點之間，線段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2【分析】（1）連接AE，由兩點之間線段最短即可求解；（2）在Rt△ABC中先求出AC，將△BPC繞點C順時針旋轉60°得到△CDE，連接PD、AE，由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）在△ADE內(nèi)部取一點P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點D順時針旋轉60°得到△FGD，根據(jù)旋轉的性質和兩點之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等，再根據(jù)圓的特點、菱形與勾股定理即可求出GE，故可求解．【詳解】（1）連接AE，如圖，由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值為線段AE的長故答案為：兩點之間線段最短；AE；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=如圖2，將△BPC繞點C順時針旋轉60°得到△CDE，連接PD、AE，可得△CPD為等邊三角形，∠BCE=60°∴PD=PC由旋轉可得DE=PB，CE=BC=4∴PA+PB+PC=PA+DE+PD由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90°∴在Rt△ACE中，AE=即PA+PB+PC的最小值為2；（3）存在在ADE內(nèi)部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，如圖3，在△ADE內(nèi)部取一點P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點D順時針旋轉60°得到△FGD，連接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均為等邊三角形∴PD=PF由旋轉可得PA=GF∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，兩點之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等∵∠BEC=90°∴點E在以BC為直徑的O上，如圖3則OB=OC==2如圖3，連接OG交O于點H，連接CG交AD于點K，連接AC，則當點E與點H重合時，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值為線段GH的長∵菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4∴△ABC、△ACD均為等邊三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°∴四邊形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30°∴CG、AD互相垂直平分∴DK=AD=2∴根據(jù)勾股定理得CK=∴