2024年中考模擬試卷數(shù)學(xué)（廣東深圳卷）

2024年中考第二次模擬考試（深圳卷）數(shù)學(xué)第一部分選擇題一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分．每題給出4個選項，其中只有一種是正確旳）1．2023年第31屆世界水日宣傳語為：珍惜每滴清水，擁有美好明天．世界水日提醒我們節(jié)約用水要從生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴做起．小麗將節(jié)約用水3立方米記作立方米，那么浪費(fèi)用水2立方米記作（

）A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米2．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對稱圖形有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．2023年江西為辦好10件民生實事，加大創(chuàng)業(yè)擔(dān)保貸款扶持力度，決定增加安排擔(dān)保基金6000萬元．將6000萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．4．為迎接體育中考，九年級（1）班八名同學(xué)課間練習(xí)墊排球，記錄成績（個數(shù)）如下：40，38，42，35，45，40，42，42，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．40，41 B．42，41 C．41，42 D．41，405．已知有兩個全等的含角的直角三角板，斜邊長為2，其初始位置如下圖左圖所示，將一個三角板保持不動，另一個三角板沿斜邊向右下方平移，當(dāng)四邊形是菱形時，平移距離的長為（

）A．1 B． C． D．26．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．≠≠7．如圖A、O、B在同一條直線上，如果OA的方向是北偏西，那么OB的方向是南偏東（

）A． B．30° C．60° D．8．某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該電商又用11000元購進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購進(jìn)了40件，求購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價．設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)．則的值是（

）A． B． C． D．10．如圖（1），點(diǎn)P為菱形對角線上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上一定點(diǎn)，連接，，．圖（2）是點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)C時，的面積y隨的長度x變化的關(guān)系圖象（當(dāng)點(diǎn)P在上時，令），則菱形的周長為（

）A． B． C．20 D．24第二部分非選擇題填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）11．從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取一名去參加“喜迎二十大”演講比賽，則恰好抽到乙同學(xué)的概率是．12．若，則=，=．13．如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上．若，則．14．如圖，在中，軸，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D落在x軸正半軸上，的對應(yīng)線段恰好經(jīng)過點(diǎn)O．則k的值是．15．如圖，在正方形中，以為邊作等邊三角形，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③和的面積比為；④．其中結(jié)論正確的序號有．三、解答題（本大題共7小題，其中第16小題5分，第17題7分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16．計算：．17．先化簡，再求值：，其中．18．2018年全國青少年禁毒知識競賽開始以來，永州市青少年學(xué)生躍參如，掀起了學(xué)習(xí)禁毒知識的熱潮，禁毒知識競賽的成績分為四個等級：優(yōu)秀，良好，及格，不及格．為了了解我市廣大學(xué)生參加禁毒知識競賽的成績，抽取了部分學(xué)生的成績，根據(jù)抽查結(jié)果，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（1）本次抽查的人數(shù)是；（2）扇形統(tǒng)計圖中不及格學(xué)生所占的圓心角的度數(shù)為度；（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（4）若某校有2000名學(xué)生，請你估計該校學(xué)生知識競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”和“良好”兩個等級共有多少人？19．北京時間12月18日晚23點(diǎn)，2022年卡塔爾世界杯決賽，阿根廷對戰(zhàn)法國.阿根廷最終戰(zhàn)勝法國，時隔36年再次奪得世界杯冠軍，這也是阿根廷隊歷史第3次在世界杯奪冠，梅西賽后接受采訪時說道，“我們受到了很多挫折，但我們做到了”，世界杯結(jié)束后，學(xué)生對于足球的熱情高漲.為滿足學(xué)生課間運(yùn)動的需求，學(xué)校計劃購買一批足球，已知購買3個A品牌足球和2個B品牌足球共需480元；購買5個A品牌足球和2個B品牌足球共需640元(1)求A，B兩種品牌足球的單價；(2)若該校計劃從某商城網(wǎng)購A，B兩種品牌的足球共20個，其中購買A品牌的足球不少于3個且不多于B品牌的足球個數(shù)，求該校購買這些足球共有幾種方案？20．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD，交⊙O于點(diǎn)D．連接CD交AB于點(diǎn)E，延長BD和CA相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AG∥CD交BP于點(diǎn)G．(1)求證：直線GA是⊙O的切線．(2)求證：AG?AD＝GD?AB．(3)若tan∠AGB＝，PG＝6，求sin∠P的值．21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸是直線．該函數(shù)圖象和x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．（1）求該函數(shù)解析式；（2）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為Q，求PQ的最大值．22．（1）課本再現(xiàn)：如圖所示的是北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)課本上的一道題：如圖，在矩形中，，，是上不與和重合的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)分別作和的垂線，垂足分別為，．求的值．如圖1，連接，利用與的面積之和是矩形面積的，可求出的值，請你寫出求解過程．（2）知識應(yīng)用：如圖2，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處．點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)分別作直線，的垂線，垂足分別為和，以，為鄰邊作平行四邊形，若，，求平行四邊形的周長．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)時，過點(diǎn)分別作直線、、的垂線、垂足分別為點(diǎn)、、．若，請直接寫出的面積．

