2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專(zhuān)題17全等三角形模型之奔馳模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專(zhuān)題17全等三角形模型之奔馳模型對(duì)于奔馳模型我們主要是可以通過(guò)一些幾何變化，把其中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，以達(dá)到聚合條件，推出我們想要的結(jié)論的目的。對(duì)于幾何變化，目前學(xué)過(guò)的主要有：軸對(duì)稱(chēng)，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對(duì)于“奔馳模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。對(duì)于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。

今天的這主要講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類(lèi)型。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)） 2模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)） 4模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型） 6 9模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）此模型通常會(huì)和旋轉(zhuǎn)一起來(lái)考查，還會(huì)綜合勾股定理的知識(shí)來(lái)解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因?yàn)樾D(zhuǎn)的特征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個(gè)相等線段，都符合共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足（?？紨?shù)據(jù)：BP=3，AP=4，CP=5），結(jié)論：∠APB=150°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）常用結(jié)論等邊三角形的面積公式：（選填題非常適用）證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。注意：多線段共端點(diǎn)?？夹D(zhuǎn)。例1．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為．

例2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．例3.（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接．若，，則的長(zhǎng)是．例4．（2024·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．例5．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段BO以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論，①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；②點(diǎn)與的距離為5；③；④四邊形面積；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，結(jié)論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。例1．（23-24九年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖，等腰直角，點(diǎn)P在內(nèi)，，，則PB的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．5例2．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形外取一點(diǎn)E，連接，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)P，若，則下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)C到直線的距離為；④其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，中，，，．點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，則的面積是．

例4．（2024·河北·?？家荒＃┤鐖D1，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．【分析問(wèn)題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到了（如圖2），然后連結(jié)PP'．【解決問(wèn)題】請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出圖2中的度數(shù)；【比類(lèi)問(wèn)題】如圖3，若在正六邊形內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，．（1）的度數(shù)為；（2）直接寫(xiě)出正六邊形的邊長(zhǎng)為．模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型）模型1）條件：如圖1，點(diǎn)P在等邊三角形ABC外，若，結(jié)論：∠CPA=30°。模型2）條件：如圖2，點(diǎn)P在等腰直角三角形ABC外，若，結(jié)論：∠APC=45°。（注意：上述兩個(gè)模型結(jié)論和條件互換也成立）圖1圖2雞爪就是模型本質(zhì)就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有意思。連完輔助線往往會(huì)產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP，連接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。例1．（2024九年級(jí)上·重慶·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是等邊三角形外一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．例2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點(diǎn)P為等邊三角形外一點(diǎn)，連接，，若，，，則的長(zhǎng)是．

例3．（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例4．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求CD的長(zhǎng)．”經(jīng)過(guò)小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接DE．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．D為外一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于D，M為AD上一點(diǎn)，連接BM，N為BM上一點(diǎn)，若，，，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)______．

1．（2024九年級(jí)·重慶·期中）如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，使得，那么以，，的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為．2．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．解：如圖①，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即．請(qǐng)你補(bǔ)充完整解答過(guò)程．【應(yīng)用問(wèn)題】如圖②，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，若，，，則．【拓展問(wèn)題】如圖③，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，在直線上方（包括直線）有一點(diǎn)，，，連接，則線段的最大值為．3．（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·期末）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，求的度數(shù)．張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造，連接，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決．(1)請(qǐng)你計(jì)算圖1中的度數(shù)；(2)參考張明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，求的度數(shù)．4．（23-24九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）（1）已知如圖1，在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在外部，滿足，且．求證：．（2）已知如圖2，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，，，求的度數(shù)．

5．（2023·四川綿陽(yáng)·一模）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，(1)若點(diǎn)在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)在正方形外，如果，如圖2，且，求的長(zhǎng)．（用表示）6．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）閱讀材料題：浙教版九上作業(yè)本①第18頁(yè)有這樣一個(gè)題目：已知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長(zhǎng).小明看到題目后，思考了許久，仍沒(méi)有思路，就去問(wèn)數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本題.請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長(zhǎng)為.【方法遷移】：已知：如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的長(zhǎng).7．（2024·河南·?？家荒＃?）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種常用的方法．如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，求的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______；在中，易證，且的度數(shù)為_(kāi)____，綜上可得的度數(shù)為_(kāi)_；（2）類(lèi)比遷移:如圖，點(diǎn)是等腰內(nèi)的一點(diǎn)，．求的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形中，，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．6．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來(lái)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請(qǐng)借助第一問(wèn)的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．7．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）（問(wèn)題提出）如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來(lái)解決問(wèn)題．【嘗試解決】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．，又，，，為三角形，的度數(shù)為．【類(lèi)比探究】如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，，，求的度數(shù)．【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，，，求的度數(shù)．

