2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練（全國）專題37 最值模型之瓜豆模型（原理）直線解讀與提分精練（原卷版）

專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線動點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u ③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；注意：若動點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對角線）為其他已知軌跡的線段求最值。例1．（2024·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．例2．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接，則，連接，則周長的最小值是．例3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為．例4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．例5．（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為.例6．（2024·重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．例7．（2024·廣東·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則長的最小值是（）A．2 B．2.5 C． D．1．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一個動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是（

）.A．4 B． C． D．2．（2024·湖南長沙·一模）如圖，矩形中，，F(xiàn)是上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，連接，將繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則的最小值為．3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形對角線上一動點(diǎn)，連接，以為邊向上作正方形，對角線交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為

4．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點(diǎn)，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為．

5．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時，的最小值是．

6．（2023上·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上一動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，線段繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連接，則的最小值是．

7．（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，且，連接，則線段長度的最小值為______．9．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)在直線上，于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，以為邊作等邊，連接，則的最小值為．10．（2024·四川達(dá)州·三模）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，則的最小值是．11．（2024·四川成都·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)，為直線上的兩個動點(diǎn)，且，將線段關(guān)于翻折得線段，連接．當(dāng)線段的長度最小時，的度數(shù)為度．12．（23-24八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，中，，，，D是線段上一個動點(diǎn)，以為邊在外作等邊．若F是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．

13．（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）等邊邊長為6，D是中點(diǎn)，E在上運(yùn)動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為．14．（23-24九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延長線上一點(diǎn)，E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的長；(3)如圖3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直線AB上運(yùn)動，以DE為斜邊向上構(gòu)造直角△DTE，且∠E＝30°，請直接寫出CT的最小值是．15．（2023·山東臨沂·二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時，作，垂足為M，求證：；(2)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，試探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．16．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時，點(diǎn)隨之運(yùn)動，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．17．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題：四邊形是邊長為3的正方形，點(diǎn)E是邊上的一動點(diǎn)，連接，以為一邊作正方形（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時針方向排列），連接，．(1)如圖1，求點(diǎn)G到的距離，請寫出解答過程；【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)D時，求的長，請寫出解答過程；【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：(3)求代數(shù)式的最小值．經(jīng)過小組研討，組長小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；解題思路：如圖3，作等腰直角，使，連接，，，則點(diǎn)C，D，三點(diǎn)共線，由，，可得，由，，可得，……請完成“……”部分的解答過程．18．（2024·山東濟(jì)南·一模）【問題情境】：（1）如圖1，四邊形是正方