2024年中考第二次模擬考試（深圳卷）數(shù)學(xué)·全解全析第一部分選擇題一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分．每題給出4個選項，其中只有一種是正確旳）1．2023年第31屆世界水日宣傳語為：珍惜每滴清水，擁有美好明天．世界水日提醒我們節(jié)約用水要從生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴做起．小麗將節(jié)約用水3立方米記作立方米，那么浪費(fèi)用水2立方米記作（

）A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米【答案】A【分析】此題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，熟練掌握相反意義量的定義是解本題的關(guān)鍵．利用相反意義量的定義判斷即可．【詳解】解：如果節(jié)約用水3立方米記作立方米，那么浪費(fèi)用水2立方米記作立方米．故選：A2．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對稱圖形有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，符合題意；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對稱圖形，不符合題意；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，符合題意；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，符合題意；其中軸對稱圖形有3個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的知識，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵．3．2023年江西為辦好10件民生實事，加大創(chuàng)業(yè)擔(dān)保貸款扶持力度，決定增加安排擔(dān)保基金6000萬元．將6000萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，當(dāng)絕對值時，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n負(fù)整數(shù)．【詳解】解：，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟記概念是解題的關(guān)鍵．4．為迎接體育中考，九年級（1）班八名同學(xué)課間練習(xí)墊排球，記錄成績（個數(shù)）如下：40，38，42，35，45，40，42，42，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．40，41 B．42，41 C．41，42 D．41，40【答案】B【分析】先將數(shù)據(jù)從大到小從新排列，然后根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：35，38，40，40，42，42，42，65，眾數(shù)為42；中位數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的知識，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就可能會出錯．5．已知有兩個全等的含角的直角三角板，斜邊長為2，其初始位置如下圖左圖所示，將一個三角板保持不動，另一個三角板沿斜邊向右下方平移，當(dāng)四邊形是菱形時，平移距離的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】利用等角對等邊的性質(zhì)證得EA＝ED，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵CDE是含角的直角三角板，斜邊長為2，∴∠CDE＝90°，∠ECD＝30°，∴ED＝EC＝1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠CAB＝∠CAD＝30°，∵∠CED＝60°，∴∠ADE＝∠EAD＝30°，∴AE＝DE＝1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得DE＝1是解題的關(guān)鍵．6．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)合并同類項的法則，積的乘方運(yùn)算性質(zhì)，同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式分別計算，然后對選項進(jìn)行判斷即可【詳解】A.≠，故選項錯誤B.，故選項正確C.≠，故選項錯誤D.，故選項錯誤故選B【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項、積的乘方、，同底數(shù)冪和完全平方公式，熟練掌握計算法則是解題關(guān)鍵.7．如圖A、O、B在同一條直線上，如果OA的方向是北偏西，那么OB的方向是南偏東（

）A． B．30° C．60° D．【答案】A【分析】如圖所示，只需要求出∠BOE的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意得，∴，∴OB的方向是南偏東，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方位角的計算，對頂角相等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8．某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該電商又用11000元購進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價比第一批每件便宜了5元，但數(shù)量比第一批多購進(jìn)了40件，求購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價．設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】略9．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)．則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)B作，連接．根據(jù)題圖和勾股定理先判斷的形狀，再求出的正弦，利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作，連接．由網(wǎng)格和勾股定理可求得；∴∴是直角三角形．在中，．∵，∴．∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理和解直角三角形，作輔助線平移到直角中，是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖（1），點(diǎn)P為菱形對角線上一動點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上一定點(diǎn)，連接，，．圖（2）是點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)C時，的面積y隨的長度x變化的關(guān)系圖象（當(dāng)點(diǎn)P在上時，令），則菱形的周長為（