8．（23-24九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，若把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長(zhǎng)．(3)求點(diǎn)劃過(guò)的路徑長(zhǎng)；(4)當(dāng)時(shí)，如果是由旋轉(zhuǎn)所得，求掃過(guò)的區(qū)域的面積．9．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在等腰中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，設(shè).（1）如圖1，若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)，易證為等邊三角形，則，；（2）如圖2，若，則，；（3）如圖3，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.10．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）【問(wèn)題背景】：如圖1，在等邊中，點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為，度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的值為．

11．（23-24九年級(jí)·遼寧鞍山·期中）問(wèn)題情境，利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫(huà)好，，，要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段，探究圖形中的結(jié)論．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，某小組將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、，如圖1所示．如圖2，小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，；如圖3，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每改變一個(gè)度數(shù)時(shí)，的長(zhǎng)也隨之改變．……問(wèn)題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你解答．如圖1，在中，，，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過(guò)程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為，嘗試畫(huà)圖，并提出問(wèn)題請(qǐng)你解答．如圖4，中，，，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角，連接、，求的度數(shù)．12．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，則，然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù)，就可以解決這道問(wèn)題．下面是小明的部分解答過(guò)程：解：將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的解答過(guò)程．（2）【類(lèi)比遷移】如圖②，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，則______度．（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，在直線上方有一點(diǎn)P，，，連接，則線段的最大值為_(kāi)_____．13．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【幾何感知】如圖（1），在中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，連接PB、PC得到有公共邊的兩個(gè)和，求證：．【類(lèi)比遷移】如圖（2），在中，點(diǎn)D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點(diǎn)，線段AD、BE、CF交于點(diǎn)P，若，，則．【拓展遷移】如圖（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn)，且，則線段AP＝．14．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問(wèn)題：如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．即能求PB＝請(qǐng)參考他們的想法，完成下面問(wèn)題：【學(xué)以致用】如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的長(zhǎng)；【能力拓展】如圖3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底邊AB上的兩點(diǎn)且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的長(zhǎng)．15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問(wèn)題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．16．（2024山東?？级＃静僮靼l(fā)現(xiàn)】如圖①，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)按要求畫(huà)圖：將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′（2）在（1）所畫(huà)圖形中，∠AB′B=．【問(wèn)題解決】如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．小明同學(xué)通過(guò)觀察、分析、思考，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：想法一：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找線段PA、PC之間數(shù)量關(guān)系；想法二：將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找線段PA、PC之間的數(shù)量關(guān)系；請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程．（求解一種方法即可）【靈活運(yùn)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k為常數(shù)），直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．17．（23-24遼寧九年級(jí)上期中）【問(wèn)題初探】（1）如圖1，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，，試求的大小.李明同學(xué)的思路是：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再連接.將求分成求和的和即可.請(qǐng)你按照李明同學(xué)給出的旋轉(zhuǎn)的思路，求的大?。弧締?wèn)題解決】（2）如圖2，在正方形中，，分別為，邊上的點(diǎn)，滿足，若，，求的面積；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，在四邊形，，，，求的長(zhǎng).18．（23-24九年級(jí)上·重慶江北·期末）【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形外一點(diǎn)，，則．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明；【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)P在外部，且，若的面積為5.5，求；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)E在四邊形內(nèi)部，且，，，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

專(zhuān)題17全等三角形模型之奔馳模型對(duì)于奔馳模型我們主要是可以通過(guò)一些幾何變化，把其中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，以達(dá)到聚合條件，推出我們想要的結(jié)論的目的。對(duì)于幾何變化，目前學(xué)過(guò)的主要有：軸對(duì)稱(chēng)，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對(duì)于“奔馳模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。對(duì)于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。

