第19章 光的衍射

第19章光的衍射◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解惠更斯-菲涅爾原理；2．掌握半波帶法，會分析單縫夫瑯禾費衍射條紋的分布規(guī)律；3．掌握衍射光柵公式；4．了解夫瑯禾費圓孔衍射條紋的分布特點，理解光學(xué)儀器的分辨率，并能進行相關(guān)計算；5．了解X射線的衍射現(xiàn)象?！舯菊陆虒W(xué)內(nèi)容1．光的衍射現(xiàn)象；2．單縫衍射圓孔衍射；3．光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)；4．衍射光柵衍射光譜；5．倫琴射線衍射布拉赫公式；6．全息照相原理?！舯菊陆虒W(xué)重點1．夫瑯和費單縫衍射；2．光柵衍射。◆本章教學(xué)難點1．慧更斯-菲涅爾原理；2．夫瑯和費單縫衍射；3．光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)；4．衍射光柵公式?！舯菊聦W(xué)習(xí)方法建議及參考資料1．注意講練結(jié)合；2．要注意依據(jù)學(xué)生具體情況安排本章進度。參考教材易明編，《光學(xué)》，高等教育出版社，1999年10月第一版

§19.1光的衍射現(xiàn)象惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射現(xiàn)象光波遇到障礙物而偏離直線傳播，使光的強度重新分布，這種現(xiàn)象稱為光的衍射現(xiàn)象.光的衍射現(xiàn)象可分為兩種類型.一種是障礙物距光源及接收屏為有限遠的衍射成為菲涅耳衍射；另一種是障礙物距光源及接收屏為無限遠的衍射為夫瑯和費衍射，此時入射光和衍射光是平行光.二、惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理是撥動光學(xué)的一個基本原理，應(yīng)用該原理可較好地解決光的衍射問題.圖1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯(C.Huygens)原理可以解釋光經(jīng)過障礙物邊緣是所發(fā)生的現(xiàn)象，但它不能解釋為什么會出現(xiàn)明暗相間（或彩色）的條紋.菲涅耳（A.J.Fresnel）在波的疊加原理與干涉現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，發(fā)展了惠更斯原理.他不僅和惠更斯一樣，認為波陣面（波前）上每一點都要發(fā)射子波，而且還進一步提出：從同一波陣面上各點發(fā)出的子波，在傳播過程中相遇于空間某點時，可以互相疊加而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象.圖1惠更斯-菲涅耳原理此即惠更斯-菲涅耳原理.根據(jù)這個原理，衍射現(xiàn)象中出現(xiàn)的亮暗條紋，是由于同一波陣面上發(fā)出的子波產(chǎn)生干涉的結(jié)果.如果已知波動在某時刻的波陣面為，就可以計算波動傳到面前方給定點時振動的振幅和周相.（1）波陣面上任意一面元發(fā)出的子波在空間一點所產(chǎn)生振動的振幅，正比于此面元的面積，反比于該面元到點的距離，并且與面元對點的傾角有關(guān)(如圖1)；發(fā)出的子波到達點的位相，取決于面元的位相和面元到點的距離.所以在點產(chǎn)生的振動可表示為（19-1）其中為隨角增大而緩慢減小的函數(shù)，為比例常數(shù).（2）整個波陣面在點所產(chǎn)生的振動，等于此波陣面上所有面元發(fā)出的子波在該點所產(chǎn)生的振動總和，即（19-2）一般來說，上式積分相當(dāng)復(fù)雜，但在波陣面已通過的波面法線為軸而有回轉(zhuǎn)對稱的情況下，可以用代數(shù)加法和矢量加法來代替積分.