）A． B． C．20 D．24【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時，進(jìn)而求出菱形的面積，當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，連接，利用菱形的性質(zhì)，求出邊長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由圖象可知：當(dāng)時，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時，∴，當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，連接，交于點(diǎn)，則：，∴，∴，∴，∴，∴菱形的周長為；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和動點(diǎn)的函數(shù)圖象．熟練掌握菱形的性質(zhì)，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵．第二部分非選擇題填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）11．從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取一名去參加“喜迎二十大”演講比賽，則恰好抽到乙同學(xué)的概率是．【答案】【分析】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．由題意得出從4位同學(xué)中選取1位共有4種等可能結(jié)果，其中選中乙同學(xué)的只有1種結(jié)果，根據(jù)概率公式可得．【詳解】解：從4位同學(xué)中選取1位共有4種等可能結(jié)果，其中選中乙同學(xué)的只有1種結(jié)果，∴恰好選中乙同學(xué)的概率為，故答案為：．12．若，則=，=．【答案】3074【分析】第一個空先利用提公因式法因式分解，再代入計算即可；第二個空利用完全平方公式變形后，代入計算即可．【詳解】解：；．故答案為：30，74．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握因式分解法和熟練利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．13．如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上．若，則．【答案】/26度【分析】本題考查圓周角定理，直徑所對的圓周角是，同弧所對圓周角是相等的；結(jié)合已知條件求得的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵∴．故答案為：．14．如圖，在中，軸，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D落在x軸正半軸上，的對應(yīng)線段恰好經(jīng)過點(diǎn)O．則k的值是．【答案】【分析】先求得是等邊三角形，即可求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得的值.【詳解】∵軸,，，，，，是等邊三角形，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，∴，∴，∴，，∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等，求得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在正方形中，以為邊作等邊三角形，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③和的面積比為；④．其中結(jié)論正確的序號有．【答案】①③④【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，故①正確，由直角三角形和相似三角形的性質(zhì)分別求出，，可判斷②，由三角形的面積公式可得，，可得和的面積比為，故③正確；由直角三角形的性質(zhì)可得，可得，故④正確，即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，是等邊三角形，，，，，，故①正確，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交的延長線于，