今天的這主要講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類(lèi)型。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)） 2模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)） 7模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型） 13 18模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）此模型通常會(huì)和旋轉(zhuǎn)一起來(lái)考查，還會(huì)綜合勾股定理的知識(shí)來(lái)解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因?yàn)樾D(zhuǎn)的特征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個(gè)相等線段，都符合共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足（?？紨?shù)據(jù)：BP=3，AP=4，CP=5），結(jié)論：∠APB=150°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）常用結(jié)論等邊三角形的面積公式：（選填題非常適用）證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。注意：多線段共端點(diǎn)?？夹D(zhuǎn)。例1．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為．

【答案】150【分析】將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．首先證明，推出，，所以為等邊三角形，得，可得，，，，即可得到為直角三角形，則，所以；由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．

∴，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴為直角三角形，∴，∴；故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．例2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．例3.（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接．若，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意證明，即可求解．【詳解】解：，都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，．故答案為：．例4．（2024·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．例5．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段BO以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論，①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；②點(diǎn)與的距離為5；③；④四邊形面積；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤【答案】C【分析】根據(jù)正三角形性質(zhì)，得，；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可判斷②，通過(guò)證明，即可判斷①；根據(jù)勾股定理逆定理，得，結(jié)合等邊三角形，可判斷③；根據(jù)等腰三角形三線合一和勾股定理的性質(zhì)，可計(jì)算得，從而判斷④；繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性質(zhì)計(jì)算，可判斷⑤，即可得到答案．【詳解】解：連接，如下圖：∵正∴，∵線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴為等邊三角形∴，即②錯(cuò)誤；∵，∴和中∴∴，可以由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即①正確；∵，∴∴∵為等邊三角形∴∴，即③正確；∵∴過(guò)點(diǎn)B做，交于點(diǎn)N∵為等邊三角形∴∴∴∴∴四邊形面積，即④正確；∵正∴繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：∵，，，∴為等邊三角形∴過(guò)點(diǎn)A做，交于點(diǎn)G，如下圖：∵為等邊三角形∴∴∴∴∵，，∴∴∴∴∴，即⑤正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、旋轉(zhuǎn)、全等三角形、勾股定理逆定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)、等邊三角形、等腰三角形三線合一、勾股定理及其逆定理的性質(zhì)，從而完成求解．模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，結(jié)論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。例1．（23-24九年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖，等腰直角，點(diǎn)P在內(nèi)，，，則PB的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．5【答案】A【分析】先利用等腰直角，得到，再證明，接著把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則可判斷為等腰直角三角形，從而，然后計(jì)算，從而利用勾股定理計(jì)算出AE即可．【詳解】解∶∵等腰直角，∴，∵，∴，如下圖，把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，故選∶A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形外取一點(diǎn)E，連接，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)P，若，則下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)C到直線的距離為；④其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用正方形性質(zhì)即可證明①，利用全等三角形性質(zhì)即可推出②，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用勾股定理求出，，再利用解直角三角形即可判斷③，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到正方形面積，即可判斷④．【詳解】解：四邊形為正方形，，，，，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，，，，，，，，，，，，故③錯(cuò)誤；，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方形面積，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用．例3．（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，中，，，．點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，則的面積是．

【答案】【分析】取中點(diǎn)O，連接，，由即可得到，再由，可得當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可推出，則是等邊三角形，求得的面積，根據(jù)可得．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，連接，，

∵，∴，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，有最小值，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義與特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠綜合應(yīng)用各種性質(zhì)解題．例4．（2024·河北·校考一模）如圖1，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．【分析問(wèn)題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到了（如圖2），然后連結(jié)PP'．【解決問(wèn)題】請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出圖2中的度數(shù)；【比類(lèi)問(wèn)題】如圖3，若在正六邊形內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，．（1）的度數(shù)為；（2）直接寫(xiě)出正六邊形的邊長(zhǎng)為．【答案】（1）；（2）；．【分析】解決問(wèn)題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，然后證明得到，則；（1）仿照【分析】中的思路，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到了，連接PP'．如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，從而得出為等腰三角形，，，由，得到，可以求得，由勾股定理的逆定理就可以求出，從而得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)，作于點(diǎn)G，在中，，就可以得出，，，則，在中，根據(jù)勾股定理得．【詳解】解決問(wèn)題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，∴，，∵，，，∴，∴，∴；（1）仿照【分析】中的思路，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到了，連接PP'．如圖5，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，作于G，∴．∵，∴，∴∴，在中，∵，，，∴，，，∴∴是直角三角形，∴．∴．故答案為：（2）延長(zhǎng)，作于點(diǎn)G，如圖6，在中，，∴，∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型）模型1）條件：如圖1，點(diǎn)P在等邊三角形ABC外，若，結(jié)論：∠CPA=30°。模型2）條件：如圖2，點(diǎn)P在等腰直角三角形ABC外，若，結(jié)論：∠APC=45°。（注意：上述兩個(gè)模型結(jié)論和條件互換也成立）圖1圖2雞爪就是模型本質(zhì)就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有意思。連完輔助線往往會(huì)產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP，連接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。例1．（2024九年級(jí)上·重慶·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是等邊三角形外一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可知，，；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連，首先證明為等邊三角形，可確定，由勾股定理的逆定理可證明為直角三角形，且，然后計(jì)算的度數(shù)即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，可將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連，如下圖，∴，，，，∴為等邊三角形，∴，在中，，，，∴，∴為直角三角形，且，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、四邊形內(nèi)角和等知識(shí)，正確作出輔助線，構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵．例2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點(diǎn)P為等邊三角形外一點(diǎn)，連接，，若，，，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，可證是等邊三角形，利用證明，得出，在中，利用勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖所示：