§19.2單縫衍射圓孔衍射一、夫瑯和費衍射當(dāng)平行光垂直照射在單縫上，衍射后經(jīng)透鏡會聚后在焦平面處的屏幕上呈現(xiàn)出衍射條紋.刺即夫瑯和費衍單縫衍射，簡稱為單縫衍射.單縫衍射條紋的形成及光強分布可以用菲涅耳波帶法定性研究和積分法定量研究，而我們僅用菲涅耳波帶法進行定性研究.單縫衍射圖樣的形成及特點，如圖2所示，設(shè)單縫的寬度為（實際的單縫是一個長度比寬度大的多的長方形孔），入射光波長為.在平行單色光的垂直照射下，單縫所在處的平面是一個波陣面，根據(jù)惠更斯原理，波陣面上各點發(fā)射的初相位相同的子波即衍射光線向各個方向傳播，方向相同的一組衍射光線經(jīng)透射鏡會聚與屏幕上同一點，不同方向的衍射光線分別會聚在屏幕上不同位置.衍射光線的方向用衍射光線與縫平面發(fā)線的夾角表示，叫做衍射角.圖2單縫衍射圖樣的形成當(dāng)衍射光纖1與入射光線方向相同，即衍射角時，從波陣面（同位相面）到達點的光程相等，即光程差等于零，故各衍射光線到達點時同相位.因此，他們在點的波振動相互加強，在屏幕上點處就形成平行于縫的明條紋，稱為中央明紋.圖2單縫衍射圖樣的形成當(dāng)衍射光線與入射光線方向不同，即衍射角為任意值時，相同衍射角的光線2經(jīng)透鏡匯聚于屏幕上某點，由縫上各點發(fā)出的衍射光線到達點的光程不相等.過點作線垂直于衍射光線2，由透鏡的等光程性可知，從面上，各點到達點的光程相等，所以各衍射線間的光程差就由它們從縫上的相應(yīng)位置到面的距離之差來確定，而單縫兩端點和點衍射線間的光程差為顯然，這是沿衍射角方向的最大光程差.費涅耳采用將波陣面分割成許多面積相等的波帶的方法，即菲涅耳波帶法，定性地解決了上述問題.菲涅耳波帶法：用一組間距為半波長的平行于的平面把分成若干相等的部分，同時，這些平面也把單縫處的波面分成數(shù)目相等的波帶，因為每個波帶的面積相等，所以每個波帶發(fā)生的子波數(shù)可以認為是相等的，這時相當(dāng)于兩個半波長.由于兩相鄰波帶上任何兩個對應(yīng)的點各自發(fā)出的光線，從出發(fā)點到點的光程差總等于半波長，即在點會聚時周相差總等于，因此他們在點的光振動是相互抵消的，于是點處出現(xiàn)暗條紋.如果將分為三個波帶，則相當(dāng)于三個半波長.顯然，相鄰兩個波帶發(fā)出的光線在屏幕上會聚點的光振動可以互相抵消，但由于是奇數(shù)個半波長，因此在點總有一個半波帶的振動存在，因此在點處出現(xiàn)明條紋.因屏上各點與衍射角一一對應(yīng)，不同角又對應(yīng)縫按半波帶的不同分割情況.當(dāng)角由小變大，對應(yīng)的衍射線間的最大光程差逐漸增大，縫可分成的半波帶數(shù)也由少到多，在屏幕上顯示明暗條紋的分布而形成單縫衍射圖樣.I0圖3單縫衍射條紋中光強分布由此可見，對于某一給定的，光程差恰等于半波長的偶數(shù)倍，單縫恰被分為偶數(shù)各波帶，其發(fā)出的光線在點的振動都成對地相互抵消，而在點處出現(xiàn)暗條紋.若光程差等于半波長的奇數(shù)倍，單縫卻被分為奇數(shù)個波帶，光振動相互抵消的結(jié)果總要剩下一個波帶發(fā)出的光線在會聚點沒有被抵消，因而點處出現(xiàn)明條紋.即I0圖3單縫衍射條紋中光強分布（19-3）式中正、負號表示各級衍射條紋對稱地分布在中央明紋兩側(cè).條紋及光強分布如圖3所示，由中央到兩側(cè)，條紋級次由低到高，光強迅速下降.而中央明條紋集中了大部分光能，最亮，同時也最寬.這是由于增大，單縫被分成的波帶數(shù)就越多，即衍射角越大，每一個帶的面積就越小，而未被抵消的波帶面積也就越小，所以光強迅速由最大值減小到零.條紋寬度：條紋對透鏡光心所長的角度稱為條紋的角寬度.由于中央明紋位置滿足.在夫瑯和費單縫衍射中，一般很小，則，于是角寬度.