用高中必修一二次函數(shù)與一元二次方程根的分布(2013年)

二次函數(shù)與一元二次方程根的分布函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x就做函數(shù)y=f(x)的零點.如f(x)=x2-3x+2,當f(x)=0時,x=1或x=2,則1和2就是函數(shù)f(x)=0的兩個零點；注意：函數(shù)的零點是個數(shù)，而不是點。

由此得出以下三個結(jié)論等價：函數(shù)的零點的定義方程f(x)=0有實根函數(shù)y=f(x)有零點判別式與一元二次方程根的關(guān)系

★一元二次方程

★已知一元二次方程在某個區(qū)間上有實根，求其中字母系數(shù)的問題稱為根的分布問題。實根分布問題一般考慮三個方面，即：一元二次方程根的分布（1）判別式（2）對稱軸（3）區(qū)間端點函數(shù)值的符號。根的分布的三要素我們研究一元二次方程二次項系數(shù)為正的情況，當二次項系數(shù)為負時，開口向下，利用相同的方法研究即可。問題1:關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有兩個正根,求m的范圍。用以前學過的解法：韋達定理法你還有其他思路嗎？能從二次函數(shù)入手思考該問題嗎？解：設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則解：方程x2＋(m－3)x＋m=0有兩個正根,即兩根分布在（0,+∞)上，由圖象知只需滿足以下條件：問題1:關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有兩個正根,求m的范圍。根的分布法O判別式對稱軸端點函數(shù)值根的分布的三要素：比較兩種方法：韋達定理法根的分布法1.兩種方法：形式不同，本質(zhì)一樣；3.根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值2.用韋達定理法更簡單一些；（2）兩負實根；（3）兩實根均小于1；（4）兩實根均大于0.5；（5）兩實根均在(0,2)；（6）一正一負兩實根；（7）一個正根，一個負根且正根絕對值較大（8）兩實根中，一根大于1，一根小于1；（9）兩實根中有且只有一根在(0,2)；（10）兩實根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（11）兩實根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（12）一個根小于2，一個根大于4。問題:方程滿足下列條件x2+(m-3)x+m=0,求m的范圍。（1）兩正實根(已解決)繼續(xù)探究：這么多問題如何在最短時間內(nèi)解決?難還是簡單？思維清晰還是有點亂？(1)-(5)都是兩根在同一區(qū)間內(nèi)。(6)-(12)都是兩根在不同的區(qū)間內(nèi)。問題2：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。（2）有兩個負根解法一：韋達定理法設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則與原點有關(guān)的根的分布問題用韋達定理法求解更簡單一些！解法二：根的分布法問題2：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。（2）有兩個負根根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值yxo

x2＋(m－3)x＋m=0有兩個負根,,即兩根分布在(-∞,0)上,由圖象知只需滿足以下條件：

（3）兩個根都小于1問題3：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解:方程

x2＋(m－3)x＋m=0的兩根都小于1,即兩根分布在(-∞,1)上，由圖象知只需滿足以下條件：yx1根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值0.5xyO（4）兩個根都大于0.5問題4：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解：方程

x2＋(m－3)x＋m=0的兩根都大于0.5，即兩根分布在(0.5,+∞)上，由圖象知只需滿足以下條件：根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值（5）兩個根都在（0,2）內(nèi)問題5：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解：方程

x2＋(m－3)x＋m=0的兩根在(0,2)內(nèi),由圖象知只需滿足以下條件：yx2O根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值問題6：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。（6）一個正根，一個負根設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則解法一：韋達定理法與原點有關(guān)的根的分布問題用韋達定理法求解更簡單一些！解法二：根的分布法xy問題6：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。（6）一個正根，一個負根根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值方程

x2＋(m－3)x＋m=0有一個正根，一個負根，即兩根分布在(-∞,0)和(0,+∞)上，由圖象知只需滿足：

（7）一個正根，一個負根且正根絕對值較大問題7：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解法一：韋達定理法設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則與原點有關(guān)的根的分布問題用韋達定理法求解更簡單一些！解法二：根的分布法xy（7）一個正根，一個負根，且正根絕對值較大問題7：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值方程x2＋(m－3)x＋m=0一個正根,一個負根且正根絕對值較大,即一根在(-∞,0)上,另一根在(0,+∞)上,并且對稱軸在原點的右側(cè)，由圖象知只需滿足：（8）一個根大于1，一個根小于12m-2<0

問題8：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。1xy解：方程x2＋(m－3)x＋m=0一根大于1,一根小于1,即一根在(-∞,1)上,另一根在(1,+∞)上,由圖象知只需滿足：f(1)<0

根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值

（9）兩個根有且僅有一個在（0,2）內(nèi)f(0)f(2)<0問題9：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解：x2＋(m－3)x＋m=0兩個根有且僅有一個在（0,2）內(nèi)，由圖象知只需滿足以下條件：O2xyO2xy根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值m(3m-2)<0

