2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專(zhuān)題25相似模型之母子型（共邊共角）模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專(zhuān)題25相似模型之母子型（共邊共角）模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專(zhuān)題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“母子型”模型（共邊共角模型） 1 6【知識(shí)儲(chǔ)備】母子型相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子型”模型（共邊共角模型）“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似。圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.證明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.證明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB.同理可證：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA4）共邊模型條件：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；證明：∵對(duì)角線平分，∴∠ABD=∠CBC，∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴例1．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線，，，，則長(zhǎng)為（

）A． B．3 C．9 D．例2．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見(jiàn)，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形稱(chēng)為“黃金三角形”．(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形為“黃金三角形”，，，為的平分線．求證：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．(3)如圖3中，，，平分交于F，取的中點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M．，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

例3．（22-23八年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，已知，，則矩形的周長(zhǎng)為

例4．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問(wèn)題．射影定理，又稱(chēng)“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．例5．（2023·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，連接，，使，且．(1)請(qǐng)判定的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的面積．

例6．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在銳角三角形中，．以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，若平分．(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的值．例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P是的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角．（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡點(diǎn)，且．①請(qǐng)找出圖中的一對(duì)相似三角形，并給出證明；②若的面積為，求的面積．例8．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．(1)初步探究：如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用：如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升：如圖4，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．1．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線分別交，于點(diǎn)．以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連結(jié)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．2．（2024·河北張家口·一模）如圖，點(diǎn)D在的邊上，添加一個(gè)條件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列說(shuō)法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件．證明：∵，．∴（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件．證明：∵,．∴（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題 B．往琛的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題C．天翼的做法添加的條件沒(méi)有問(wèn)題 D．往琛的做法添加的條件有問(wèn)題3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在線段上(不與點(diǎn)，點(diǎn)重合)，，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)是．

5．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則．

6．（23-24九年級(jí)下·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在中，．以點(diǎn)A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)D．分別以點(diǎn)D，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)E，則的值為．7．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）如圖，點(diǎn)、在線段上，且是等腰直角的底邊．當(dāng)時(shí)（與、與分別為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），．

8．（2024·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離為_(kāi)_____．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．9．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．10．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

11．（2024·湖北黃石·三模）已知菱形中，點(diǎn)E、G分別為邊、上一點(diǎn)，連接、．若，，，則的長(zhǎng)

12．（2024·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時(shí)，試求CD的值．13．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求證：．15．（2024·四川南充·二模）在矩形中，，在邊上截取，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，證明．(3)如圖2，若，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，求的最小值及矩形的面積．16．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱(chēng)三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“2倍角三角形”，小康通過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對(duì)的邊分別為，若，則．下面是小康對(duì)“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過(guò)程：證法1：如圖1，作的平分線，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，……任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過(guò)作輔助線，構(gòu)造出__________三角形來(lái)加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請(qǐng)補(bǔ)全證法2剩余的部分．17．（23-24九年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，．(1)求證：；(2)求的值．

18．（2023·廣東深圳·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角中，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，則有下列命題：①；②；③；請(qǐng)你從中選擇一個(gè)命題證明其真假，并寫(xiě)出證明過(guò)程；【類(lèi)比遷移】（2）如圖②所示，在等腰中，，，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，若，求的值；【拓展應(yīng)用】（3）在等腰中，，，，點(diǎn)D，O分別為射線，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用a，b表示）．19．（2024·遼寧大連·三模）【課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開(kāi)放探索”為主題，開(kāi)展了一節(jié)“綜合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課．課堂上，王老師給出了這樣一個(gè)圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維．【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：“如圖1，已知中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，連接．此時(shí)我們假設(shè)這個(gè)幾何圖形滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系．”【提出問(wèn)題】擅長(zhǎng)幾何的小胖同學(xué)經(jīng)過(guò)思索后，為題目增加如下條件，請(qǐng)你幫他作答．（1）“若，，再給出和的長(zhǎng)度，可以求出的長(zhǎng)度．”為了簡(jiǎn)化計(jì)算，王老師提出令，，，求的長(zhǎng)（結(jié)果無(wú)需化簡(jiǎn)）；（2）在小胖的啟發(fā)下，同學(xué)們紛紛開(kāi)始積極地進(jìn)行討論．后來(lái)，小明與他的小組更改了題目的部分信息，令點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，將條件“”改為了“”，其他條件不變，想要探究邊的關(guān)系．王老師根據(jù)他們關(guān)于題目的修改，提出問(wèn)題，請(qǐng)你解答．【拓展探索】“如圖2，已知中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，，若，探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個(gè)比值被稱(chēng)為黃金比．在（1）的條件下試證明：；拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

