連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)

連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的四則運算定理25二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理26若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)，則它的反函數(shù)x=φ(y)也在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù).

證明略.

例如，由于y=sinx在閉區(qū)間－π2,π2上單調(diào)增加且連續(xù)，所以它的反函數(shù)y=arcsinx在對應區(qū)間［－1,1］上也是單調(diào)增加且連續(xù)的.同理可得其他反三角函數(shù)的連續(xù)性.總之,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理27二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性把定理27中的x→x0換成x→∞，可得類似的定理.注二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性【例50】二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性【例51】二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理28設函數(shù)u=φ(x)在點x

0處連續(xù)，且φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點u=u0處連續(xù)，則復合函數(shù)f［φ(x)］在點x0處也連續(xù).

例如，函數(shù)u=1x在(－∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)連續(xù).函數(shù)y=sinu在(－∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，所以y=sin1x在(－∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)連續(xù).三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理29

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.

因初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合運算所構(gòu)成的，故得到下列重要結(jié)論.

三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理30一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

三、初等函數(shù)的連續(xù)性定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在其定義域內(nèi)不一定連續(xù).例如,函數(shù)y=x2(x－1)3的定義域為{0}∪［1,+∞),函數(shù)在點x=0的鄰域內(nèi)沒有定義，因而函數(shù)y在x=0處不連續(xù)，但函數(shù)在定義區(qū)間［1,+∞)上連續(xù).注三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理30的結(jié)論非常重要,因為微積分的研究對象主要是連續(xù)或分段連續(xù)的函數(shù)，而一般應用中所遇到的函數(shù)基本上是初等函數(shù)，其連續(xù)性的條件總是滿足的，從而使微積分具有強大的生命力和廣闊的應用前景.此外，根據(jù)定理30求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限，只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值，即

三、初等函數(shù)的連續(xù)性【例52】四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個基本性質(zhì)，由于它們的證明涉及嚴密的實數(shù)理論，故略去其嚴格的證明，但可以借助幾何直觀地來理解.

先說明最大值和最小值的概念.對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x),如果存在x0∈I，使得對于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)［f(x)≥f(x0)］，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值).

例如，函數(shù)y=cosx在區(qū)間π2,π上有最大值0和最小值－1.函數(shù)y=sgnx在(－∞,+∞)內(nèi)有最大值1和最小值－1.

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理31(最值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.

定理31表明，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則至少存在一點ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最小值；又至少存在一點ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值(見圖2-13).

圖2-13四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)當定理31中的“閉區(qū)間上連續(xù)”的條件不滿足時，定理的結(jié)論可能不成立.例如，函數(shù)在閉區(qū)間［0,1］上有間斷點x=0,x=1.該函數(shù)在閉區(qū)間［0,1］上既無最大值又無最小值(見圖2-14).注圖2-14四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理32(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界.

例53證明：若函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù)，且limx→∞f(x)存在，則f(x)在(－∞,+∞)上必有界.

證設limx→∞f(x)=A.若取ε=1，則X>0,當x>X時，總有f(x)－A<ε=1，即f(x)<1+A.

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù)，所以在閉區(qū)間［－X,X］上連續(xù)，因此當x≤X時，f(x)在［－X,X］上一定有界，即存在M0>0，使f(x)≤M0.

若取M=maxM0,1+A，則對于任意的x∈(－∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界.

如果f(x0)=0，則稱x0為函數(shù)f(x)的零點.

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理33(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號［f(a)·f(b)<0］，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.

零點定理的幾何意義是：若連續(xù)曲線y=fx在［a,b］的端點處的函數(shù)值異號，則曲線與x軸至少有一個交點，如圖2-15所示.圖2-15四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【例54】證明方程x5－7x+3=0在區(qū)間(0,1)上至少有一個實根.

證令f(x)=x5－7x+3,則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù),又f(0)=3>0,f(1)=－3<0，由零點定理知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點ξ,使f(ξ)=0，即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在區(qū)間(0,1)上至少有一個實根.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理34(介值定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點處有不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ，使得f(ξ)=C.

介值定理的幾何意義是：對介于fa與fb之間的任何一個數(shù)C,直線y=C與連續(xù)曲線y=fx至少有一個交點，如圖2-16所示.圖2-16四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【例54】設函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得五、一致連續(xù)性由前面的內(nèi)容知，如果函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，即對每一個x0∈I，任意給定的ε>0，都存在δ>0(δ不僅與ε有關且與x0有關)，當x－x0<δ時，恒有f(x)－f(x0)<ε.當ε給定以后，對不同的x0，一般來說，δ是不同的，而在實際問題的研究中，有時需要對δ(x0,ε)有較嚴格的限制，希望在ε給定以后，要找的δ只與ε有關而與x0無關.這就是下面要引入的一致連續(xù)性(有時也稱為均勻連續(xù)性).

五、一致連續(xù)性定義22設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若對任意給定的ε>0，存在δ>0，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1，x2，當x1－x2<δ時，有f(x1)－f(x2)<ε，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的.五、一致連續(xù)性一致連續(xù)定義中的x1，x2是任意的，δ與x無關，只要x1與x2接近到一定程度，就可使fx1與fx2達到所指定的接近程度.注五、一致連續(xù)性