培優(yōu)專題 十三類函數(shù)選填?？級狠S題專項(xiàng)訓(xùn)練（等高線對稱性與周期雙變量恒成立等）（解析版）

培優(yōu)專題培優(yōu)專題3十三類函數(shù)選填?？級狠S題專項(xiàng)訓(xùn)練一、高斯函數(shù)（取整函數(shù)問題）安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末多選壓軸 5重慶市第八中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上11月月考單選壓軸 5廣東省深圳外國語學(xué)校2023-2024高一上期末多選次壓軸 6廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024高一上期末多選壓軸 7福建省廈門市2023-2024高一上期末多選壓軸 8二、抽象函數(shù)問題湖南省岳陽市2023-2024高一上期末多選壓軸 10重慶市第八中學(xué)校2023-2024高一上期末多選次壓軸 福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 12三、函數(shù)對稱性與周期性 13類型一：對稱性和周期性的判斷福建省泉州市2023-2024高一上期末多選次壓軸 15類型二：利用對稱性和周期性求值重慶市第八中學(xué)校2023-2024高一上期末單選壓軸 15廣東省廣州市三校2023-2024高一上期末聯(lián)考單選次壓軸 16類型三：利用對稱性和周期性求交點(diǎn)個數(shù)廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 17江蘇省南京市南京師大附中2023-2024高一上期末多選次壓軸 18廣東省深圳市高級中學(xué)2023-2024高一上期末多選次壓軸 19類型四：利用周期性求若干個函數(shù)值的和華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸 20廣東省佛山市2023-2024高一上期末多選次壓軸 21類型五：兩個函數(shù)混合型重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校2023-2024高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題多選壓軸 22廣東省汕頭市金山中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 22類型六：對稱性的探究問題廣東省深圳市龍華區(qū)2023-2024高一上期末填空壓軸 23四、利用函數(shù)對稱性求交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的和安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末次壓軸 24廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024高一上期末單選壓軸 25武漢華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2023-2024高一上期末單選壓軸 25安徽省合肥市第一中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸 26湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 27湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024高一上期末多選壓軸 27五、構(gòu)造新函數(shù)解不等式江蘇省鹽城市第一中學(xué)2023-2024高一上期末單選次壓軸 29廣東省廣州市九區(qū)聯(lián)考2023-2024高一上填空壓軸 30江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2024-2025高一上期中單選壓軸 30湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024高一上期末單選壓軸 31重慶市七校2023-2024高一上期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 32江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2024-2025高一上期中單選壓軸 33廣東省中山市2023-2024高一上期末多選壓軸 33六、等高線問題安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末單選壓軸 35重慶市2023-2024高一上期末聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試卷多選壓軸 36安徽省合肥市第一中學(xué)2023-2024高一上期末單選壓軸 37重慶市七校2023-2024高一上期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題填空壓軸 38浙江省溫州市2023-2024高一上期末(A卷)填空壓軸 38武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 40福建省福州市2023-2024高一上期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷多選壓軸 42湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024高一上期末填空壓軸 43七、函數(shù)新定義問題江蘇省南京市2023-2024高一上期末單選壓軸 44湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024高一上期末單選壓軸 45江蘇省南通市2023-2024高一上填空次壓軸 46廣東省珠海市第一中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸 47八、比較大小類型一：結(jié)合函數(shù)圖像比大小浙江省溫州市2023-2024高一上期末單選壓軸 49湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024高一上期末單選壓軸 49類型二：結(jié)合換底公式比大小江蘇省蘇州市2023-2024高一上期末多選壓軸 50重慶市南開中學(xué)校2023-2024高一上期末單選壓軸 50廣東省佛山市2023-2024高一上期末單選壓軸 51類型三：利用中間數(shù)比大小廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024高一上期末單選次壓軸 52廣東省深圳市南山區(qū)2023-2024高一上期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 ...................................52類型四：同構(gòu)再利用單調(diào)性比大小廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024高一上期末單選壓軸 53九、嵌套函數(shù)類型一：自(互)嵌套型f(g(x))或f(f(x))湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024高一上期末單選次壓軸 54廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024高一上期末單選壓軸 54類型二：二次嵌套型g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c廣東省深圳市第二高級中學(xué)2023-2024高一上期末 55廣東省深圳外國語學(xué)校2023-2024高一上期末單選壓軸 55廣東省深圳市高級中學(xué)2023-2024高一上期末單選壓軸 56重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2023-2024高一上期末填空壓軸 57十、通過函數(shù)解析式對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探究（多選）重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2023-2024高一上期末多選次壓軸 57廣東省湛江市第一中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 58廣東省深圳市深圳大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸 59廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024高一上期末多選壓軸 60廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024高一上期末多選壓軸 61廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023-2024高一上期末填空壓軸 