專(zhuān)題25相似模型之母子型（共邊共角）模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專(zhuān)題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“母子型”模型（共邊共角模型） 1 11【知識(shí)儲(chǔ)備】母子型相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子型”模型（共邊共角模型）“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似。圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.證明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.證明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB.同理可證：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA4）共邊模型條件：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；證明：∵對(duì)角線平分，∴∠ABD=∠CBC，∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴例1．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線，，，，則長(zhǎng)為（

）A． B．3 C．9 D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形，得到，繼而得到，結(jié)合得到，結(jié)合證明，列出比例式解答即可．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故，故選A．例2．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見(jiàn)，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形稱(chēng)為“黃金三角形”．

(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形為“黃金三角形”，，，為的平分線．求證：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．(3)如圖3中，，，平分交于F，取的中點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M．，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)黃金分割的含義可得：，即，再解方程即可；（2）證明，推出，推出，可得結(jié)論．（3）如圖，連接，同理可得：，，可得，證明，，，可得是的黃金分割點(diǎn)，且，可得，設(shè)，再解方程可得答案.【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，設(shè)，則，∴，即，∴，∴，解得：（負(fù)根舍去），∴；（2）證明：∵，，∴，又∵平分，∴，∴，∴，，即，又∵，，∴，∴，∴，∴D點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．（3）如圖，連接，同理可得：，，∴，∵為的中點(diǎn)，，∴，∴，

∴，，∴，同理可得是的黃金分割點(diǎn)，且，∴，設(shè)，∴，整理得：，解得：（負(fù)根舍去），∴.【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的含義，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法,熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.例3．（22-23八年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，已知，，則矩形的周長(zhǎng)為

【答案】/【分析】首先根據(jù)題意求出，，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得，然后證明，得，求得，然后利用勾股定理求出和的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，，，，即解得（負(fù)值舍去）∵∴，∴矩形的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形判定與性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．例4．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問(wèn)題．射影定理，又稱(chēng)“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(2)見(jiàn)解析(3)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計(jì)算．（1）根據(jù)“兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”即可解答；（2）②根據(jù)“兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證明即可得證；③根據(jù)“兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證明；（3）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用證明的射影定理得，即可求出，由此求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，故答案為：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）證明：②，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴∴；③，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴∴；（3）解：如圖，根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．例5．（2023·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，連接，，使，且．(1)請(qǐng)判定的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的面積．

【答案】(1)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角得出，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，（2）解：∵是等邊三角形，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，∵，∴，又∵，，∴，解得：（負(fù)值舍去），如圖所示，過(guò)點(diǎn)，作于點(diǎn)，

