2024年中考模擬試卷數(shù)學(xué)（湖南長沙卷）

2024年中考第二次模擬考試（湖南長沙卷）數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．的絕對值是（

）A．2024 B． C． D．2．2024年元旦假期的到來，點燃了消費者的出游熱情，也激發(fā)了旅游市場的活力．元旦假期三天，長沙市共接待游客萬人次．?dāng)?shù)據(jù)“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．4．隨著我國航天領(lǐng)域的快速發(fā)展，從“天宮一號”發(fā)射升空，到天和核心艙歸位，我國正式邁入了“空間站時代”，下面是有關(guān)我國航天領(lǐng)域的圖標，其圖標既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．

5．如圖，過三角形頂點作，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B． C．

D．

7．如圖，在中考體育模擬測試中，某校10名學(xué)生體育模擬測試成績?nèi)鐖D所示，對于這10名學(xué)生的體育模擬測試成績，下列說法錯誤的是（

）A．極差是10 B．眾數(shù)是90分 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分8．“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界普為“中國第五大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂．小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．9．如圖是長沙某4S店新能源車輪胎展廳陳列的輪胎正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)輪胎正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與邊相切．若，，則此輪胎的半徑為（

）A． B． C． D．10．若三條長度分別為，，的線段能構(gòu)成三角形，我們就把稱為三角數(shù)組，已知是三角數(shù)組，則下列說法正確的是（

）①一定是三角數(shù)組；②不一定是三角數(shù)組；③一定是三角數(shù)組；④不一定是三角數(shù)組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．要使代數(shù)式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是．12．若，則的值為．13．如圖，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)為度．14．已知一次函數(shù)，如果y隨自變量x的增大而減小，那么m的取值范圍為．15．如果關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，那么．16．勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：…，若此類勾股數(shù)的勾為，則其弦是．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：．18．化簡：，再從，0，1中選擇一個你喜愛的x的值代入求值．19．長沙第一高樓位于芙蓉區(qū)五一商圈的國金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具體高度，通過下面方法進行測算．如圖，小明站在樓前的平地B處，觀測到國金大廈的最高點G仰角為15°，他朝正前方筆直行走900.8米來到C處，此時觀測到國金大廈的最高點G仰角為30°，若小明的眼睛離地面1.6米．(1)求長沙第一高樓國金大廈的高度；(2)小明還要走多遠（的距離）才能到達國金大廈？20．如圖，菱形的對角線相交于點O，E是的中點，點F，G在上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．21．我市某中學(xué)開展了“強國復(fù)興有我”迎國慶知識競賽活動，賽后隨機抽取了部分參賽學(xué)生的成績（滿分100分），按得分劃分為A：，B：，C：，D：四個等級，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．分數(shù)段（分）頻數(shù)（人）頻率10ab16c4d請根據(jù)以上信息回答下列問題：(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量為______；(2)其中頻數(shù)分布表中______，______并補全頻數(shù)分布直方圖；(3)若該校共有1200名同學(xué)參賽，成績在80分以上（包括80分）的為“優(yōu)”等，估計全校學(xué)生成績?yōu)椤皟?yōu)”等的學(xué)生有多少人．22．定義：過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形．若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“捷線”．(1)等邊三角形“捷線”條數(shù)是________；(2)如圖，中，，點在上，且，求證：是的“捷線”；(3)在中，，，，、分別在邊、上，且是的“捷線”，求的長．23．某茶葉店計劃購進甲、乙兩種茶葉進行銷售，兩種茶葉的進價和售價如下：茶葉品種進價（元/斤）售價（元/斤）甲a200乙300已知用4000元購進甲種茶葉的數(shù)量與用6000元購進乙種茶葉的數(shù)量相同．(1)求a的值；(2)茶葉店計劃購進甲、乙兩種茶葉共300斤，其中甲種茶葉不少于80斤且不超過120斤．①求銷售完這兩種茶葉的最大利潤；②“五一”期間，茶葉店讓利銷售，將乙種茶葉的售價每斤降低m元（），甲種茶葉的售價不變，為保證銷售完這兩種茶葉的利潤的最小值不低于31800元，求m的最大值．24．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，是的切線，點D是AC上一動點（點D不與點A，B重合），連接BD并延長交AC于點H，交CF于點E，連接AE，AD．(1)求的面積；(2)當(dāng)時，求的長；(3)若的面積記為，的面積記為，的面積記為，的面積記為，，請用含k的代數(shù)式表示的值．25．在平面直角坐標系中有且只有一個交點的兩個函數(shù)稱為“親密函數(shù)”，這個唯一的交點稱為他們的“密接點”．例如：與有且只有一個交點，則稱這兩個函數(shù)為“親密函數(shù)”，點稱為他們的“密接點”．(1)判斷下列幾組函數(shù)，是“親密函數(shù)”的在內(nèi)記“”，不是“親密函數(shù)”的在內(nèi)記“”；與；與；與．(2)一次函數(shù)與反比例函數(shù)（其中為常數(shù)，)，且他們的“密接點”到原點的距離等于，求的值．(3)兩條直線與都是二次函數(shù)的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為．記直線與的交點的縱坐標為，直線與軸的交點的縱坐標為．試判斷與的關(guān)系，并證明你的判斷．