(19-4)第級明條紋位置在很小時滿足.(19-5)圖4例題19.1用圖可見中央明紋的寬度是其他明紋的兩倍.當(dāng)波長不變時，各級條紋的角寬度與縫寬成反比，即越小，條紋鋪展愈寬，衍射數(shù)應(yīng)愈顯著；反之，衍射效應(yīng)減弱.當(dāng)時，，各明紋向中央明紋靠攏而形成一亮斑，光線呈現(xiàn)出光的直線傳播，波動光學(xué)趨于幾何光學(xué).當(dāng)縫寬不變時，各級條紋的位置和角寬度因波長而異.若用白光做光源，各種波長的中央明紋仍為白色，而中央明紋邊緣伴有彩色，其他各級明紋成為彩色條紋并將出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象.圖4例題19.1用圖例題19.1用波長的平行光垂直入射到寬為的單狹縫上，縫后放置一焦距的透鏡.求在透鏡焦面所形成的中央明紋的線寬及第一級明紋的位置.解：單縫衍射中央明紋的線寬度應(yīng)等于焦平面上兩個第一級暗條紋的距離.如圖4所示，設(shè)第一級暗紋角位置為，到焦平面中心的距離為，則有.由（19-3）式有第一級暗紋角位置為.圖5（a）實驗裝置簡圖因在夫瑯和費單縫衍射中，一般很小，有，由此關(guān)系并由上兩式可得中央明紋線寬度圖5（a）實驗裝置簡圖設(shè)焦平面上第一級明條紋的角位置為，到中心的距離為，則有.由（19-3）式，應(yīng)滿足圖5（b）愛里斑.圖5（b）愛里斑因很小，，則焦平面上第一級明紋位置二、夫瑯和費圓孔衍射SAL1如圖5（a）所示，用一圓孔代替單縫，同樣也會產(chǎn)生衍射現(xiàn)象，此就是夫瑯和費圓孔衍射.當(dāng)用單色平行垂直照射到小圓孔上時，若在圓孔后放置焦距為的透鏡，則在透鏡的角平面處的屏幕上出現(xiàn)明、暗交替的圓環(huán).中心光斑最明亮，叫愛里（G.Arry）斑，其光強分布如圖5（b）所示.第一暗環(huán)里的角位置（衍射角）與圓孔直徑及入射的單色光波長滿足SAL1ADADL2fd圖6愛里斑角直徑可見，第一暗環(huán)的大?。磹劾锇叩拇笮。┖蛨A孔直徑成反比.如果，則，此時愛里斑縮至點，結(jié)果在出形成一亮點，此即光源經(jīng)透鏡和所造成的像.此時，波動光學(xué)過渡為幾何光學(xué).而式中為愛里斑的直徑對透鏡中心張角的一半。稱愛里斑的角半徑.見圖6所示，由幾何關(guān)系，愛里斑角直徑為.(19-6)由此可得愛里斑直徑，入射單色光波長，圓孔直徑及透鏡焦距的關(guān)系為.(19-7)

§19.3光學(xué)儀器的分辨率ababLDE圖7最小分辨率d/2一般光學(xué)儀器中都有一些透鏡，透鏡的邊框可以看成為一個圓孔.若在遠處有兩個電光源，它們各自發(fā)出的光到達透鏡時可看成是平行光，在透鏡焦平面上形成兩個衍射圓環(huán)紋.若兩個圓環(huán)（愛里斑）相距充分遠，或愛里斑半徑充分小，則可清楚地分辯它們；若兩個圓環(huán)相距很近，以致它們重疊很厲害而不能分辨它們.為了能分辨清兩個像點，瑞利（L.Ragleigh）提出了一個判據(jù)：如果第一個愛里斑和第二個愛里斑的邊緣相重合，我們說這兩個像點恰能分辨開.如圖7可看出，這時兩個衍射中心的角間距d/2（19-8）如果兩個物點相對于透鏡所張的角小于，則這兩個物體不可分辨，如果大于它，這兩個物點就可分辨.因此稱為最小分辨角.在光學(xué)儀器中把的倒數(shù)（19-9）叫做光學(xué)儀器的分辨率，即分辨本領(lǐng)可見，為了提高光學(xué)儀器的分辨率，可增大透鏡直徑或者減小入射光的波長.例題19.2用一架望遠鏡觀察天空中的兩顆星，這兩顆星相對于望遠鏡所張的角，由這兩顆星發(fā)出的光波波長均為.若要分辨出這兩顆星，求所用望遠鏡的口徑至少需多大？解：根據(jù)公式可得.