∴，∴，∴的面積為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在銳角三角形中，．以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，若平分．(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意得：，由等邊對(duì)等角得出，從而得出，再由角平分線的定義得出，即可證明；（2）由題意得出，由相似三角形的性質(zhì)得出，從而即可得解．【詳解】（1）證明：由題意得：，，，平分，，；（2）解：，，，，．例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P是的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角．（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡點(diǎn)，且．①請(qǐng)找出圖中的一對(duì)相似三角形，并給出證明；②若的面積為，求的面積．【答案】（1）30°，；（2）①，證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意理清布洛卡點(diǎn)、布洛卡角的概念，利用概念來(lái)解答；（2）①找，證明過(guò)程利用等腰直角三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過(guò)找出三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等來(lái)證明；②把三角形面積看作三個(gè)三角形面積之和來(lái)表示，除所求三角形面積之外的兩個(gè)，其中一個(gè)根據(jù)條件可以利用勾股定理求出面積，另一個(gè)可以利用所求三角形面積來(lái)表示，建立等式即可求解．【詳解】解：（1）由題意知：，為等邊三角形，，AB=BC=AC,，，，，，同理可證得出：，，故答案是：30°，．（2）①證明：∵是等腰直角三角形∴，即，∵，∴，又∵，∴.（3）∵是等腰直角三角形，∴，∴.∵，∴，∴，，，∴.∵，∴.在中，∵，，由勾股定理得，，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了新概念問(wèn)題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)、勾股定理，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)閱讀材料，弄明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答．例8．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．(1)初步探究：如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用：如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升：如圖4，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由，，利用兩個(gè)三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)，由（1）中相似，代值求解得到，從而根據(jù)與的相似比為求解即可得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖1所示，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示，利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可得到相關(guān)角度與線段長(zhǎng)，再由三角形相似的判定與性質(zhì)得到，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴設(shè)，由（1）知，∴，∴，∴與的相似比為，∴，∵∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作，如圖1所示：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴設(shè)，∵，∴，，在中，，則由勾股定理可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示：∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，，又∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線分別交，于點(diǎn)．以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連結(jié)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，由此即可判斷選項(xiàng)B；先假設(shè)可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，由此即可判斷選項(xiàng)C；先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：由題意可知，垂直平分，，，則選項(xiàng)A正確；，，，，，，，，，，則選項(xiàng)B正確；假設(shè)，，又，，，與矛盾，則假設(shè)不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，，在和中，，，，即，，則選項(xiàng)D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2024·河北張家口·一模）如圖，點(diǎn)D在的邊上，添加一個(gè)條件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列說(shuō)法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件．證明：∵，．∴（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件．證明：∵,．∴（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題 B．往琛的做法證明過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題C．天翼的做法添加的條件沒(méi)有問(wèn)題 D．往琛的做法添加的條件有問(wèn)題【答案】B【分析】根據(jù)題意已知，故添加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角為或者添加一組對(duì)應(yīng)角相等，即可求解．本題考查了相似三角形的判定，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，，添加一組對(duì)應(yīng)角相等，可以使得，故天翼的做法以及過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題，往琛的做法添加的條件有問(wèn)題，應(yīng)為，證明過(guò)程中用到兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等，故B選項(xiàng)符合題意，故選：B．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在線段上(不與點(diǎn)，點(diǎn)重合)，，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接，交于，作平分，交于，由矩形性質(zhì)得，，進(jìn)而得，，得到，，即得，得到，由平分，可得，得到，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，交于，作平分，交于，∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得，，故選：．4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)是．

【答案】/【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，最后由線段和差即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，

∵五邊形是正五邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．5．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則．

【答案】【分析】連接，過(guò)E作于F，設(shè)，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，，，進(jìn)而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得到；根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，進(jìn)而得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：連接，過(guò)E作于F，設(shè)，，

∵，為中點(diǎn)，∴，又，∴，，，∴，，∵，∴，則，又，∴，∴，，∴，則；∵是的一條角平分線，∴，又，∴，∴∴，則，∴，即，解得（負(fù)值已舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識(shí)，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．6．（23-24九年級(jí)下·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在中，．以點(diǎn)A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)D．分別以點(diǎn)D，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)E，則的值為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)；連接，過(guò)作交射線于，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質(zhì)得，由等腰三角形的判定及性質(zhì)得，即可求解；掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，能根據(jù)題意構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)作交射線于，，由作法得：，，在和中，()，，，，，，，，，，；故答案：．7．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）如圖，點(diǎn)、在線段上，且是等腰直角的底邊．當(dāng)時(shí)（與、與分別為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），．

【答案】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再由三角形外角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，則．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，且為底邊，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等等，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2024·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離為_(kāi)_____．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】

5

2【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性作BC邊上的高AM，再根據(jù)三角函數(shù)值求出AM的長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短即可得到點(diǎn)P到A的最短距離即為AM長(zhǎng)；，根據(jù)等腰三角形的三線合一性即可得到BN的長(zhǎng)，利用線段的和差求出PN的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)值求出AN的長(zhǎng)，利于勾股定理即可得到AP長(zhǎng)和AC長(zhǎng)，再證△APQ相似于△ACP，即可得到AQ長(zhǎng)；【詳解】解如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=MC=BC=12，又∵tanC=∴tanB=∴AM=BMtanB=12×=5，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，可得點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離為5；∴AB=AC==13，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC，在Rt△APN中，PN=PC-CN=1，又AN=5，∴AP2=PN2+AN2=26，在△APQ與△ACP中，∵∠APQ=∠C，∠PAQ=∠CAP，∴△APQ∽△ACP，∴∴AP2=AQAC，∴AQ=2故答案為：5；2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形、直角三角形、銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)和判定，綜合性較強(qiáng)，熟練相似三角形的性質(zhì)和判定以及銳角三角函數(shù)的意義以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴由作圖可得是的角平分線，∴∵∴∵∴∴∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，作角平分線，熟練掌握基本作圖以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出各角及各邊之間的關(guān)系，然后由各角之間的關(guān)系及相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定依次證明即可．【詳解】解：①∵正五邊形，∴，，∴，∴，∴平分；正確；②∵，，∴，∴，∵，∴，即，故②錯(cuò)誤；③∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；正確；④∵，，∴，∴，∴，即，正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形的性質(zhì)及相似三角形、菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．（2024·湖北黃石·三模）已知菱形中，點(diǎn)E、G分別為邊、上一點(diǎn)，連接、．若，，，則的長(zhǎng)