2024年中考第二次模擬考試（湖南長沙卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．的絕對值是（

）A．2024 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查求一個數(shù)的絕對值，根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：的絕對值是2024．故選：A．2．2024年元旦假期的到來，點燃了消費者的出游熱情，也激發(fā)了旅游市場的活力．元旦假期三天，長沙市共接待游客萬人次．?dāng)?shù)據(jù)“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的運用，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式，其中，的取值是解題的關(guān)鍵．確定的值的方法是看數(shù)變成時，小數(shù)點的移動，當(dāng)小數(shù)點向左移動時，的值與移動位數(shù)相同；當(dāng)小數(shù)點向右移動時，小數(shù)點移動位數(shù)的相反數(shù)等于的值．【詳解】解：萬=，故選：．3．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了冪的運算法則和乘法公式，根據(jù)冪的運算法則和乘法公式計算后即可得到答案．【詳解】解：A．，故選項錯誤，不符合題意；B．，故選項錯誤，不符合題意；C．，故選項錯誤，不符合題意；D．，故選項正確，符合題意．故選：D．4．隨著我國航天領(lǐng)域的快速發(fā)展，從“天宮一號”發(fā)射升空，到天和核心艙歸位，我國正式邁入了“空間站時代”，下面是有關(guān)我國航天領(lǐng)域的圖標，其圖標既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行判斷即可．此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)后與自身重合．【詳解】解：A．標志既不是軸對稱又不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；B．標志既是軸對稱又是中心對稱圖形，故選項符合題意；C．標志是軸對稱但不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；D．標志既不是軸對稱又不是中心對稱圖形，故選項不符合題意．故選：B．5．如圖，過三角形頂點作，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求出．【詳解】∵，∴，∵，，∴．故選：B．【點睛】本題考查平行線和三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和．6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小無處找”的原則是解答此題的關(guān)鍵．分別求出各不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：由①得，得：，由②得：，則不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為：故選：D．7．如圖，在中考體育模擬測試中，某校10名學(xué)生體育模擬測試成績?nèi)鐖D所示，對于這10名學(xué)生的體育模擬測試成績，下列說法錯誤的是（

）A．極差是10 B．眾數(shù)是90分 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分【答案】A【分析】此題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差，能從統(tǒng)計圖中獲得有關(guān)數(shù)據(jù)，求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差是解題的關(guān)鍵．根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的定義和統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù)分別列出算式，求出答案．【詳解】解：A、∵，∴極差是，故A符合題意；B、∵90出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是90；故此選項不符合題意；C、平均數(shù)是；故此選項不符合題意；D、∵共有10個數(shù)，∴中位數(shù)是第5、6個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是；故此選項不符合題意．故選：A．8．“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界普為“中國第五大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂．小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的圖片分別記為A、B、C、D．根據(jù)題意，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“立春”和“立夏”的結(jié)果有2種，故其概率為：．故選：C．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．9．如圖是長沙某4S店新能源車輪胎展廳陳列的輪胎正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)輪胎正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與邊相切．若，，則此輪胎的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，連接，過點作，交于點，交于點，則點為輪胎與邊的切點，由矩形的性質(zhì)得，，則，得，，，設(shè)輪胎的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：連接，過點作，交于點，交于點，則，輪胎正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與邊相切，點為切點，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)輪胎的半徑為，則，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，輪胎的半徑是．故選：C．10．若三條長度分別為，，的線段能構(gòu)成三角形，我們就把稱為三角數(shù)組，已知是三角數(shù)組，則下列說法正確的是（