，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故②錯誤；是等邊三角形，，，，，四邊形是矩形，，，，和的面積比為，故③正確；，，，，，，，故④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，其中第16小題5分，第17題7分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16．計算：．【答案】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17．先化簡，再求值：，其中．【答案】【分析】先算分式的減法運(yùn)算，再把除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡，最后代入求值，即可．【詳解】原式=======，原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的通分和約分，是解題的關(guān)鍵．18．2018年全國青少年禁毒知識競賽開始以來，永州市青少年學(xué)生躍參如，掀起了學(xué)習(xí)禁毒知識的熱潮，禁毒知識競賽的成績分為四個等級：優(yōu)秀，良好，及格，不及格．為了了解我市廣大學(xué)生參加禁毒知識競賽的成績，抽取了部分學(xué)生的成績，根據(jù)抽查結(jié)果，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（1）本次抽查的人數(shù)是；（2）扇形統(tǒng)計圖中不及格學(xué)生所占的圓心角的度數(shù)為度；（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（4）若某校有2000名學(xué)生，請你估計該校學(xué)生知識競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”和“良好”兩個等級共有多少人？【答案】（1）120人；（2）18；（3）見解析；（4）1000.【分析】（1）根據(jù)優(yōu)秀人數(shù)和優(yōu)秀率即可求出本次抽查的人數(shù)；（2）求出不及格率乘360°即可求出不及格學(xué)生所占的圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)總?cè)藬?shù)和其他人數(shù)計算出良好的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；（4）求出優(yōu)秀率和良好率的和乘2000即可.【詳解】解：（1）本次抽查的人數(shù)為24÷20%＝120（人），故答案為120人；（2）扇形統(tǒng)計圖中不及格學(xué)生所占的圓心角的度數(shù)為360°×＝18°，故答案為18；（3）良好的人數(shù)為120﹣（24+54+6）＝36（人），補(bǔ)全圖形如下：（4）估計該校學(xué)生知識競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”和“良好”兩個等級共有2000×＝1000（人）．【點(diǎn)睛】此題考查的是扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，結(jié)合扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖計算數(shù)據(jù)是解決此題的關(guān)鍵.19．北京時間12月18日晚23點(diǎn)，2022年卡塔爾世界杯決賽，阿根廷對戰(zhàn)法國.阿根廷最終戰(zhàn)勝法國，時隔36年再次奪得世界杯冠軍，這也是阿根廷隊歷史第3次在世界杯奪冠，梅西賽后接受采訪時說道，“我們受到了很多挫折，但我們做到了”，世界杯結(jié)束后，學(xué)生對于足球的熱情高漲.為滿足學(xué)生課間運(yùn)動的需求，學(xué)校計劃購買一批足球，已知購買3個A品牌足球和2個B品牌足球共需480元；購買5個A品牌足球和2個B品牌足球共需640元(1)求A，B兩種品牌足球的單價；(2)若該校計劃從某商城網(wǎng)購A，B兩種品牌的足球共20個，其中購買A品牌的足球不少于3個且不多于B品牌的足球個數(shù)，求該校購買這些足球共有幾種方案？【答案】(1)A品牌足球單價為80元，B品牌足球單價為120元；(2)共有8種方案【分析】（1）根據(jù)購買3個A品牌足球和2個B品牌足球共需480元；購買5個A品牌足球和2個B品牌足球共需640元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）設(shè)購買A品牌足球a個，則購買B品牌足球個，然后根據(jù)購買A品牌的足球不少于3個且不多于B品牌的足球個數(shù)，列出一元一次不等式組，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)A.，B兩種品牌足球的單價分別為x元，y元，根據(jù)題意.，得，解得，答：A品牌足球單價為80元，B品牌足球單價為120元；（2）解：設(shè)購買A品牌足球a個，則購買B品牌足球個，根據(jù)題意.，得，解得，∵a為整數(shù)，∴所以共有8種方案【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．20．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD，交⊙O于點(diǎn)D．連接CD交AB于點(diǎn)E，延長BD和CA相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AG∥CD交BP于點(diǎn)G．(1)求證：直線GA是⊙O的切線．(2)求證：AG?AD＝GD?AB．(3)若tan∠AGB＝，PG＝6，求sin∠P的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）欲證明直線GA是⊙O的切線，只需推知OA⊥GA即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：AC=AD．通過相似三角形△BAD∽△AGD的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；（3）由sin∠P=，所以需要求得線段AD、AP的長度；利用（2）中的AD2=GD?BD和銳角三角函數(shù)的定義求得BD=2GD；根據(jù)△PAG∽△PBA是對應(yīng)邊成比例得到：PA2=PG?PB，即PA2=6（6+3GD）；結(jié)合勾股定理知PA2=AD2+PD2．求出GD，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD，∴BC＝BD．∴點(diǎn)B在CD的垂直平分線上．同理得：點(diǎn)A在CD的垂直平分線上．∴AB⊥CD即OA⊥CD，∵AGCD．∴OA⊥GA．∵OA是⊙O的半徑，∴直線GA是⊙O的切線；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠GAB＝90°，∴∠GAD+∠BAD＝90°．∴∠ABD＝∠GAD．∵∠ADB＝∠ADG＝90°，∴△BAD∽△AGD．∴．∴AG?AD＝GD?AB；（3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°，∴=．∴AD=GD．由（2）知，△BAD∽△AGD，∴，∴AD2＝GD?BD，∴BD＝2GD．∵＝，∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD．∵AGCD，∴∠PAG＝∠PCD．∴∠PAG＝∠PBA．∵∠P＝∠P，∴△PAG∽△PBA．∴PA2＝PG?PB∵PG＝6，BD＝2GD，∴PA2＝6（6+3GD）．∵∠ADP＝90°，∴PA2＝AD2+PD2．∴6（6+3GD）＝（GD）2+（6+GD）2．解得：GD＝2或GD＝0（舍去）．∴AD＝2，AP＝6，∴sin∠P＝＝．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識，在運(yùn)用切線的性質(zhì)時，若已知切點(diǎn)，連接切點(diǎn)和圓心，得垂直；若不知切點(diǎn)，則過圓心向切線作垂直，即“知切點(diǎn)連半徑，無切點(diǎn)作垂直”．21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸是直線．該函數(shù)圖象和x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．（1）求該函數(shù)解析式；（2）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為Q，求PQ的最大值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）根據(jù)二次