62十一、雙變量恒（能）成立問題類型一：雙變量能成立問題 64廣東省深圳市科學(xué)高中2023-2024高一上期中填空壓軸 64江蘇省蘇州市2023-2024高一上期中填空壓軸 65類型二：雙變量恒成立問題 66重慶市第八中學(xué)校2023-2024高一上期末填空壓軸 67十二、反函數(shù)，指對數(shù)運(yùn)算及其函數(shù)性質(zhì)類型一：反函數(shù)的應(yīng)用 68湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸 68江蘇省南京市2023-2024高一上期末填空壓軸 68類型二：指對數(shù)運(yùn)算及其函數(shù)性質(zhì) 69廣東省廣州市九區(qū)聯(lián)考2023-2024高一上期末單選次壓軸 69湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024高一上期末壓軸 70廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024高一上期末填空壓軸 70廣東省佛山市2023-2024高一上期末填空壓軸 71廣東省廣州市九區(qū)聯(lián)考2023-2024高一上期末填空次壓軸 71江蘇省南京市南京師大附中2023-2024高一上期末填空壓軸 72十三、函數(shù)零點(diǎn)問題類型一：零點(diǎn)個數(shù)探究安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末填空壓軸 73廣東省深圳市深圳大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸 74湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024高一上期末填空壓軸 74類型二：由零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍江蘇省蘇州市2023-2024高一上期末單選次壓軸 75福建省廈門市2023-2024高一上期末單選壓軸 76湖南省長沙市省示范學(xué)校2023-2024高一上期末單選次壓軸 77廣東省中山市2023-2024高一上期末填空壓軸 78類型三：零點(diǎn)相關(guān)的運(yùn)算重慶市第一中學(xué)校2023-2024高一上期末單選次壓軸 79湖北省武漢市5G聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一上期末填空壓軸 79一、高斯函數(shù)（取整函數(shù)問題）設(shè)[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),則稱f(x)=[x]為取整函數(shù)（又叫高斯函數(shù)）,由于取整函數(shù)的定義域是連續(xù)的,值域卻是離散的,因而有其獨(dú)特的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用,再加上取整函數(shù)的新穎背景及處理取整函數(shù)問題時常常要分段討論,使得與取整函數(shù)有關(guān)的試題能有效的考查學(xué)生分析問題解決問題的能力及分類討論思想,因而備受命題者的青睞.由取整函數(shù)定義可得取整函數(shù)具有如下性質(zhì)：⑴函數(shù)f(x)=[x]的定義域?yàn)镽,值域Z；⑶當(dāng)x1⑸f(x)=[x]是周期函數(shù)且最小正周期為1；安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末多選壓軸1多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，有一個用其名字命名的“高斯函數(shù)”；設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱y=[x]為高斯函數(shù)．例A．=sin是周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)=x2一x2在區(qū)間[k一1,)(k∈N*)上單調(diào)遞增D．若函數(shù)則函數(shù)y=[f(x)]的值域是{1,0}【答案】ABD【分析】A：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及新定義驗(yàn)證f(x+4)=f(x)是否成立，由此即可判斷；B：根據(jù)新定義求出函數(shù)f(x)的解析式，由此即可判斷；C：根據(jù)新定義解不等式即可判斷；D：求出函數(shù)f(x)的值域，然后根據(jù)值域求出函數(shù)y=[f(x)]的值域即可判斷.所以函數(shù)f(x)以4為周期，故A正確；*)時，x2k1，此時f(x)=x2一k+1單調(diào)遞增，故B正確；所以2≤x<7，不等式的解集為[2，7)，故C錯誤；>0，所以f(x)∈(,)，當(dāng)f(x)∈(,0)時，y=[f(x)]=1，當(dāng)f(x)∈[0,]時，y=[f(x)]=0，即函數(shù)y=[f(x)]的值域是{一1,0}，故D正確.重慶市第八中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上11月月考單選壓軸2．設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，如[1.2]=1，C．f(x+1)=f(x)+1D．函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1)【答案】D【分析】代入具體值即可判斷選項(xiàng)A，B；對于C選項(xiàng)字母的代入需要進(jìn)行拆分化解，得到其周期性；對于D選項(xiàng)在一個周期的范圍內(nèi)分析出其值域即可.f(x)，故C錯誤；對于D，由C知，f(x)為周期函數(shù)，且周期為1，不妨設(shè)0≤x≤1，故當(dāng)0≤x≤1時，有0≤f(x)<1，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1)，故D正確.廣東省深圳外國語學(xué)校2023-2024高一上期末多選次壓軸3多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)．例如：【答案】CD【解析】令x=1.5,y=1.5，可判定A、B不正確；設(shè)x=n+r，其中n為x的整數(shù)部分，r為小數(shù)部分，結(jié)合“高斯函數(shù)”，可判定C、D正確.設(shè)x=n+r，其中n為x的整數(shù)部分，r為小數(shù)部分，即[x]=n，對于所以D是正確的.故選：CD.廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024高一上期末多選壓軸4多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，例如：1至x之間的整數(shù)中，有個是n的倍數(shù)=0共有2個不等的實(shí)數(shù)根【答案】ABC【分析】設(shè)x=a+r1,y=b+r2，其中a,b分別是x，y的整數(shù)部分，r1,r2分別是x，y的小數(shù)部分，結(jié)而一1≤lgx≤2，分類討論lgx的取值范圍，求出對應(yīng)的解，即可判斷D.【詳解】A：設(shè)x=a+r1,y=b+r2，其中a,b分別是x，y的整數(shù)部分，r1,r2分別是x，所以[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1，故A正確；≥na，所以[nx]≥n[x]，故B正確；即lgx=3或lgx=一3（舍去解得x=103；綜上，原方程共有3個不同的實(shí)根，故D錯誤.福建省廈門市2023-2024高一上期末多選壓軸5多選）已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.定義在(0,+∞)上的函數(shù)滿足f，且當(dāng)x∈=-sinπx，則()A．f(3)=2B．當(dāng)x∈[8,16)時，f(x)=-16sinC．f(x)在區(qū)間2k,2k+k)(k∈N*)上單調(diào)遞增D．關(guān)于x的方程f(x)=x-[x]在區(qū)間(0,2048]上恰有23個實(shí)根【答案】ACD【分析】對于A：直接代入運(yùn)算即可；對于B：根據(jù)題意結(jié)合f(x)=2f(|(),即可求解析式；對于C：先求f(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得結(jié)果；對于D：分x兩種情況，結(jié)合圖象分析方程的根的個數(shù).