（10）一個根在（-2,0）內(nèi)，另一個根在（1,3）內(nèi)

?問題10：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解：方程f(x)＝x2＋(m－3)x＋m=0的一個根在（-2,0）內(nèi)，另一個根在（1,3）內(nèi)，由圖象知只需滿足以下條件：-2O13xy根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值

（11）一個根在（-2,0）內(nèi)，另一個根在（0,4）內(nèi)問題11：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解：x2＋(m－3)x＋m=0一個根在（-2,0）內(nèi)，另一個根在（0,4）內(nèi)，由圖象知只需滿足以下條件：-2O4xy根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值（12）一個根小于2，一個根大于4問題12：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求m的范圍。解：x2＋(m－3)x＋m=0一個根小于2，一個根大于4，即一根在(-∞,2)上,另一根在(4,+∞)上,由圖象知只需滿足以下條件：2O4xy根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值1、當一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根分布在同一個區(qū)間內(nèi)時，列不等式組時要考慮哪些因素？用三要素列不等式組即可，根的分布的三要素：判別式對稱軸端點函數(shù)值yxk兩個根都小于kkxy兩個根都大于kyxkk12O兩個根在(k1,k2)內(nèi)小結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）根的分布2、當一元二次方程的根分布在不同的區(qū)間時，列方程組時考慮哪些因素？用端點的函數(shù)值和對稱軸一般可以列出方程組。kxy一個根小于k，一個根大于kyxkk12O兩個根有且僅有一個在(k1,k2)內(nèi)k1k2p1p2xyf(k)f(k)<0f(k)<0小結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）根的分布解決一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)實根分布的方法、步驟：（1）確定方程根分布在同一區(qū)間還是不同區(qū)間；（4）求解不等式即得相應參數(shù)的范圍。（2）方程根分布在同一區(qū)間時利用三要素列出不等式組；（3）方程根分布在不同區(qū)間時利用端點函數(shù)值列出不等式(組)；與原點有關(guān)的根的分布問題用韋達定理法求解更簡單一些！注意：練習：-12<a<0-1<m<0解：m為何實數(shù)值時，關(guān)于x的方程，（1）有實根；（2）有兩正根；（3）一正一負。練習m為何實數(shù)值時,關(guān)于x的方程有兩個大于1的根.練習解：根的分布的應用小結(jié)：通過換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題解：設(shè)t＝2x，則t∈(0,+∞)，于是方程轉(zhuǎn)化為：問題轉(zhuǎn)化為方程(1)有兩相異正實根,求m的取值范圍。則根的分布的應用例3.就實數(shù)k的取值，討論下列關(guān)于x的方程解的情況：根的分布的應用-3上面是具體實例分析，總結(jié)。

下面進行一般性概括，總結(jié)?？捎庙f達定理:可用韋達定理可用韋達定理f(0)<0ac<0mmmk1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1k1②驗證區(qū)間端點的函數(shù)值：若圖象過端點，則端點值為方程的根，將端點值代入方程，解得參數(shù)，求出另一根x2，若x2∈（k1,k2),則合題意。注意：兩個端點都需要驗證。分兩種情況討論：分兩種情況討論：②驗證區(qū)間端點的函數(shù)值：若圖象過端點，則端點值為方程的根，將端點值代入方程，解得參數(shù)，求出另一根x2，若x2∈[k1,k2],則不合題意。注意：兩個端點都需要驗證。分兩種情況討論：②驗證區(qū)間端點的函數(shù)值：若圖象過端點，則端點值為方程的根，將端點值代入方程，解得參數(shù)，求出另一根x2:當代入端點值k1時,若x2∈(k1,k2],則合題意；當代入端點值k2時,若x2∈(k1,k2],則不合題意。m為何實數(shù)值時，關(guān)于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的兩根:(1)都為正根;(2)為異號根,且負根的絕對值大;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小于2;(5)都在(0,2)上;(6)都在[0,2]上;(7)只有一根在(0,2)上;(8)只有一根在[0,2]上.練習(7,9]∪[25,+∞)(-∞,1)[25,+∞)(27,+∞)(7,9]∪[25,27)[7,9]∪[25,27](-∞,7]∪[27,+∞)(-∞,7)∪(27,+∞)(7)解:①由f(0)f(2)<0得:②當x=0為方程的根時,解得m<7或m>27.(m-7)(-m+27)<0,即(m-7)(m-27)>0,解得m=7,m-7=0,則方程為8x2-6x=0,解得另一根為∈(0,2),合題意;當x=2為方程的根時,解得m=27,32-2m+2+m-7=0,則方程為8x2-26x+20=0,解得另一根為∈(0,2),合題意。即4x2-13x+10=0,例題已知x2-6x-2a+4=0在[0,1]上有解，求a的取值范圍。解：a=(x2-6x+4)其對稱軸為x=3,∵x∈[0,1]∴a=(x2-