第17 章 一元二次方程 綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)（含答案） 2024-2025學(xué)年滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

第17章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．下列方程中，是一元二次方程的是()A．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0 B．(x－1)(x－3)＝x2C．－x2＝0 D.eq\f(2,x2)＋3x－5＝02．[2024·濟(jì)南]若關(guān)于x的方程x2－x－m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m<－eq\f(1,4) B．m>－eq\f(1,4) C．m<－4 D．m>－43．[2024·聊城二模]用配方法解一元二次方程x2＋6x＋3＝0時(shí)，將它化為(x＋m)2＝n的形式，則m－n的值為()A．3 B．0 C．－1 D．－34．[2024·煙臺(tái)期中]若x＝－1是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一個(gè)根，則2023－3a＋3b的值等于()A．2027 B．2024 C．2025 D．20265．[2024·合肥校級(jí)期中]據(jù)初步統(tǒng)計(jì)，合肥園博園自2023年9月26日開(kāi)園至12月26日，累計(jì)接待游客約632萬(wàn)人次，假設(shè)第1個(gè)月接待游客約105萬(wàn)人次，如果每月接待游客人次的增長(zhǎng)率相同，設(shè)增長(zhǎng)率為x，則可列方程為()A．105＋105(1＋x)＋105(1＋2x)＝632B．105(1＋x)2＝632C．105＋105(1＋x)＋105(1＋x)2＝632D．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝6326．《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2＋8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖①，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為2x的長(zhǎng)方形，得到大正方形的面積為33＋16＝49，則該方程的正數(shù)解為7－4＝3.”小唐按此方法解關(guān)于x的方程x2＋12x＝m時(shí)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數(shù)解為()A．4 B．6 C．8 D．107．若關(guān)于x的一元二次方程(m＋2)x2＋(2m＋1)x＋m＝0有解，則m的取值范圍是()A．m<eq\f(1,4)B．m<eq\f(1,4)且m≠－2C．m≤eq\f(1,4)D．m≤eq\f(1,4)且m≠－28．已知x1，x2是方程x2－x－2026＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x31－2026x1＋x22的值為()A．4053 B．4052 C．2026 D．19．若分式方程eq\f(3x－a,x2－2x)＋eq\f(1,x－2)＝eq\f(2,x)無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的值是()A．0或2 B．4 C．8 D．4或810．[2024·杭州期中]對(duì)于代數(shù)式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c為常數(shù))，下列說(shuō)法正確的是()①若b2－4ac＝0，則ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②存在三個(gè)實(shí)數(shù)m，n，h(m≠n≠h)，使得am2＋bm＋c＝an2＋bn＋c＝ah2＋bh＋c；③若ax2＋bx＋c＋2＝0與方程(x＋2)(x－3)＝0的解相同，則a＋b＝0.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．關(guān)于x的方程(a－3)xa2－7－3x－2＝0是一元二次方程，則a＝________．12．三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－6x＋8＝0的解，則此三角形的周長(zhǎng)是________．13．[2024·合肥蜀山區(qū)期末]為了節(jié)省材料，某農(nóng)場(chǎng)水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫(kù)的岸堤(岸堤足夠長(zhǎng))為一邊，用總長(zhǎng)為120米的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①、②、③三塊長(zhǎng)方形區(qū)域，且這三塊長(zhǎng)方形區(qū)域的面積都為225平方米，則圖中a的值為_(kāi)_______．14.如果一個(gè)三位自然數(shù)abc的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且使得關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么稱這個(gè)三位數(shù)為該方程的“等根數(shù)”．例如：三位數(shù)441是方程4x2＋4x＋1＝0的“等根數(shù)”，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的最小“等根數(shù)”是________；如果m是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的“等根數(shù)”，記F(m)＝a2＋b2＋c2，G(m)＝a－c，若eq\f(F(m),G(m))是整數(shù)，則滿足條件的m的最大值是________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．[2024·合肥期中]解方程：(1)3x2－6x＋1＝0(用配方法);· (2)x(x－1)＝x.16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.(1)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根為－2，求m的值．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17.