【詳解】對于選項(xiàng)A：f(3)=2f),=2(|(-sinπ,)=2，故A正確；xxxxxx可得f(x)=2f|((),=4f),=8f|((),=-8sin，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)楫?dāng)x∈[1,2)時，f(x)=-sinπx，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(|(,2),時，f(x)單調(diào)遞減，結(jié)合，可知f的單調(diào)遞增區(qū)間為2k,3.2k-1(k∈Z)，*時，kk-1=3.2k-1，故f(x)在區(qū)間2k,2k+k)(k∈N*)上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項(xiàng)D：當(dāng)x∈,),(n∈N)，f(x)=-2n+1πx)，且x-[x]=x，2且等號不同時成立，原方程無實(shí)根；要證-2nsin只需證令則只需證sin(πx)>x，如圖所示，所以方程f(x)=x-[x]在區(qū)間上恰有2個實(shí)根，所以方程f(x)=x-[x]在區(qū)間(0,2048]上恰有2×11+1=23個實(shí)根，故D正確.二、抽象函數(shù)問題賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，一般帶入-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到f(-x)與f(x)的關(guān)系判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時可能要進(jìn)行多次嘗試.·①若給出的是“和型”抽象函數(shù)f(x+y)=…，判斷符號時要變形為：f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2);②若給出的是“積型”抽象函數(shù)f(xy)=…，判斷符號時要變形為：湖南省岳陽市2023-2024高一上期末多選壓軸6多選）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足當(dāng)x>0時，f(x)>1，且對任意實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，當(dāng)x1≠x2時，f(x1)≠f(x2)，則下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)D．對任意實(shí)數(shù)x1,x2滿足【答案】ACD【分析】對于A，由函數(shù)單調(diào)性定義可判斷正誤；對于B，令x1=1，x2=0可判斷正誤；對于C，由A，B選項(xiàng)分析可判斷正誤；對于D，利用做差法及f(x1+x2)=f(x1)f(x2)可判斷正誤.【詳解】對于B，令x1=1，x2=0，得f(1)=f(1)f(0)，由題意知f(1)>1≠0，所以f(0)=1，故B錯誤；對于A，當(dāng)x<0時，-x>0，則f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，又f(-x)>1，則當(dāng)x<0時，0<f(x)<1，即對任意x∈R，f(x)>0.取任意x1,x2∈R且x1<x2，則x1-x2<0，得0<f(x1-x2)<1，則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f2)1-x2)-1<0即f(x1)<f(x2)，所以y=f(x)是R上的增函數(shù)，故A正確；對于C，由y=f(x)是R上的增函數(shù)且f(0)=1，可知f(x)為非奇非偶函數(shù)，故C正確；+f2,)f(x1)+fx2f2|(1,2故D正確.重慶市第八中學(xué)校2023-2024高一上期末多選次壓軸7多選）已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且f(3)=，則下列說法正確的是()A．若對任意x，y∈R，總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，則f(x)是奇函數(shù)B．若對任意x，y∈R，總有f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是偶函數(shù)C．若對任意x，y∈R；總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，則f(|(-),=D．若對任意x，y∈R，總有f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(|(-),=-【答案】ACD【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷.【詳解】對于A，對任意x，y∈R，總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，令x=y=0得f(0)=0；令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0；令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1)，所以f(-1)=0；令y=-1得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故A正確；對于B，對任意x，y∈R，總有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0得f(0)=0；令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，對任意x，y∈R，總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，由A選項(xiàng)分析f(-1)=0，令x=-,y=3得f(-1)=3f(|(-),-f(3)=0，又因?yàn)閒(3)=，所以f(|(-),=，故C正確；對于D，對任意x，y∈R，總有f(x+y)=令x=y=1得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)，f(x)+f(y)，由B選項(xiàng)分析f(0)=0，福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸8多選）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，滿足對任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x).f(y)-f(x)-f(y)+2，且x>1時，f(x)>2．則下列說法正確的是()C．f(x)在(0,1)是減函數(shù)D．存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)y=f(x)+k在(0,1)是減函數(shù)【答案】ABD【分析】對A選項(xiàng)，利用賦值法，令x=y=1，求出f(1)，再令x=1，y=2進(jìn)行檢驗(yàn)，即可判斷A；對B選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時，則>1，故f),>2，令y=的范圍，即可判斷B；對C選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合已知條件可得f(x1)<f(x2)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C；對D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，若y=f(x)+k在(0,1)上遞減，則x∈(0,1)時，y=f(x)+k=-f(x)-k，則f(x)+k<0，由此可求得k≤-2，即可判斷D.【詳解】令x=y=1，則f(1)=f(1).f(1)-f(1)-f(1)+2，即f2(1)-3f(1)+2=0，解得f(1)=1或f(1)=2，當(dāng)f(1)=1時，令x=1，y=2，則f(2)=f(1).f(2)-f(1)-f(2)+2，解得f(2)=1，與x>1時，f(x)>2矛盾，所以f(1)=2，故A正確；當(dāng)時，則>1，故f令整理得=0，則fxxx(x1,L(x1,(x1,」f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(|x1.x2)=f(x1)-|「f(x1).f|(x2)-(x1,L(x1,(x1,」(x1,(x1,L(x1,」L(x1,」(x1,(x1,L(x1,」L(x1,」x1(x1,，x1(x1,，f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故C錯誤；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，所以y=f(x)+k在(0,1)上也為增函數(shù)，若y=f(x)+k在(0,1)上遞減，則x∈(0,1)時，y=f(x)+k=-f(x)-k，則x∈(0,1)時，f(x)+k<0，即k<-f(x)，三、函數(shù)對稱性與周期性一、對稱性若f，且=b三f關(guān)于x=b對稱（2）f(mx+a)+b是偶函數(shù)三f(x)關(guān)于x=a對稱（4）f(mx+a)+b是奇函數(shù)三f(x)關(guān)于(a,b)對稱對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）可利用對稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值（2）在作圖時可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同二、周期函數(shù)的常見條件一、若f(x)+f(x+a)=c（c為常數(shù)則f(x)周期為2a.