則，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，又，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合，三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，故選D．例4．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求CD的長(zhǎng)．”經(jīng)過(guò)小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接DE．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．D為外一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于D，M為AD上一點(diǎn)，連接BM，N為BM上一點(diǎn)，若，，，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)______．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）3【分析】本題主要考查了三角形的綜合，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．（1）題意補(bǔ)全圖形即可；（2）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作于F，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求得，推出，據(jù)此求解即可；（3）延長(zhǎng)構(gòu)造等邊三角形，然后利用兩組三角形相似求出，最后利用勾股定理求解．【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖，；（2）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，，∵，，∴，∴，∴，，由勾股定理得，，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)到，使，連接，如圖，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，過(guò)作于，過(guò)作于，，，，，∵，∴，，，，，，∴．故答案為：3．1．（2024九年級(jí)·重慶·期中）如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，使得，那么以，，的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為．【答案】5：3：4【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用圖形的旋轉(zhuǎn)添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，可證得是等邊三角形，從而得到，，所以就是以，，的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形，進(jìn)一步求出的內(nèi)角度數(shù)，即得答案．【詳解】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則，，，是等邊三角形，，，就是以，，的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形，，，，，，，，以，，的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為．故答案為：．2．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．解：如圖①，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即．請(qǐng)你補(bǔ)充完整解答過(guò)程．【應(yīng)用問(wèn)題】如圖②，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，若，，，則．【拓展問(wèn)題】如圖③，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，在直線上方（包括直線）有一點(diǎn)，，，連接，則線段的最大值為．【答案】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：，應(yīng)用問(wèn)題：，拓展問(wèn)題：【分析】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題∶由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解；應(yīng)用問(wèn)題：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，由勾股定理得，同理可證是直角三角形，即可求解；拓展問(wèn)題：將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接、，同理可證，由全等三角形的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題∶證明：補(bǔ)充如下：如圖，在和中，()，，，，，是直角三角形，，，；應(yīng)用問(wèn)題：解：如圖，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，()，，，，，是直角三角形，，，；故答案：；拓展問(wèn)題：解：如圖，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接、，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，()，，，，，的最大值為，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·期末）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，求的度數(shù)．張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造，連接，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決．(1)請(qǐng)你計(jì)算圖1中的度數(shù)；(2)參考張明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABP≌△ACP′，求證△APP′為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠APB=150°；（2）將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知是等腰直角三角形，求證∠APP′=45°，用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．【詳解】（1）（1）如圖2，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴；∴；（2）如圖3，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵.4．（23-24九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）（1）已知如圖1，在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在外部，滿足，且．求證：．（2）已知如圖2，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，，，求的度數(shù)．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）150°【分析】（1）先證∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS可證△ABD≌△CBE；（2）把線段PC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處，連結(jié)AQ．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△PCQ是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根據(jù)勾股定理逆定理可得∠AQP=90°，進(jìn)一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD=∠CBE．又∵AB=CB，BD=BE∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）如圖，把線段PC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處，連結(jié)AQ．由旋轉(zhuǎn)知識(shí)可得：∠PCQ=60°，CP=CQ=3，∴△PCQ是等邊三角形，∴CP=CQ=PQ=3．又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．在△BCP與△ACQ中