§19.4衍射光柵衍射光譜在實際測定中使用衍射光柵來測定光波波長.衍射光柵，狹義地講，是由一系列平行的等寬、等間隔的狹縫所組成的；廣義地講，任何只要能起等寬而又等間隔地分割波陣面的作用而產(chǎn)生衍射現(xiàn)象的裝置均稱為衍射光柵.一、衍射光柵的衍射現(xiàn)象光柵有反射光柵和透射光柵兩大類，我們僅討論透射光柵的衍射.常用的透射光柵是用光學(xué)玻璃制成的，在玻璃片上刻有大量等寬間距的平行刻痕，在刻痕處，因為玻璃變毛，入射光線發(fā)生散射，幾乎是不透光的，而相鄰兩刻痕之間的光滑部分與一個狹縫相當(dāng)，可以透光.精制的光柵，1cm的寬度上可達10000條以上，若刻痕的寬度為，則叫做光柵常數(shù)，當(dāng)刻痕為10000條，則光柵常數(shù).當(dāng)一束平行單色光垂直入射到光柵上，對光柵中每一狹縫，都可以產(chǎn)生衍射效應(yīng)，并在屏幕上形成各自的衍射圖樣.二、光柵衍射條紋的形成光柵衍射條紋的分布于單縫衍射情況不同，在單縫衍射中，中央明條紋寬度很大，其他各級明條紋寬度較小，且其強度也隨級數(shù)遞降.而在光柵衍射中，狹縫數(shù)目越多，則屏幕上明條紋變得越亮越細窄，且分得越開，即各細亮明條紋之間的暗區(qū)擴大了.對光柵中每一個寬度相等的狹縫來說，它們各自在屏幕上產(chǎn)生強度相同和位置重合的單縫衍射圖樣.但是由于光柵中含有一系列相等面積的平行狹縫，并且從個狹縫射出的光束相互之間要發(fā)生干涉，所以最后形成光柵衍射條紋的并不只是由單個狹縫所起的作用，而更重要的還有許多狹縫發(fā)出的光束之間的干涉，即多光束的干涉作用.因此，光柵衍射條紋是在單縫衍射的基礎(chǔ)上，縫與縫之間的干涉作用的總效果.三、光柵方程如圖8所示，在方向衍射的光線，所用狹縫中有許多彼此相距為的對應(yīng)點.從各狹縫對應(yīng)點沿方向發(fā)出的光線經(jīng)透鏡聚焦而達屏幕上點時，這些光線中任兩條相鄰光線之間的光程差都是.如滿足入射光波長的整數(shù)倍，即滿足，（19-10）圖8衍射光柵時，所有對應(yīng)發(fā)出的光線到達點時周期都是相同的，因而相互干涉加強.即在點出現(xiàn)明條紋.這種明條紋稱為光柵條紋，（19-10）式叫做光柵方程.為光柵常數(shù).由于這種明條紋是由所用狹縫的對應(yīng)點發(fā)射的光線的疊加而成，所以強度最大.光柵的狹縫數(shù)目愈多，則明條紋愈亮.圖8衍射光柵在兩條相鄰的明條紋之間，分布著許多暗條紋.當(dāng)滿足，（19-11）時，出現(xiàn)暗條紋.式中為狹縫的總數(shù)，為正整數(shù)，.由（19-11）式可見.在兩個明條紋之間，分布著條暗條紋，在暗條紋之間還有其他的個強度很小的明條紋，這些明條紋幾乎觀察不到，所以在兩個明條紋之間是一片連續(xù)的暗區(qū).可以證明，縫數(shù)愈多，暗條紋也愈多，暗區(qū)愈大，即明條紋愈細窄.這樣，就很容易確定明條紋的位置，因而可用衍射光柵精確測定光波的波長.實驗中測定條紋時不是用屏幕，而是用于以繞光柵轉(zhuǎn)動的望遠鏡來觀測.用衍射光柵測定光波波長的方法為：先用望遠鏡測出光柵常數(shù)，然后將光柵放在分光計上，從分光計上的讀數(shù)可以測定相應(yīng)的偏離角度，將光柵常數(shù)、角度等數(shù)值代入（19-10）式，就可得到波長.四、衍射光譜第一級光譜第二級光譜第三級光譜中央條紋第一級光譜第二級光譜第三級光譜中央條紋白光紫1紅1紫2紫3紅2紅3圖9光柵光譜由于各種物質(zhì)都有各種不同的光譜.因此在工程技術(shù)等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用光柵光譜分析物質(zhì)的成分.例題19.3波長為500nm及520nm的光照射于光柵常數(shù)為0.002cm的衍射光柵上.在光柵后面用焦距為2m的透鏡會聚在屏幕上，求這兩種光線的第三級光譜線間的距離.解：根據(jù)光柵公式得.第三級光譜中，，因此.設(shè)為譜線為中央明條紋間的距離（即圖8中），為光柵與屏幕間的距離或透鏡的焦距，則，因此對第三級譜線有由于角很?。ㄓ脭?shù)字代入可以看出），所以，因此波長為520nm與500nm的兩種光線的第三級譜線間的距離為

