2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練（全國(guó)）專題38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲線解讀與提分精練（原卷版）

專題38最值模型之瓜豆模型（原理）曲線動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問(wèn)題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類） 1 12模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）“主從聯(lián)動(dòng)”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語(yǔ)“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫作從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問(wèn)題通常用到旋轉(zhuǎn)、全等和相似。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？分析：如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析：如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析：如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-4.為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱P為“主動(dòng)點(diǎn)”，Q為“從動(dòng)點(diǎn)”。此類問(wèn)題的兩個(gè)必要條件：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；②主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：AQ是定值）。分析：如圖，連結(jié)AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。特別注意：很多題目中主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。（1）定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。（2）定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧．如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。例1.（2024·河南南陽(yáng)·三模）如圖，點(diǎn)，半徑為2，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3例2．（2023·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則點(diǎn)C到直線的最小距離為（）A．1 B． C． D．例3．（2023春·湖北黃石·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，P是以邊為直徑的上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊三角形，連接，若，則線段的最大值為．例4．（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B是上一點(diǎn)，的半徑為2，將繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接，則線段的最小值為（

）

A． B． C．5 D．6例5．（2024·江蘇南通·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°并縮短到原來(lái)的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

例6．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．例7．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，，平面上有一點(diǎn)P，，連接，，取的中點(diǎn)G．連接，在繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，則的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．5例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圖形與圖形給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，將圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，將所有組成的圖形記作，稱是圖形關(guān)于圖形的“關(guān)聯(lián)圖形”．(1)已知，，，其中．若，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”；若點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍；(2)對(duì)于平面上一條長(zhǎng)度為的線段和一個(gè)半徑為的圓，點(diǎn)在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值和最小值的差為，當(dāng)這條線段和圓的位置變化時(shí)，直接寫出的取值范圍（用含和的式子表示）．1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是1，連接，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長(zhǎng)度的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，P是以A為圓心，以為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為（）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)的動(dòng)直線a，b，其夾角，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．4．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）等邊的邊長(zhǎng)為，是上一點(diǎn)，，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，的中點(diǎn)為，連接．則長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．5．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，，平面上有一點(diǎn)P，，連接，，取的中點(diǎn)G．連接，在繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，則的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．56．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形邊的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接，將線段以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

8．（2024年成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)西區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試題）如圖，，，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段沿直線進(jìn)行翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，以為斜邊在直線的左側(cè)或者下方構(gòu)造等腰直角三角形，則點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，線段的最小值是，當(dāng)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總路徑長(zhǎng)是．9.（2023·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是上的任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)并縮短到原來(lái)的一半，得到線段，連接，則的最小值是．

10．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在矩形中，，，是矩形左側(cè)一點(diǎn)，連接、，且，連接，為的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值為．11．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，以為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，并將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，長(zhǎng)度的最大值是．

12.（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在外，已知，是等邊三角形，則的面積的最大值為

13．（2024·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)E為上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點(diǎn)F在直線BC的上方，且滿足，連結(jié)BF．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，BF的值為．點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BF存在最大值為．14．（23-24九年級(jí)·重慶·階段練習(xí)）如圖，，為的中點(diǎn)，的半徑為1，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊的等腰直角三角形（點(diǎn)、、按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校瑒t線段的長(zhǎng)的取值范圍為．15．（2024·浙江·一模）如圖，在矩形中，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的度數(shù)最大值恰好為，則的長(zhǎng)度為．16．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出：如圖①，在矩形中，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________（2）問(wèn)題探究：如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，且，連接，在上方作正方形，求的最大值．（3）問(wèn)題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運(yùn)會(huì)，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對(duì)一正方形區(qū)域進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，方使大家鍛煉運(yùn)動(dòng)．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計(jì)等腰直角為健身運(yùn)動(dòng)區(qū)域，直角頂點(diǎn)E設(shè)計(jì)在草坪區(qū)域扇形的弧上．設(shè)計(jì)鋪設(shè)和這兩條不同造價(jià)鵝卵石路，已知米，米，，，若鋪設(shè)路段造價(jià)為每米200元，鋪設(shè)路段的造價(jià)為每米100元，請(qǐng)求出鋪設(shè)和兩條路段的總費(fèi)用的最小值．

17．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，的半徑為2，點(diǎn)是外的一個(gè)定點(diǎn)，．點(diǎn)在上，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑．【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問(wèn)題；如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，通過(guò)證明，可推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．1°當(dāng)點(diǎn)在直線外時(shí)，證明過(guò)程缺失2°當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，易知．綜上，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓．請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，．點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，，連接．作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為________________．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接．設(shè)線段長(zhǎng)度的最大值為，最小值為，則________________．18．（2024·吉林·二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，小明遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，已知半徑是，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，，求證：線段的最大值為．【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)分析，如圖，小明將延長(zhǎng)交于點(diǎn)，并猜想此時(shí)最大，為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，小明想利用如下方法來(lái)解決，下面是部分證明過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全缺失的部分．證明如圖，在上任意取一點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)重合，連結(jié)、，證明過(guò)程缺失則，則此時(shí)，最大，最大值為．【問(wèn)題延申】如圖，