證明：令x=x+a→f(x+a)+f(x+2a)=c，兩式相減得f(x+2a)-f(x)=0即f(x+2a)=f(x)，故T=2a二，則T=2相對少見）三、其它周期條件設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈R，a>0，a≠b.（1）若f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)f(x)的周期為2a；（2）若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)f(x)的周期為2a；若f則函數(shù)f(x)的周期為2a；（4）若則函數(shù)f(x)的周期為2a；（5）若f(x+a)=f(x+b)，則函數(shù)f(x)的周期為a-b；（6）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2b-a；（7）若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2b-a；（8）若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為4b-a；（9）若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)的周期為2a；（10）若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)的周期為4a.三、周期與對稱性的區(qū)分1.若f(x+a=±fx+b,則f(x)具有周期性；2.若f(x+a=±f(b?x),則f(x)具有對稱性：口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”類型一：對稱性和周期性的判斷福建省泉州市2023-2024高一上期末多選次壓軸923-24高一上·福建泉州·期末多選）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(-3x)=f(2+3x)，則下列結(jié)論一定成立的是()A．f(0)=0B．2是f(x)的一個周期C．(2,0)是f(x)的一個對稱中心D．f(3x+1)為偶函數(shù)【答案】ACD【分析】對于A，直接由奇函數(shù)性質(zhì)得；對于B，首先得f(-x)=f(2+x)，進(jìn)一步有f(3x+1)=f(1-3x)以及f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4)，由此即可判斷；對于C，由對稱軸、對稱中心即可得解.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(-3x)=f(2+3x)，所以f(0)=0，故A正確；且f(-x)=f(2+x)，所以f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4)，即f(x)的周期是4，不是2，故B錯誤；因?yàn)閒(-x)=f(2+x)，所以f(x)的對稱軸為x=1，又(0,0)為f(x)的一個對稱中心，所以2,0是f(x)的一個對稱中心，故C正確；因?yàn)閒(-x)=f(2+x)，所以f(3x+1)=f(1-3x)，即f(3x+1)為偶函數(shù)，故D正確.類型二：利用對稱性和周期性求值重慶市第八中學(xué)校2023-2024高一上期末單選壓軸若=6，則f）【答案】B【分析】根據(jù)題意，推得函數(shù)f(x)的周期為4，令x=1，得到f(0)=-f(2)且f(1)=f(3)，進(jìn)而求得a=-2，b=2，再由f即可求解.【詳解】由f(x+1)為奇函數(shù)，則f(-x+1)=-f(x+1)，即f(x)=-f(2-x)又由f(x+2)為偶函數(shù)，可得f(-x+2)=f(x+2)，即f(x)=f(4-x)，可得f(2-x)=-f(4-x)，即f(x)=-f(x+2)，所以f(x)=f(x+4)所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因?yàn)閒(-x+1)=-f(x+1)且f(-x+2)=f(x+2)令x=1，可得f(0)=-f(2)且f(1)=f(3)，又因?yàn)閒(3)+f(4)=6，即f(3)+f(0)=6，即f(1)-f(2)=6+b，可得a+b-(4a+b)=6，解得a=-2，再令x=0，可得f(1)=-f(1)，即f1=0，所以f(1)=a+b=0，可得2-2廣東省廣州市三校2023-2024高一上期末聯(lián)考單選次壓軸11．已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=2x+b，則f=() A．-1-2B．1-2C．2+1D．2-1【答案】B【分析】先由奇函數(shù)條件可得b=-1，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性可知函數(shù)的周期為4，再利用函數(shù)的周期性和奇偶性計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=2x+b，又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以f(x)=f(2-x)，且f(x)=-f(-x)則f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f2-(x-2)=-f(4-x)=f(x-4)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，2故f2023=f252×4+7=f7-4=f-1=-f1=12廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸12多選）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x-1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(-1,1)時，f(x)=-x2+1，則下列結(jié)論正確的是()A．B．f(x+7)為奇函數(shù)C．f(x)在(6,8)上為減函數(shù)D．方程f(x)+lgx=0僅有6個實(shí)數(shù)解【答案】ABD【分析】根據(jù)f(x+1)為偶函數(shù)和f(x-1)為奇函數(shù)可得即可判斷A；利用函數(shù)的奇偶性建立方程，證明f(x)為一個周期函數(shù)，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和周期性即可判斷C；利用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合圖形即可判斷D.【詳解】A：f(x+1)為偶函數(shù)，故f(x+1)=f(-x+1)，令得f(x-1)為奇函數(shù)，故f(x-1)=-f(-x-1)，令得其中所以正確；B：因?yàn)閒(x-1)為奇函數(shù)，則f(x-1)=-f(-x-1),得f(-x-2)=-f(x)，又f(x+1)為偶函數(shù)，則f(x+1)=f(-x+1)，得f(-x+2)=f(x)，所以f(-x-2)=-f(-x+2)，令x=-x得f(x-2)=-f(x+2)，即f(x)=-f(x+4)，則f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即f(x+8)=f(x)，所以8為函數(shù)f(x)的一個周期.故f(x+7)=f(x-1)，所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7)，從而f(x+7)為奇函數(shù)，故B正確；C：f(x)=-x2+1在區(qū)間(-1,0]上是增函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱，所以f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞增，又f(x)周期為8，故f(x)在(6,8)上單調(diào)遞增，故C錯誤；D：作出f(x)與y=-lgx的大致圖象，如圖所示，故方程f(x)+lgx=0僅有6個實(shí)數(shù)解，故D正確.江蘇省南京市南京師大附中2023-2024高一上期末多選次壓軸13多選）已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f(x+1)=—f(x)，且當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)=log2(x+1).下列命題正確的是()A．f(2023)+f(—2024)=0B．f(x)是周期為2的周期函數(shù)C．直線y=x與f(x)的圖象有且僅有2個交點(diǎn)D．f(x)的值域?yàn)?—1,1)【答案】AD【分析】由已知判斷出x≥0時，函數(shù)的周期，結(jié)合當(dāng)x∈[0,1)時的解析式，即可作出x≥0時圖象，結(jié)合奇偶性，可得整個定義域上圖象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判斷A；結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷B，C，D.