）①一定是三角數(shù)組；②不一定是三角數(shù)組；③一定是三角數(shù)組；④不一定是三角數(shù)組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】，且，先證明，即可證明，由此即可判斷①②；根據(jù)是一個三角數(shù)組，不是一個三角數(shù)組即可判斷③④．【詳解】解：∵是三角數(shù)組，∴可設(shè)，且，∴，∵，∴，∴一定是三角數(shù)組，故①正確，②不正確；∵是一個三角數(shù)組，，∴不是一個三角數(shù)組，∴當(dāng)是三角數(shù)組時，不一定是三角數(shù)組，故③錯誤，④正確；故選B．【點睛】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，實數(shù)比較大小，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．要使代數(shù)式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是．【答案】【分析】直接利用二次根式有意義條件和分式有意義求出x的取值范圍．【詳解】解：代數(shù)式有意義，可得：，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義與分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．12．若，則的值為．【答案】【分析】將變形后可得即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為；【點睛】本題考查了運用整體思想求代數(shù)式值，將條件和問題進行準確變形再整體代入計算是解題的關(guān)鍵．13．如圖，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)為度．【答案】【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，結(jié)合已知即可求解．【詳解】解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，解得，故答案為：．14．已知一次函數(shù)，如果y隨自變量x的增大而減小，那么m的取值范圍為．【答案】/【分析】利用一次函數(shù)中一次項系數(shù)正負性與y隨自變量x的增大而變化的情況列不等式計算即可．【詳解】y隨自變量x的增大而減小，，，故答案為：．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)中一次項系數(shù)，y隨自變量x的增大而增大；，y隨自變量x的增大而減?。煜ご撕瘮?shù)圖像性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如果關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，那么．【答案】【分析】根據(jù)根的判別式為零時，有兩個相等的實數(shù)根，就可以求出的值．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．16．勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：…，若此類勾股數(shù)的勾為，則其弦是．【答案】【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），則另一條直角邊，弦．則弦為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：【答案】【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，先計算特殊角三角函數(shù)值，零次冪，負整數(shù)次冪，絕對值，再進行加減運算即可，正確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：18．化簡：，再從，0，1中選擇一個你喜愛的x的值代入求值．【答案】，當(dāng)時，值為【分析】根據(jù)分式的混合運算法則將原式進行化簡，然后選擇一個使分式有意義的值代入求解即可．【詳解】解：÷，∵，∴，∴當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則是解本題的關(guān)鍵，選擇喜歡的值代入時要注意使分式有意義．19．長沙第一高樓位于芙蓉區(qū)五一商圈的國金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具體高度，通過下面方法進行測算．如圖，小明站在樓前的平地B處，觀測到國金大廈的最高點G仰角為15°，他朝正前方筆直行走900.8米來到C處，此時觀測到國金大廈的最高點G仰角為30°，若小明的眼睛離地面1.6米．(1)求長沙第一高樓國金大廈的高度；(2)小明還要走多遠（的距離）才能到達國金大廈？【答案】(1)長沙第一高樓國金大廈的高度DG為452米(2)小明還要走450.4米才能到達國金大廈【分析】（1）根據(jù)題意可得：米，米，，，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算即可解答；（2）根據(jù)題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：米，米，，，∵是的一個外角，，∴，∴，∴米，在中，（米），∴（米），∴長沙第一高樓國金大廈的高度為452米；（2）由題意得：，在中，米，∴（米），∴米，∴小明還要走米才能到達國金大廈．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．20．如圖，菱形的對角線相交于點O，E是的中點，點F，G在上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得到，進而證明是的中位線，得到，再由，，即可證明四邊形是矩形；（2）根據(jù)線段中點的定義得到，在中，由勾股定理得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵E是的中點，∴是的中位線，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，即，∴四邊形是矩形；（2）解：∵E是的中點，，∴，在中，由勾股定理得．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，三角形中位線定理，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．21．我市某中學(xué)開展了“強國復(fù)興有我”迎國慶知識競賽活動，賽后隨機抽取了部分參賽學(xué)生的成績（滿分100分），按得分劃分為A：，B：，C：，D：四個等級，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．分數(shù)段（分）頻數(shù)（人）頻率10ab16c4d請根據(jù)以上信息回答下列問題：(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量為______；(2)其中頻數(shù)分布表中______，______并補全頻數(shù)分布直方圖；(3)若該校共有1200名同學(xué)參賽，成績在80分以上（包括80分）的為“優(yōu)”等，估計全校學(xué)生成績?yōu)椤皟?yōu)”等的學(xué)生有多少人．【答案】(1)(2)，(3)人．【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布表等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．（）由等級的頻數(shù)除以頻率求出參賽學(xué)生共有的人數(shù)，即可解決問題；（）用總?cè)藬?shù)減去其它等級的人數(shù)即可求出成績在等級的學(xué)生人數(shù)，得到a的值，用C等級的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可得到c的值，根據(jù)所求補全統(tǒng)計圖即可；（）由C、D等級的人數(shù)之和的占比乘以全校人數(shù)同學(xué)即可．【詳解】（1）參賽學(xué)生共有（人），即這次抽樣調(diào)查的樣本容量為，故答案為：（2）成績在等級的學(xué)生人數(shù)為（人），即，故答案為：，補全頻數(shù)分布直方圖如下：（3）（人）答：估計全校學(xué)生成績?yōu)椤皟?yōu)”等的學(xué)生有人．22．定義：過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形．若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“捷線”．(1)等邊三角形“捷線”條數(shù)是________；(2)如圖，中，，點在上，且，求證：是的“捷線”；(3)在中，，，，、分別在邊、上，且是的“捷線”，求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線，可得答案；（2）利用，得，則是的“捷線”；（3）根據(jù)“捷線”的定義知，與相似，當(dāng)時，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）解：過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線，如圖所示，