∴△BCP≌△ACQ（SAS）∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．又∵PA=5，∴．∴∠AQP=90°又∵△PCQ是等邊三角形，∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn)，勾股定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形判定和性質(zhì)求出邊和角的關(guān)系是關(guān)鍵.5．（2023·四川綿陽(yáng)·一模）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，(1)若點(diǎn)在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)在正方形外，如果，如圖2，且，求的長(zhǎng)．（用表示）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．(1)把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理逆定理求出證出，即可得出結(jié)果．(2)把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖1，

∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖2，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，在中，，∴∴．6．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）閱讀材料題：浙教版九上作業(yè)本①第18頁(yè)有這樣一個(gè)題目：已知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長(zhǎng).小明看到題目后，思考了許久，仍沒(méi)有思路，就去問(wèn)數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本題.請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長(zhǎng)為.【方法遷移】：已知：如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的長(zhǎng).【答案】（1）6；（2）90°；（3）【分析】如圖一，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾股定理求出PB即可；[方法遷移]：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB，連接PP'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PAP'是等邊三角形，利用勾股定理逆定理可證∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，問(wèn)題得解；[能力拓展]：將△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD'，連接ED'，易證△CDE≌△CD'E，可得DE=D'E，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，過(guò)點(diǎn)D'作D'F⊥AB于F，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出BF和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，問(wèn)題得解.【詳解】解：如圖一，將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，連接PP'，∴PA=P'A=4，PC=P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B=∠APC=135°，∴∠PP'A=45°，∴PP'，∠PP'B=135°-45°=90°，∴；[方法遷移]：如圖二，將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P'AB，連接PP'，∴PA=P'A=2，PC=P'B=1，∠PAP'=60°，∴△PAP'是等邊三角形，∴PP'=PA=2，∵，即，∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，∴∠APB=60°+30°=90°；[能力拓展]：如圖三，將△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD'，連接ED'，∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ECD'=60°，又∵CE=CE，∴△CDE≌△CD'E（SAS），∴DE=D'E，又∵∠A=∠ABC=，∴∠A=∠CBD'=30°，∴∠EBD'=60°，過(guò)點(diǎn)D'作D'F⊥AB于F，∴BF=，D'F=，∴EF=2，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理及其逆定理等，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用材料中的方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解.7．（2024·河南·?？家荒＃?）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種常用的方法．如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，求的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______；在中，易證，且的度數(shù)為_(kāi)____，綜上可得的度數(shù)為_(kāi)_；（2）類(lèi)比遷移:如圖，點(diǎn)是等腰內(nèi)的一點(diǎn)，．求的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形中，，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．【答案】（1）2，30°，90°；（2）90°；（3）2．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，繼而可得答案．（2）如圖2，把△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如圖3，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，根據(jù)勾股定理求CG的長(zhǎng)，就可以得BD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）把△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C，連接PP′（如圖1）．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形；∴P′A=PB=3、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（3）2=4=PP′2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案為2；30°；90°；（2）如圖2，把△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=2，PB=AP'=2，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（2）2+（2）2=2=AP2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如圖3，∵AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，過(guò)A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴CG===2，∴BD=CG=2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．6．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來(lái)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請(qǐng)借助第一問(wèn)的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．【答案】（1），直角，；（2）；（3）．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，即可利用勾股定理得到，然后證明，利用勾股定理得到即可得到；（2）將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，則是等邊三角形，可得，，然后證明，可得，則；（3）將△APD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，證明，利用勾股定理求出，然后證明，即可得到．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，∴，，，∴，∴，是直角三角形，∴，故答案為：，直角；（2）如圖所示，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴；（3）如圖所示，將△APD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，∵PD＝PC，∠CPD＝90°，∴∠PDC=∠PCD=45°，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解．7．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）（問(wèn)題提出）如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來(lái)解決問(wèn)題．【嘗試解決】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．，又，，，為三角形，的度數(shù)為．【類(lèi)比探究】如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，，，求的度數(shù)．【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，，，求的度數(shù)．