【詳解】由題意知當(dāng)x≥0時，有f(x+1)=—f(x)，則f(x+2)=—f(x+1)=f(x)，即x≥0時，2為f(x)的周期，由f(x+1)=—f(x)，得f(x)=—f(x—1)，結(jié)合f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，可作出f(x)的圖象如圖：對于A，f(2023)=f(1011×2+1)=f(1)=f(—2024)=f(2024)=f(1012×2+故f(2023)+f(—2024)=0，A正確；對于B，由以上分析可知x≥0時，2為f(x)的周期，結(jié)合圖象，在整個定義域上f(x)不是周期函數(shù)，B錯誤；對于C，在同一坐標(biāo)系再作出y=x的圖象，可知直線y=x與f(x)的圖象有且僅有1個交點(diǎn)(0,0)，C錯誤；f(x)的值域?yàn)?1,1)，D正確廣東省深圳市高級中學(xué)2023-2024高一上期末多選次壓軸·14多選）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，且當(dāng)—1≤x<0時，f=2x，A．f(x)是周期為2的周期函數(shù)4xC．f(x)的圖象與g(x)=log0.5x的圖象有兩個公共點(diǎn)D．f(x)在(2022,2024)上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)已知可得即可得出A項(xiàng)；根據(jù)已知求出x∈[0,1)時的解析式，進(jìn)而根據(jù)周期性，得出函數(shù)在[4,5)上的解析式，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)A、B的結(jié)論作出函數(shù)f(x)的圖象以及g(x)=log0.5x的圖象，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值，結(jié)合圖象，即可判斷C項(xiàng)；先根據(jù)解析式，判斷得出函數(shù)在[0,2)上單調(diào)遞增，即可根據(jù)周期性，得出D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可得所以是周期為2的周期函數(shù)，故A正確；又f(x)的周期為2，所以f(x)=f(x—4).當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)=21x，且f作出函數(shù)y=fx以及y=gx的圖象，顯然，當(dāng)x<2時，f(x)的圖象與g(x)=log0.5x的圖象沒有交點(diǎn).0.54由圖象可知，f(x)的圖象與g(x)=log0.5x的圖象有兩個公共點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；f(x2)=2x2.又f(x)的周期為2，所以f(x)=f(x—2)=2x—2在[1,2)上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)=21x，顯然f(x)=21x在[0,1)上單調(diào)遞增.所以，f(x)在[0,2)上單調(diào)遞增.根據(jù)函數(shù)的周期性可知，f(x)在(2022,2024)上單調(diào)遞增.故D正確.類型四：利用周期性求若干個函數(shù)值的和華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸15．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1+3x)=f(1—3x)，且f(2x+4)關(guān)于(—2,0)對稱，當(dāng)0≤x【答案】1012【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，計(jì)算出f(0)、f1、f(2)、f(3)的值，結(jié)合函數(shù)f(x)的周期性以及并項(xiàng)求和法可求得所求代數(shù)式的值.所以，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則f2+x=f?x，因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+4)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—2,0)對稱，即=0，即f，令s=2x+4，則f(s)+f(—s)=0，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f2+x=f?x=?fx，則f(4+x)=—f(2+x)=f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故答案為：1012.廣東省佛山市2023-2024高一上期末多選次壓軸16多選）已知函數(shù)f(x)滿足：對任意的x∈R，都存f且A．y=f(x+1)是奇函數(shù)B．f(4—x)=—f(x)【答案】BD【分析】由題意可得函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，進(jìn)而可求出函數(shù)的周期，再逐一分析即可得解.【詳解】因?yàn)閒(—x)=—f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，故f(1)=0，與題意矛盾，所以y=f(x+1)不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，由f得f(x)=f(2—x)，對于C，根據(jù)題意不能得出函數(shù)的單調(diào)性，所以無法確定函數(shù)的值域，故C錯誤；對于D，由B選項(xiàng)可得f(x+4)=f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，則f(2)=f(0)=0，f(4)=f(0)=0，所以f1+f2+f3+f4=0，類型五：兩個函數(shù)混合型重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校2023-2024高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題多選壓軸17多選）已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且g(x)=f(4+x)，A．f(1)=1B．f(x)為奇函數(shù)C．f(x)的周期為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知得g(x—4)=f(x)，將f(x+y)+f(x—y)=g(x—4)f(y)轉(zhuǎn)f(x+y)+f(x—y)=f(x)f(y)，給x,y取值推導(dǎo)奇偶性和周期性解決問題.:g(x)=f(4+x)，:g(x—4)=f(x)，:f(x+y)+f(x—y)=f(x)f(y)，令y=1，則f(x+1)+f(x—1)=f(x)①,:f(x+2)+f(x)=f(x+1)②,①+②可得f(x—1)+f(x+2)=0，:f(x)+f(x+3)=0，:f(x+3)+f(x+6)=0，:f(x)=f(x+6)，因此T=6，故C正確；令x=0，f(y)+f(—y)=f(0)f(y)，令x=1，y=0，2f(1)=f(1)f(0)，則f(0)=2，故x=0，f(y)+f(—y)=2f(y)→f(y)=f(—y)，故f(x)為偶函數(shù)，所以B不正確；因?yàn)閒(x)=f(x+6)=f(—x)，故f(x)關(guān)于x=3對稱，且f(0)=2，f(1)=1，令x=1，y=1，則f(4)=f(2)=—1，f(5)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，一個周期的和為0，則=3，故D正確.廣東省汕頭市金山中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸18多選）已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且g(x)+f(—x+2)=1，f(x)—g(x+1)=1，若y=fx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則以下說法正確的是()A．g(x)為奇函數(shù)D．若f(x)的值域?yàn)閇m,M]，則g(x)+f(x)=m+M【答案】BC再結(jié)合y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得y=f(x)的周期、奇偶性、對稱中心，可依次驗(yàn)證各選項(xiàng)正誤.:f(x)—g(x+1)=1，:f(x)+f(1—x)=2，:f(x)關(guān)于x=1對稱，:f(1—x)=f(1+x)，:f(x)+f(1+x)=2，:f(x+1)+f(2+x)=2，:f(x)=f(2+x)，故C正確；:f(x)關(guān)于x=1對稱，:f(x)=f(2—x)，:f(x)=f(—x)，:f(x)為偶函數(shù)，:g(x)+f(—x+2)=1，:g(x)+f(x)=1，:g(—x)+f(—x)=1，:g(—x)+f(x)=1，:g(x)=g(—x)，:g(x)為偶函數(shù)，故A錯誤；:f(x)+f(1—x)=2，:f(x)圖象關(guān)于點(diǎn),1)中心對稱，:存在一對最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)也關(guān)于,1)對稱，:m+M=2，:g(x)+f(x)=1=m+M—1，故D錯誤；由=2得f=1，又T=2，所以f類型六：對稱性的探究問題廣東省深圳市龍華區(qū)2023-2024高一上期末填空壓軸19．