§19.5倫琴射線衍射布喇格公式一、倫琴射線衍射圖10勞厄?qū)嶒瀀射線又稱倫琴射線，它是1955年，德國物理學(xué)家倫琴（W.K.R?ntgen）在用真空放電管研究陰極射線時首先發(fā)現(xiàn)的.1912年勞厄（Laue）才肯定證明了倫琴射線是一種波長很短的電磁波,波長約0.1nm左右.倫琴射線與光波一樣，具有反射、折射、干涉、衍射、偏振等性質(zhì).由于其波長很短，當(dāng)透過普通光柵時，則看不到任何衍射現(xiàn)象，只有自一定條件下才顯示出衍射現(xiàn)象.勞厄指出，晶體是由按一定的點陣在空間作用周期性排列的原子構(gòu)成的，晶體中相鄰原子的間距為幾埃的數(shù)量級，與倫琴射線的波長同數(shù)量級.因此，晶體相當(dāng)于光柵常數(shù)很小的空間衍射光柵.據(jù)此猜想，果然觀察到了倫琴射線通過晶體后產(chǎn)生的衍射圖樣，從而證實了倫琴射線的波動性.勞厄的實驗裝置如圖10所示.當(dāng)倫琴射線穿越過鉛板上的小孔后，射到一薄片晶體上，結(jié)果在垂直于射線的照相底片上形成一系列按一定規(guī)則分布的斑點，這種斑點叫做勞厄斑。圖10勞厄?qū)嶒灦?、布喇格公式O1234圖11布喇格公式推導(dǎo)1913年，英國物理學(xué)家布喇格父子（W.HO1234圖11布喇格公式推導(dǎo)，式中為晶面間的距離（個原子層之間的距離），叫做晶格常數(shù)（或叫晶面間距）.當(dāng)光程差等于入射倫琴射線波長的整數(shù)倍，即，（19-12）時，各晶面的反射線相互干涉而加強，形成亮點.此式稱為布喇格公式，如果用已知晶格常數(shù)的晶體作光柵，則可由測定的角，求得倫琴射線的波長；若對原子發(fā)射的倫琴射線的光譜進行分析，可用來研究原子內(nèi)部結(jié)構(gòu).如果倫琴射線的波長已知，就可根據(jù)它在晶面上的衍射確定晶體的晶格常數(shù)，以研究晶體結(jié)構(gòu)，這在工業(yè)上及科技上有著廣泛的應(yīng)用.例題19.4當(dāng)倫琴射線照射巖鹽晶體發(fā)生第一級反射而加強時，測的射線與晶體表面的掠射角為.已知巖鹽的晶格常數(shù)，求該倫琴射線的波長.解：已知時的掠射角和晶格常數(shù)，由布喇格公式，可得倫琴射線的波長為.

§19.6全息照相原理圖12物光和參照光在感光底片上的疊加在現(xiàn)光虛像點圖12物光和參照光在感光底片上的疊加在現(xiàn)光虛像點Y（+1級）（+1級）（-1級）BA(-1級)實像點圖13全息照相再現(xiàn)示意圖全息照片記錄（拍攝）過程的示意圖如圖12所示.有激光器發(fā)射出的激光（單色光）由分束鏡分成兩束，一束經(jīng)全反射鏡改變光路，由擴束鏡擴大照射到被攝物體上，在經(jīng)物體反射后照射到感光底片上，這部分光叫物光；另一束經(jīng)全反射鏡改變光路，由擴束鏡擴大后直接照射到感光底片上，這部分光叫做參考光.物光和參考光發(fā)生干涉，結(jié)果在照相底片上記錄下將發(fā)生漫反射，因此，物體上每一點都可以把光反射到整個感光底片上，也就是感光底片上每一點都接到整個物體的光.因為物體上反射出來的物光的光強和位相不同，所以物體反射光中的全部信息都以干涉條紋的形式記錄在感光底片上，經(jīng)過顯影和定影后，就制成了全息照片.為再現(xiàn)被拍攝物體，用激光照射全息片，如果照射的激光和底片的相對位置和拍攝時的參考光一樣，從底片的一側(cè)觀察到物體的虛像，它和原來的實物一模一樣.激光通過底片，同時還成一個實像，用一個光屏可在全息片的另一側(cè)觀察.其示意圖如圖13所示全息照相的紀錄過程是物光和參考光在底片上干涉的結(jié)果.為了簡單起見，我們分析一個物點的情況.設(shè)點時一物點，屏幕到點的距離為，單色片面垂直照射到屏幕，如圖14所示.點被光照以后將成為一散射