對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，我們定義一種運(yùn)算“※”：m※n＝mn＋m＋n，例如：1※2＝1×2＋1＋2＝5.(1)化簡(jiǎn)：1※x；(2)解關(guān)于x的方程：x※(1※x)＝3.18．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△ABC的周長(zhǎng)為11，且有(BC＋1)2＝4AB，求△ABC的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x－2a＝0.(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍；(2)在(1)中，設(shè)x1，x2是該方程的兩個(gè)根，且2x1＋2x2－3x1x2＝0，求a的值．20．[2024·合肥二模]高樂(lè)同學(xué)在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和灰色正方形按一定規(guī)律搭建圖形(如圖)，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：(1)圖①中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＝1＋eq\f(1×(1＋1),2)；圖②中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＋2＝1＋eq\f(2×(1＋2),2)；圖③中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＋2＋3＝1＋eq\f(3×(1＋3),2)；圖④中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＋2＋3＋4＝1＋eq\f(4×(1＋4),2)；…；則圖中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____________________________；(2)圖①中，白色正方形比灰色正方形多1個(gè)；圖②中，白色正方形比灰色正方形多2個(gè)；圖③中，白色正方形比灰色正方形多3個(gè)；…；則圖中的白色正方形有________個(gè)；(3)若圖中灰色正方形比等邊三角形多45個(gè)，求圖中白色正方形的個(gè)數(shù)．六、(本題滿分12分)21．“網(wǎng)絡(luò)直播帶貨”已經(jīng)成為時(shí)尚的銷售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件20元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過(guò)初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每周的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)求每周的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式．(不必寫(xiě)出自變量的取值范圍)(2)物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)貨價(jià)的70%，該帶貨主播銷售這種防護(hù)品每周的總利潤(rùn)要想達(dá)到3360元，那么每件的售價(jià)應(yīng)定為多少元？七、(本題滿分12分)22．根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤(rùn)問(wèn)題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長(zhǎng)方形果園ABCD，如圖是果園的平面圖，其中AB＝200m，BC＝300m．準(zhǔn)備在它的四周鋪設(shè)道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2xm，左右兩條縱向道路的寬度都為xm，中間部分種植水果．已知道路的路面造價(jià)是50元/m2；出于貨車通行等因素的考慮，縱向道路的寬度不超過(guò)12m，且不小于5m.素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯(cuò)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，草莓培育一年可產(chǎn)果，已知銷售每平方米的草莓的平均利潤(rùn)為100元；果園每年的承包費(fèi)為25萬(wàn)元，期間需一次性投入33萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)新苗，每年還需25萬(wàn)元的養(yǎng)護(hù)、施肥、運(yùn)輸?shù)绕溆噘M(fèi)用.問(wèn)題解決任務(wù)1解決果園中路面寬度的設(shè)計(jì)對(duì)種植面積的影響問(wèn)題.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；(2)若中間種植部分的面積是44800m2，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求？任務(wù)2解決果園種植的預(yù)期利潤(rùn)問(wèn)題．(凈利潤(rùn)＝銷售草莓的總利潤(rùn)－路面造價(jià)費(fèi)用－果園承包費(fèi)用－新苗購(gòu)置費(fèi)用－其余費(fèi)用)(3)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示“路面造價(jià)費(fèi)用”為_(kāi)_____________元.(4)經(jīng)過(guò)1年后，該農(nóng)戶是否可以達(dá)到預(yù)期凈利潤(rùn)為400萬(wàn)元？請(qǐng)說(shuō)明理由.八、(本題滿分14分)23.如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出移動(dòng)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動(dòng)，P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒，△PBQ的面積為1cm2?