【答案】【嘗試解決】直角，；【類(lèi)比探究】；【聯(lián)想拓展】【分析】嘗試解決：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，為等邊三角形，進(jìn)而得到，，再利用勾股定理的逆定理，證明為直角三角形，得到，即可求出的度數(shù)；類(lèi)比探究：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，為等腰直角三角形，進(jìn)而得到，，再利用勾股定理的逆定理，證明為直角三角形，得到，即可求出的度數(shù)；聯(lián)想拓展：如圖，以為直角邊構(gòu)造直角三角形，使得，，先證明，得出，進(jìn)而證明，得到，然后利用特殊角的三角函數(shù)值，分別求出，，再利用勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】嘗試解決：解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，為等邊三角形，，，，，，，為直角三角形，，，的度數(shù)為，故答案為：直角，；類(lèi)比探究：解：如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，為直角三角形，，；

聯(lián)想拓展：解：如圖，以為直角邊構(gòu)造直角三角形，使得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，是直角三角形，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．8．（23-24九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，若把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長(zhǎng)．(3)求點(diǎn)劃過(guò)的路徑長(zhǎng)；(4)當(dāng)時(shí)，如果是由旋轉(zhuǎn)所得，求掃過(guò)的區(qū)域的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，再由是等邊三角形，利用等邊三角形性質(zhì)，結(jié)合三角形全等的判定得到，進(jìn)而有，，再利用勾股定理的逆定理得到為直角三角形，且，即可得到答案；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，從而確定；（3）根據(jù)題意，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)劃過(guò)的路徑是，利用弧長(zhǎng)公式代值求解即可得到答案；（4）由（1）的證明過(guò)程，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到掃過(guò)的區(qū)域的面積，根據(jù)扇形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，在中，，，，則，由勾股定理的逆定理可知為直角三角形，且，；（2）解：把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則是等邊三角形，；（3）解：如圖所示：把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)劃過(guò)的路徑是，則長(zhǎng)度為；（4）解：由（1）的證明過(guò)程可知，，點(diǎn)劃過(guò)的路徑是，點(diǎn)劃過(guò)的路徑是，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，掃過(guò)的區(qū)域的面積．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)綜合，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式等知識(shí)，理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)幾何判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在等腰中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，設(shè).（1）如圖1，若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)，易證為等邊三角形，則，；（2）如圖2，若，則，；（3）如圖3，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，只要證明△DAP為等邊三角形，即可解決問(wèn)題；（2）將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，只要證明△DAP為等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題；（3）將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，只要證明△BPA≌△BPD（SSS），即可解決問(wèn)題；【詳解】解：（1）如圖1中，由旋轉(zhuǎn)不變性可知：，，，∵在等腰中，，，∴，CP為三線合一的線∴，∴在中，，，∴為等腰直角三角形∴，∴，∴△APD是等邊三角形，∴∠ADP=∠APD=60°，∵∠CDP=∠CPD=45°，∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，∴∠APB=360°-105°-105°=150°，∴α=150°，β=105°，故答案為150°，105°．（2）將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴為等腰直角三角形∴，∵，，∴，，∴△ADP是等腰直角三角形，∴∠APD=90°，∠ADP=45°，∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，∴∠APB=360°-135°-90°=135°，∴α=135°，β=90°，故答案為135°，90°．（3）將△PBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，連結(jié)DP，延長(zhǎng)PB交AD與S，由旋轉(zhuǎn)不變性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴為等腰直角三角形∴，∵，∴PA=PD，∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，∴∠ADC+∠CPS=180°，∴∠PSD+∠PCD=180°，∴∠PSD=90°，∴PS⊥AD，∵PA=PD，∴△ADP是等腰直角三角形，∴SA=SD，∴△ABP是等腰直角三角形，∴BA=BD，∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，∴△BPA≌△BPD（SSS），∴∠APB=∠BPD，∴∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，即：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，屬于中考?jí)狠S題．10．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）【問(wèn)題背景】：如圖1，在等邊中，點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為，度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的值為．

【答案】【問(wèn)題背景】：，60；【嘗試應(yīng)用】：；【拓展創(chuàng)新】：或；【分析】問(wèn)題背景：是等邊三角形，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出；嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，推出，再證明C，D，T共線，可得結(jié)論；

拓展創(chuàng)新：分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則.再求出，，可得結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.再求出，，可得結(jié)論.【詳解】問(wèn)題背景：由題意可知，是等邊三角形，，；故答案為：，；嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接.

，,共線，.拓展創(chuàng)新：①當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，設(shè)，則.