則，，，，，是等邊三角形的捷線，故答案為：3；（2）證明：，，，，，是的“捷線”；（3）解：設(shè)是的內(nèi)心，連接，則平分，是的捷線，與相似，分兩種情況：①當(dāng)時，，，，，，作于點，如圖所示，

則，是的內(nèi)切圓半徑，，平分，，，，即，，，，，即，，②當(dāng)時，，，同理可得，綜上：．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，勾股定理，直角三角形的內(nèi)切圓半徑等知識，本題綜合性強，有一定的難度．23．某茶葉店計劃購進甲、乙兩種茶葉進行銷售，兩種茶葉的進價和售價如下：茶葉品種進價（元/斤）售價（元/斤）甲a200乙300已知用4000元購進甲種茶葉的數(shù)量與用6000元購進乙種茶葉的數(shù)量相同．(1)求a的值；(2)茶葉店計劃購進甲、乙兩種茶葉共300斤，其中甲種茶葉不少于80斤且不超過120斤．①求銷售完這兩種茶葉的最大利潤；②“五一”期間，茶葉店讓利銷售，將乙種茶葉的售價每斤降低m元（），甲種茶葉的售價不變，為保證銷售完這兩種茶葉的利潤的最小值不低于31800元，求m的最大值．【答案】(1)100(2)①41000元；②m的最大值為40【分析】（1）由題意：用4000元購進甲種茶葉的數(shù)量與用6000元購進乙種茶葉的數(shù)量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）①設(shè)購進甲種茶葉x斤，銷售完這兩種茶葉的總利潤為y元，由題意得出y與x的一次函數(shù)關(guān)系式，再由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②設(shè)購進甲種茶葉x斤，銷售完這兩種茶葉的總利潤為y元，由題意得出y與x的一次函數(shù)關(guān)系式，再由一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意得出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴a的值為100；（2）解：①設(shè)購進甲種茶葉x斤，銷售完這兩種茶葉的總利潤為y元，由題意得：，其中，∵，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，y的最大值，答：銷售完這兩種茶葉的最大利潤為41000元；②設(shè)購進甲種茶葉x斤，銷售完這兩種茶葉的總利潤為y元，由題意得：，∵，∴，∴y隨x的增大而減小，∵，∴當(dāng)時，y的最小值，解得：，∴m的最大值為40．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確得出一元一次不等式和一次函數(shù)關(guān)系式．24．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，是的切線，點D是AC上一動點（點D不與點A，B重合），連接BD并延長交AC于點H，交CF于點E，連接AE，AD．(1)求的面積；(2)當(dāng)時，求的長；(3)若的面積記為，的面積記為，的面積記為，的面積記為，，請用含k的代數(shù)式表示的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理先得到，勾股定理求出，再利用三線合一求出，即可利用面積公式求出答案；（2）根據(jù)已知得到，過點E作，交延長線于點G，根據(jù)平行線間的距離處處相等得，再根據(jù)30度角的性質(zhì)得到的長；（3）根據(jù)相似三角形及勾股定理分別求出，即可得到的值．【詳