已知a>0且a≠1，若函數(shù)中至少存在兩點(diǎn)A,B，使A,B關(guān)于y軸對稱，【分析】結(jié)合一次函數(shù)單調(diào)性對參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可知當(dāng)a≥2時才會滿足題意，再結(jié)合一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長速率之間的關(guān)系可得a—2>a0=1，即可求得a的取值范圍.所以當(dāng)x<0時，f(x)<0,當(dāng)x≥0時，f(x)≥0,此時不存在兩點(diǎn)使其關(guān)于y軸對稱，所以0<a<1不滿足題意；當(dāng)x≥0時，f(x)≥0,當(dāng)x<0時，f(x)<0,此時不存在兩點(diǎn)使其關(guān)于y軸對稱，所以1<a<2不滿足題意；當(dāng)a=2時，函數(shù)f1>1，存在使其關(guān)于y軸對稱，滿足題意；易知y=(2a)x,x≤1與y=(a2)x關(guān)于y軸對稱，要存在兩點(diǎn)A,B使其關(guān)于y軸對稱，則需當(dāng)x>1時，函數(shù)y=(a—2)x與函數(shù)y=ax—1的圖象有交點(diǎn)，再由一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長速率之間的關(guān)系可得a—2>a0=1，即a>3.綜上所述，a的取值范圍是a=2或a>3四、利用函數(shù)對稱性求交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的和1、函數(shù)對稱性函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，x∈D，①存在常數(shù)a，b使得f(x)+f(2a—x)=2bf(a+x)+f(a—x)=2b，則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱.②存在常數(shù)a使得f(x)=f(2a—x)f(a+x)=f(a—x)，則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.2、若兩個函數(shù)有相同的對稱軸或?qū)ΨQ中心，則它們的交點(diǎn)也關(guān)于該對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱（1）若f(x)與g(x)關(guān)于x=a對稱，且它們有m個交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和am（2）若f(x)與g(x)關(guān)于(a,b)對稱，且它們有m個交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和am，縱坐標(biāo)之和為bm安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末次壓軸20．已知函數(shù)，則f(—2024)+…+f(—1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=()A．4047B．4048C．4049D．4050【答案】C·【分析】由已知，得f(-x)+f(x)=2，則f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以f所以所以f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)=4048+1=4049.故選：C.廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024高一上期末單選壓軸21．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x+1)是奇函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-的交【答案】C【分析】由題意知函數(shù)f(x)的圖象和函數(shù)的圖象都關(guān)于(1,0)對稱，可知它們的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，由此可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒(x+1)是奇函數(shù)，所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，武漢華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2023-2024高一上期末單選壓軸【答案】D【分析】分析可知，兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于點(diǎn)(|(0,),對稱，確定兩個函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)，結(jié)合對稱性可得出y1+y2+…+yn-1+yn的值.12x+1，所以，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(|(0,),對稱，所以，函數(shù)g(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(|(0,),對稱，不妨設(shè)x1<x2<…<xn，作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如下圖所示：由圖可知，兩個函數(shù)的圖象共有19個公共點(diǎn)，安徽省合肥市第一中學(xué)2023-2024高一上期末填空壓軸23．函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象成中心對稱，則：【答案】-8094【分析】根據(jù)給定的充要條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f(x)的對稱中心，再求值即可.【詳解】設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為P(a,b)，設(shè)g(x)=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b，則g(x)為奇函數(shù)，g(-x)=f(-x+a)-b且g(-x)=-g(x)，則f(-x+a)-b=b-f(x+a)，整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0，于是{解得,因此函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為(1,-2)，則f(-x+1)+f(x+1)=-4，則S=f(2024)+f(2023)+…+f(2)+f(1)+f(0)+…+f(-2021)+f(-2022)，于是2S=4047×(-4)，解得S=-8094，所以f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)=-8094.湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024高一上期末多選壓軸24多選）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4-x)=-f(x),f(2x+1)為偶函數(shù)，f(1)=2，函數(shù)g(x)(x∈R)滿足g(x)=g(2-x)，若y=f(x)與y=g(x)恰有2023個交點(diǎn)，從左至右依次為(x2023,y2023)，則下列說法正確的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．2為y=f(x)的一個周期22023【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，推得得到f(2+x)+f(x)=0，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由f2x+1為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，又由f4?x=?fx，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對稱，則可得f(2+x)+f(x)=0.