，，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，，，，，.②當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接，設(shè)則過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

同法可證，，，綜上所述，的值為或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.11．（23-24九年級(jí)·遼寧鞍山·期中）問(wèn)題情境，利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫(huà)好，，，要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段，探究圖形中的結(jié)論．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，某小組將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、，如圖1所示．如圖2，小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，；如圖3，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每改變一個(gè)度數(shù)時(shí)，的長(zhǎng)也隨之改變．……問(wèn)題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你解答．如圖1，在中，，，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過(guò)程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為，嘗試畫(huà)圖，并提出問(wèn)題請(qǐng)你解答．如圖4，中，，，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角，連接、，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易知，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）以為邊向右作等邊，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，再利用“”證明，易得，進(jìn)而可得，，同理，平分；設(shè)，則，，在中，利用勾股定理得，即可獲得答案；（3）以為邊向下作等邊，連接，，由旋轉(zhuǎn)得，，利用“”證明，易得，再證明，可得，，進(jìn)而證明是等邊三角形，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2）解：下圖，以為邊向右作等邊，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，同理，平分，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，∴，∴；問(wèn)題2：解：如下圖，以為邊向下作等邊，連接，，則，，由旋轉(zhuǎn)得，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．12．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，則，然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù)，就可以解決這道問(wèn)題．下面是小明的部分解答過(guò)程：解：將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的解答過(guò)程．（2）【類(lèi)比遷移】如圖②，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，則______度．（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，在直線上方有一點(diǎn)P，，，連接，則線段的最大值為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把將分散的條件相對(duì)集中到一個(gè)三角形中解決問(wèn)題．（1）將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，證明，再證明是直角三角形；（2）將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，證明，再證明是直角三角形；（3）將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，證明，在由三角形三邊關(guān)系求出的最大值，從而求得的最大值．【詳解】（1）解：將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．在中，．（2）解：將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，∵，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，即．在中，．故答案為：．（3）解：將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．∵，，∴是等腰直角三角形，∴，．∵四邊形是正方形，∴，，∴，即．在中，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，∴的最大值為在中，∴．的最大值為．13．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【幾何感知】如圖（1），在中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，連接PB、PC得到有公共邊的兩個(gè)和，求證：．【類(lèi)比遷移】如圖（2），在中，點(diǎn)D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點(diǎn)，線段AD、BE、CF交于點(diǎn)P，若，，則．【拓展遷移】如圖（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn)，且，則線段AP＝．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，易證得，，從而結(jié)論得證；（2）過(guò)點(diǎn)作與交于，連接，通過(guò)易得平行四邊形，通過(guò)對(duì)邊平行，可得，，所以可得，通過(guò)進(jìn)而求得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作于，于，于，通過(guò)勾股定理求得，已知，利用此條件可以設(shè)參數(shù)，表示面積，進(jìn)而表示各線段的值，在與中通過(guò)勾股定理建立方程，求得參數(shù)的值，最后代回可求得的值．【詳解】證明：（1）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，∴，又∵，∴，∴，由已知得：，,∴，∴，即．解：（2）過(guò)點(diǎn)作與交于，連接，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．（3）過(guò)點(diǎn)作于，于，于，，，，∵，∴設(shè)，，，在中，，∵，，∴，∴，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，∴，在與中，,∴，解得：，∴，，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是與三角形有關(guān)的綜合問(wèn)題，通過(guò)面積法求得線段的比，利用相似三角形轉(zhuǎn)化線段比例關(guān)系，利用勾股定理建立方程求得參數(shù)，是解題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問(wèn)題：如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．即能求PB＝請(qǐng)參考他們的想法，完成下面問(wèn)題：【學(xué)以致用】如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的長(zhǎng)；【能力拓展】如圖3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底邊AB上的兩點(diǎn)且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的長(zhǎng)．【答案】閱讀材料：5；學(xué)以致用：3；能力拓展：【分析】閱讀材料：由∠ABC=60°，將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，則△APD是等邊三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，得出∠ADP=60°，DP=AP=3，∠PDB=90°，由勾股定理即可得出結(jié)果；學(xué)以致用：將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，得出△CPP'是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答案；能力拓展：將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△CBD′，連接ED′，作D′H⊥BE于H．證明△ECD≌△ECD′（SAS），推出DE=ED′，求出EH，D′H即可解決問(wèn)題．【詳解】解：閱讀材料：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，如圖1所示：則△APD是等邊三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，∴∠ADP=60°，DP=AP=3，∴∠PDB=90°，∴，故答案為：5；