【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)、相交于F，先根據(jù)求得，，從而求得，再證明，，得到，即可求得，，然后證明，得到，即可求得，，即可由求解．【詳解】解：延長(zhǎng)、相交于F，如圖，

∵，∴，∴，∵菱形，∴，，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：或（舍去），∴，∴，故答案為∶．12．（2024·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時(shí)，試求CD的值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）6．【分析】（1）先證明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可證明∠A＝∠DPB，從而可證明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PC＝PD＝CD，等量代換得到，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵△PCD為等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC?BD．∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵.13．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AE=9【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，結(jié)合，得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可得出AE的值．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴，，，，∵，∴，∴．（2）∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得出，是解題關(guān)鍵．14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）證明：連接交于點(diǎn)，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問(wèn)題第的關(guān)鍵．15．（2024·四川南充·二模）在矩形中，，在邊上截取，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，證明．(3)如圖2，若，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，求的最小值及矩形的面積．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)的最小值為，此時(shí)矩形的面積為【分析】（1）證明，即可證明；（2）根據(jù)可得，結(jié)合，且，可得，即有，證明，即有，即，，根據(jù)，可得，問(wèn)題隨之得證；（3）在中，，根據(jù)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有最小值，最小值為，在的條件下，結(jié)合勾股定理即可作答．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）證明：∵，，∴，∴在中，，在（1）中已經(jīng)證明，且，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，，∵，∴，∴，即；（3）解：在中，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有最小值，最小值為∵，，∴，即，∵在中，，，∴，解得，（負(fù)值舍去），∴，，∴，即的最小值為：，此時(shí)矩形的面積為：，即：的最小值為，此時(shí)矩形的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，問(wèn)題的難點(diǎn)在（3），得出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有最小值，最小值為，是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱(chēng)三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“2倍角三角形”，小康通過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對(duì)的邊分別為，若，則．下面是小康對(duì)“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過(guò)程：證法1：如圖1，作的平分線，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，……任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過(guò)作輔助線，構(gòu)造出__________三角形來(lái)加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請(qǐng)補(bǔ)全證法2剩余的部分．【答案】(1)相似(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由題意知，是通過(guò)構(gòu)造相似三角形，然后作答即可；（2）如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，則，．由，可得．證明，則，即，整理可得．【詳解】（1）解：由題意知，構(gòu)造相似三角形，故答案為：相似；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，

，．，．，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．（23-24九年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，．(1)求證：；(2)求的值．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）先用周角定義和三角形的內(nèi)角和定理求得，，結(jié)合已知得到，進(jìn)而利用相似三角形的判定可證得結(jié)論；（2）先利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，進(jìn)而求得即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，，∵，∴，∴；

（2）解：∵在中，，∴，，即是等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、周角定義等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．18．（2023·廣東深圳·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角中，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，則有下列命題：①；②；③；請(qǐng)你從中選擇一個(gè)命題證明其真假，并寫(xiě)出證明過(guò)程；【類(lèi)比遷移】（2）如圖②所示，在等腰中，，，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，若，求的值；【拓展應(yīng)用】（3）在等腰中，，，，點(diǎn)D，O分別為射線，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用a，b表示）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）或或．【分析】（1）選擇①，由等腰直角，，，再由，得，則，即可由相似三角形的判定得出結(jié)論；（2）先證明，得，所以，，再證明，得，設(shè)，則，，代入得：，解得：，即可求解；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）選擇①，是真命題．證明：∵為等腰直角，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴．②③都是真命題．同理可證②，③．（2）如圖②，∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴，又∵，∴