對于A中，由f(2+x)+f(x)=0，可得f2?x=?f?x，所以f(x)=-f(-x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，由f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，可得f(1)=2,f(3)=-f(1)=-2，顯然f(3)≠f(1)，所以B錯誤；對于C中，由g(x)=g(2-x)，所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，因此函數(shù)f(x)與g(x)的交點(diǎn)也關(guān)于x=1對稱，則y1012=f(1)=2，所以C正確；對于D中，由函數(shù)f(x)與g(x)的交點(diǎn)也關(guān)于x=1對稱，可得xi=2023，故D正確.湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024高一上期末多選壓軸25多選）定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(1+x)=f(3-x)且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，A．函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱B．函數(shù)f(x)的周期為4.C．f(2024)+f(2022)=1D．設(shè)g和g的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為-2【答案】AC【分析】A：將f(1+x)=f(3-x)變形為f(2+x)=f(2-x)即可判斷；B：根據(jù)f(-2),f(2)的大小關(guān)系可作出判斷；C：根據(jù)B中計(jì)算出的周期化簡f(2024)+f(2022)，結(jié)合f(x)的奇偶性可判斷結(jié)果；D：先分析fx,gx的圖象的對稱性，然后作出fx,gx在同一坐標(biāo)系下的圖象，根據(jù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)作出判斷.【詳解】對于A：因?yàn)閒(1+x)=f(3-x)，所以f(2+x)=f(2-x)，所以f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱，故A正確；對于B：因?yàn)閒(1+x)=f(3-x)，所以f(x+4)=f(-x)，又因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f?x=?fx，所以f(x+4)=-f(x)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期為8，又因?yàn)閒(-2)=-f(2)=1，所以f(-2)≠f(2)，所以f(x)的周期不可能為4，故B錯誤；對于C：因?yàn)閒(x)的周期為8，所以f(2024)+f(2022)=f(8×253)+f(8×253-2)=f(0)+f(-2)，因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)+f(-2)=0-f(2)=1，所以f(2024)+f(2022)=1，故C正確；對于D：因?yàn)閒(x+4)=f(-x)，所以f(-4-x)=f(x+8)=f(x)，所以f(-2-x)=f(-2+x)，所以f(x)的圖象關(guān)于x=-2對稱，又因?yàn)?4-x+2所以g(-2-x)=g(-2+x)，所以g(x)的圖象也關(guān)于x=-2對稱，作出fx,gx在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示：由圖象可知：fx,gx有兩個交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于x=-2對稱，所以fx,gx)的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為-2×2=-4，故D錯誤五、構(gòu)造新函數(shù)解不等式常見模型江蘇省鹽城市第一中學(xué)2023-2024高一上期末單選次壓軸26．已知f(x)為R上的奇函數(shù)，f(2)=2，若對于x1，x2∈(0,+∞)，當(dāng)x1>x2時，都有【答案】B【分析】令g(x)=xf(x)，由題可知g(x)為R上的偶函數(shù)且在0,+∞上單調(diào)遞減，由g(2)=2f(2)=4，將不等式(x+1)f(x+1)>4轉(zhuǎn)化為g(x+1)>g(2)或g(x+1)>g(-2)，結(jié)合g(x)的單調(diào)性即可求解.因?yàn)閤1>x2>0，所以x1-x則有x1f(x1)-x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2).令g(x)=xf(x)，則g(x)在0,+∞上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)為R上的偶函數(shù)，故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.則不等式(x+1)f(x+1)>4可轉(zhuǎn)化為g(x+1)>g(2)所以-2<x+1<2，解得-3<x<1.廣東省廣州市九區(qū)聯(lián)考2023-2024高一上填空壓軸·27．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的x若f(2)=4，則不等式f(x)-2x≤0的解集為.【分析】先得到在上單調(diào)遞增為偶函數(shù)，故g在(-∞,0)上單調(diào)遞減，分x>0與x<0、x=0三種情況，結(jié)合f(2)=4，得到不等式的解集.【詳解】不妨設(shè)x1>x2>0，由>0得x2f(x1)-x1f(x2)>0，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，的定義域?yàn)楣蕿榕己瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，f-2x≤0→f≤2x→當(dāng)x<0時，f-2x≤0→f≤2x→因?yàn)間(2)=2，所以g(-2)=2，故g(x)≥g(-2)，解得x≤-2；當(dāng)x=0時，f(0)-2×0=0，符合題意；故不等式的解集為[0,2]U(-∞,-2].江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2024-2025高一上期中單選壓軸28．已知函數(shù)f(x)=x2-x，若對于任意的x1、x2∈[1,+∞)，x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，則a的取值范圍是()【答案】Da≠0兩種情況討論，在a=0時，直接驗(yàn)證即可；在a≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，在不等式x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)兩邊同時除以x1x2可得2+x-1，則g所以，函數(shù)g(x)=ax2+x-1在[1,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)a=0時，g(x)=x-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增，不合乎題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024高一上期末單選壓軸29．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若a,b∈,且a≠b，都有成立，則不等式f|((),-(t2-2t)f(t-2)>0的解集為()B．)【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)F(x)，由題意先研究其奇偶性，再判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)性求解抽象不等式即可.【詳解】設(shè)F(x)=xf(x)，由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則F(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-F(x)，所以F(x)是定義在R上的奇函數(shù).所以F(x)是[0,+∞)上的減函數(shù)，又F(x)是R上的奇函數(shù)，所以F(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則F(x)是R上的減函數(shù).①當(dāng)t>0時，不等式可化為f(|(),-(t-2)f(t-2)>0，即<t-2，由t>0，則t2-2t-1>0解得t<1-2（舍或t>1+2；②當(dāng)t<0時，不等式可化為即2，由t<0，則t2-2t-1>0重慶市七校2023-2024高一上期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題立，則不等式f|((),-(2t2-t)f(2t-1)>0的解集為()【答案】D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【詳解】令g(x)=xf(x)，由題意知g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù)，又f(x)為R上的偶函數(shù)，所以g(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(x)在R上為減函數(shù)，①當(dāng)t>0時，f(|(,)>(2t-1)f(2t-1)所以<2t-1，所以1<2t2-t，解得t所以>2t-1，所以1<2t2-t，解得t<-.