一、1.C2.B3.D4.D5.C6．A【點(diǎn)撥】∵陰影部分的面積為64，∴x2＋12x＝64.先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為3x的長(zhǎng)方形，得到大正方形的面積為64＋32×4＝64＋36＝100，則該方程的正數(shù)解為10－6＝4，故選A.7．D8．A【點(diǎn)撥】由題意得x21－x1－2026＝0，x1＋x2＝1，x1x2＝－2026，∴x21－2026＝x1.∴原式＝x1(x21－2026)＋x22＝x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋4052＝4053.9．D【點(diǎn)撥】eq\f(3x－a,x2－2x)＋eq\f(1,x－2)＝eq\f(2,x).去分母，得3x－a＋x＝2(x－2)，去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得2x＝a－4，兩邊同時(shí)除以2，得x＝eq\f(a－4,2).若原分式方程無(wú)解，則x(x－2)＝0，解得x＝0或2.當(dāng)x＝0時(shí)，eq\f(a－4,2)＝0，解得a＝4；當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(a－4,2)＝2，解得a＝8.∴a＝4或8.故選D.10．B【點(diǎn)撥】∵Δ＝b2－4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴①正確；∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝k(k為常數(shù))最多有兩個(gè)解，∴②錯(cuò)誤；方程(x＋2)(x－3)＝0的解為x1＝－2，x2＝3，將x＝－2代入ax2＋bx＋c＋2＝0，得4a－2b＋c＋2＝0，即4a－2b＝－2－c；將x＝3代入ax2＋bx＋c＋2＝0，得9a＋3b＋c＋2＝0，即9a＋3b＝－2－c，∴4a－2b＝9a＋3b，即5a＋5b＝0.∴a＋b＝0.∴③正確．故選B.二、11.－312.1313.3014．121；882【點(diǎn)撥】∵abc是方程ax2＋bx＋c＝0的“等根數(shù)”，∴Δ＝b2－4ac＝0.∴b2＝4ac，即b＝2eq\r(ac).∵abc為最小“等根數(shù)”，∴a＝1，b＝2.∴c＝1.∴最小“等根數(shù)”是121.∵b2＝4ac，∴eq\f(F(m),G(m))＝eq\f(a2＋b2＋c2,a－c)＝eq\f(a2＋4ac＋c2,a－c)＝eq\f((a－c)2＋6ac,a－c)＝a－c＋eq\f(6ac,a－c).∵eq\f(F(m),G(m))是整數(shù)，∴eq\f(6ac,a－c)是整數(shù)．又∵b＝2eq\r(ac)，∴易知a≠9.當(dāng)a＝8時(shí)，b＝4eq\r(2c).∵b為整數(shù)，∴c＝2，滿足eq\f(6ac,a－c)是整數(shù)，此時(shí)b＝8.∴m的最大值是882.三、15.【解】(1)∵3x2－6x＋1＝0，∴3x2－6x＝－1.∴x2－2x＝－eq\f(1,3).∴x2－2x＋1＝eq\f(2,3)，即(x－1)2＝eq\f(2,3).∴x－1＝±eq\f(\r(6),3)，即x1＝eq\f(3＋\r(6),3)，x2＝eq\f(3－\r(6),3).(2)∵x(x－1)＝x，∴x(x－1)－x＝0.∴x(x－2)＝0.∴x＝0或x－2＝0，即x1＝0，x2＝2.16．(1)【證明】∵Δ＝(－m)2－4×1×(－2)＝m2＋8>0，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)【解】若方程有一個(gè)根為－2，則(－2)2－(－2)m－2＝0，解得m＝－1.四、17.【解】(1)由題意得1※x＝x＋1＋x＝2x＋1.(2)∵x※(1※x)＝3，∴x※(2x＋1)＝3.∴2x2＋x＋x＋2x＋1＝3，解得x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2).18．【解】設(shè)AB＝AC＝x，則BC＝11－2x.∵(BC＋1)2＝4AB，∴(11－2x＋1)2＝4x.整理，得x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9(不合題意，舍去)，∴AB＝AC＝4，BC＝3.即腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為3.五、19.【解】(1)由題意得16＋8a≥0，解得a≥－2，即a的取值范圍為a≥－2.(2)由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－eq\f(4,1)＝－4，x1x2＝eq\f(－2a,1)＝－2a.∵2x1＋2x2－3x1x2＝0，∴－8－3×(－2a)＝0，解得a＝eq\f(4,3).20．【解】(1)1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋eq\f(n(1＋n),2)(2)eq\f((n＋2)(n＋1),2)(3)由題圖可知，圖中等邊三角形的個(gè)數(shù)為(n＋1)．∵圖中灰色正方形比等邊三角形多45個(gè)，∴1＋eq\f(n(1＋n),2)＝n＋1＋45，解得n＝10或n＝－9(舍去)．當(dāng)n＝10時(shí)，eq\f((n＋2)(n＋1),2)＝eq\f(12×11,2)＝66，∴圖中白色正方形的個(gè)數(shù)為66.六、21.【解】(1)由圖象可知每周的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，將(30，300)，(40，200)的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k＋b＝300，,40k＋b＝200，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10，,b＝600，))∴每周的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－10x＋600.(2)根據(jù)題意得(－10x＋600)(x－20)＝3360，整理，得x2－80x＋1536＝0，解得x1＝32，x2＝48.∵該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)貨價(jià)的70%，∴x≤20×(1＋70%)，即x≤34.∴x＝48不合題意，舍去．∴x＝32.∴當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價(jià)定為32元時(shí)，該帶貨主播銷售這種防護(hù)品每周的總利潤(rùn)可達(dá)到3360元．七、22.【解】(1)5≤x≤12.(2)根據(jù)題意得(300－2x)(200－2×2x)＝44800，整理，得x2－200x＋1900＝0，解得x1＝10，x2＝190(不符合題意，舍去)．∵5≤x≤12，∴路面設(shè)置的寬度符合要求．(3)(－400x2＋80000x)(4)可以達(dá)到．理由如下：100(200－2×2x)(300－2x)－(－4