函數(shù)的微分及其應(yīng)用

函數(shù)的微分及其應(yīng)用函數(shù)的微分及其應(yīng)用前面介紹的導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)在某點處的變化率.有時還需要考慮某點處當自變量有較小改變時，函數(shù)值相應(yīng)的增量大小，而要精確計算函數(shù)值的增量往往很復(fù)雜，于是引入微分的概念.一、引例引列1求自由落體運動中，物體由時刻t到t+Δt所經(jīng)過路程的近似值.

一、引例分析自由落體的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系是s=12gt2，當時間從t到t+Δt時，路程s有相應(yīng)的增量上式中，gtΔt是Δt的線性函數(shù)，12g(Δt)2是當Δt→0時比Δt高階的無窮小.因此，當|Δt|很小時，可以把12g(Δt)2忽略，而得到路程增量的近似值

Δs≈gtΔt.

一、引例引列2一塊正方形均勻鐵板(見圖3-5)，受熱膨脹后邊長由x0變到x0+Δx，問面積y改變了多少？圖3-5一、引例分析分析設(shè)此鐵板的邊長為x,則面積y是x的函數(shù)：y=x2.鐵板受溫度變化影響時，面積的增量可以看成是當自變量x自x0取得增量Δx時,函數(shù)y相應(yīng)的增量Δy,即

Δy=x0+Δx2-x20=2x0Δx+Δx2.

上式中，2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，它是Δy的主要部分；Δy的另一部分是Δx2，它是Δy的次要部分，當Δx很小時，Δx2比2x0Δx要小得多，也就是說，當Δx很小時，面積增量Δy可以近似地用2x0Δx表示，即

Δy≈2x0Δx,

一、引例由此式作為Δy的近似值，略去的部分Δx2是比Δx高階的無窮小.

這兩個問題的實際意義雖然不同，但在數(shù)量關(guān)系上卻具有相同的特點：函數(shù)的增量可以表示成兩部分，一部分為自變量增量的線性函數(shù)，另一部分是當自變量增量趨于零時，比自變量增量高階的無窮小.據(jù)此特點，便形成了微分的概念.

二、微分的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表示為

Δy=A·Δx+o(Δx),

其中A是與Δx無關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在點x0可微,并且稱A·Δx為函數(shù)y=f(x)在點x0處相應(yīng)于自變量增量Δx的微分,記為dyx=x0,即

dyx=x0=A·Δx.

下面討論可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系.

二、微分的定義定理7函數(shù)y=f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，且當f(x)在點x0可微時，其微分

dyx=x0=f′(x0)Δx.

證必要性.函數(shù)y=f(x)在點x0處可微,即Δy=A·Δx+o(Δx)，有二、微分的定義【例46】求函數(shù)y=1+3x2在x=1,Δx=0.01時的增量及微分.函數(shù)y=fx在任意點x的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy或df(x)，即

dy=f′(x)Δx.

為了統(tǒng)一記號，通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記為dx，即dx=Δx，于是函數(shù)y=fx的微分又可記為

dy=f′xdx.

二、微分的定義【例47】三、微分的幾何意義下面我們來討論微分的幾何意義，這樣大家能對微分有比較直觀的了解.在直角坐標系中，已知曲線y=f(x)及其上一點M(x0,y0)和鄰近點N(x0+Δx,y0+Δy)，由圖3-6可見圖3-6三、微分的幾何意義MQ=Δx,QN=Δy，過點M作曲線的切線MT交QN于點P，它的傾角為α，則

QP=MQtanα=f′(x0)Δx，即dy=QP.由此可見，當自變量有增量Δx時，y=f(x)在點x0處的微分dy等于曲線在點M(x0,y0)處的切線的縱坐標的改變量.四、微分基本公式及運算法則由微分定義知，函數(shù)的微分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)乘以自變量的微分dx，所以只要把導(dǎo)數(shù)表中的導(dǎo)數(shù)運算公式都乘以dx，就得到相應(yīng)函數(shù)的微分表和微分的運算法則.

四、微分基本公式及運算法則微分公式表1.四、微分基本公式及運算法則微分的四則運算法則2.四、微分基本公式及運算法則復(fù)合函數(shù)的微分法則3.與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相對應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下.

若u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，y=f(u)在點u處可導(dǎo)，則

dy=f′uφ′xdx=f′udφx=f′udu.

由此可見，對于y=f(u)來說，不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分總保持同一形式dy=f′(u)du，這一性質(zhì)稱為微分形式不變性.有時，利用微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的微分比較方便.

四、微分基本公式及運算法則【例48】y=cos(3x2－2)，求dy.解把3x2－2看成是中間變量u，則

dy=d(cosu)=－sinudu=－sin(3x2－2)d(3x2－2).又由于d(3x2－2)=6xdx，所以有dy=－6xsin(3x2－2)dx.四、微分基本公式及運算法則【例49】y=(a2－x2)2，求dy.解把a2－x2看成中間變量u，則

dy=2udu=－4x(a2－x2)dx.【例50】四、微分基本公式及運算法則【例51】y=eaxcosbx，求dy.解dy=cosbxdeax+eaxd(cosbx)=acosbxeaxdx－beaxsinbxdx=eax(acosbx－bsinbx)dx.四、微分基本公式及運算法則【例52】在下列等式左端的括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立.五、微分在近似計算中的應(yīng)用這里只介紹微分在近似計算中的應(yīng)用.我們知道，如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，那么當Δx→0時，函數(shù)的改變量Δy與微分dy只相差一個Δx高階無窮小，因此，當精度要求不太高時，可用dy代替Δy作近似計算，即Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≈dy=f′(x0)Δx(|Δx|很小)

或

f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.

五、微分在近似計算中的應(yīng)用如記x=x0+Δx，則有

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)

(|Δx|很小).

這個近似公式可以用來求解函數(shù)的近似值.只有f(x0)和f′(x0)都容易計算，且x充分靠近x0時，我們才能采用此方法：用x的線性函數(shù)f(x0)+f′(x0)(x－x0)來近似求f(x).下面我們給出幾個求函數(shù)近似值的實例.

五、微分在近似計算中的應(yīng)用