所以t<-或t>1.江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2024-2025高一上期中單選壓軸31．已知函數(shù)f(x)=x2-x，若對于任意的x1、x2∈[1,+∞)x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，則a的取值范圍是()【答案】D2a≠0兩種情況討論，在a=0時，直接驗(yàn)證即可；在a≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，在不等式x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)兩邊同時除以x1x2可得2+x-1，則g所以，函數(shù)g(x)=ax2+x-1在[1,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)a=0時，g(x)=x-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增，不合乎題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是|-∞廣東省中山市2023-2024高一上期末多選壓軸32多選）設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)u(0,+∞)，且滿足f(2)=0，對于任意xx2,,D．不等式>0的解集為(-2,0)(0,2)【答案】AC【分析】AB選項(xiàng)，令n=0，得到f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的單調(diào)性和奇偶性，分類討論解不等式，求出解集；CD選項(xiàng)，令g，推出g的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合g(2)=0，解不等式，求出解集.AB選項(xiàng)，當(dāng)n=0時，即>0，故f在上單調(diào)遞增，偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)u(0,+∞)，故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，又f(2)=0，故f(-2)=0，當(dāng)-<x<0時，2x+1>0，由于f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x<-時，2x+1<0，由于f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，故f(2x+1)<0=f(-2)，故2x+1>-2，解得x>-，故-<x<-；故不等式>0的解集為，A正確，B錯誤；令n=1012得所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)為(-∞,0)u(0,+∞)上的偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，因?yàn)閒(2)=0，所以g(2)=0，故x>2，解得x>2或x<-2，C正確，D錯誤.故選：AC六、等高線問題等高線本是地理學(xué)中的名詞，借用到數(shù)學(xué)中來便有其特殊的含義。對于函數(shù)f(x)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c使f(a)=f(b)=f(c)=t，則稱直線y=t為函數(shù)f(x)的等高線．解決等高線問題時，要注意函數(shù)本身的整體性，遵循分段處理的原則，首先畫出分段函數(shù)的圖象，充分利用形的直觀性與數(shù)的精確性，挖掘函數(shù)的性質(zhì)，如對稱性、不變性(如定和、定積)等，從而有效地、快速地解決問題。安徽省部分學(xué)校2023-2024高一上期末單選壓軸33．已知數(shù),若m<n且f，則n+m的取值范圍是()【答案】B【分析】設(shè)f(n)=f(m)=t，則m，n為直線y=t與函數(shù)y=f(x)圖象的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖形，結(jié)合圖形求出n+m的取值范圍.【詳解】設(shè)f(n)=f(m)=t，則m，n為直線y=t與函數(shù)y=f(x)圖象的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且≤t≤2，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增+4-2==1+1-2=0，g+2-2=所以n+m的取值范圍是[0,].故選：B.重慶市2023-2024高一上期末聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試卷多選壓軸34多選）已知函數(shù)若存在四個不同的值x1,x2,x3,x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1<x2<x3<x4)，則下列結(jié)論正確的是()A．-2≤x1<-1B．0≤x1x2<1C．x3x4=e【答案】ABD【分析】由f(x)的圖象，求出特殊點(diǎn)，結(jié)合條件逐一比較分析判斷.【詳解】當(dāng)x=0時，f(0)=2，當(dāng)x=-1時，f(-1)=1，當(dāng)x=1時，f1=0，由圖像可知，x1<-1，此時1<fx1+1≤2，解得-2≤x1<-1，故A對；因?yàn)閒(x)=2x+1關(guān)于x=-1對稱，所以x1+x2=-2，又-1<x2≤0，3234故選：ABD安徽省合肥市第一中學(xué)2023-2024高一上期末單選壓軸35．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f(x)=0有四個不等的實(shí)數(shù)根，從小到大依次為x1,x2,x3,x4，則3x3的取值范圍為()【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.設(shè)g則f(x)=g(x)m，故f(x)=0可轉(zhuǎn)化為g(x)=m，即y=gx的圖像與直線y=m有4個不同的交點(diǎn)，對應(yīng)橫坐標(biāo)從小到大依次為x1,x2,x3,x4，3x33x4.x4所以：3x3=6x3+重慶市七校2023-2024高一上期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題填空壓軸36．已知f若方程f(x)=a有四個不同的解x1<x2<x3的取值范圍是.【分析】結(jié)合函數(shù)y=fx的圖象與性質(zhì)知0<a≤2，x1+x2=4，x3x4=1，將x1+x2++化簡為4+x3+x4，進(jìn)而化簡為4+2a+2a，求出范圍即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象：方程f(x)=a有四個不同的解x1<x2<x3<x4，設(shè)log1x3=a,log1x4=a，所以x3+x4=2a+2a，22所以則x1+x2++的取值范圍為(2,]浙江省溫州市2023-2024高一上期末(A卷)填空壓軸37．函數(shù)f(x)=x424x+16，g(x)=6x3+ax2，方程f(x)=g(x)恰有三個根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，則的值為.【答案】25【分析】由題意得a=x2-6x-通過換元法得關(guān)于t的方程a=t2-6t-8的根的個數(shù)為2；結(jié)合韋達(dá)定理可知或由此即可得解.【詳解】由題意f(x)=g(x)，即ax2=x4-6x3-24x+16，顯然x≠0，令t=x+所以等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ixi=2，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)t>4或t<-4時，關(guān)于x的方程t=x+的根的個數(shù)為2，當(dāng)t=4或t=-4時，關(guān)于x的方程t=x+的根的個數(shù)為1，當(dāng)-4<t<4時，關(guān)于x的方程t=x+的根的個數(shù)為0，由題意方程f(x)=g(x)恰有三個根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，而關(guān)于t的方程a=t2-6t-8的根的個數(shù)情況可能為0，1，2；所以關(guān)于t的方程a=t2-6t-8只能有兩個不相等的根(Δ>0不妨設(shè)為t1,t2，且t1>4或t1<-4，t2=4或t2=-4；又由韋達(dá)定理有t1+t2=6，所以或，所以x1=-2是關(guān)于x的方程t2=-4=x+的根，x2,x3是關(guān)于x的方程t1=10=x+即x2-10x+4=0由韋達(dá)定理有x2+x3=10，x1+=-2.5，所以=-25.武漢市華中師范大學(xué)第一附屬