22.1.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)+教學(xué)設(shè)計(jì)+2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

課程基本信息課題第二十二章二次函數(shù)22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)教材人教版九年級(jí)上冊(cè)教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷類比一次函數(shù)的研究方法開展有條理的探究活動(dòng)，能用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，總結(jié)圖象特征，歸納性質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)2.積累利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，感受數(shù)形結(jié)合的思想3.通過(guò)白主探究和小組討論，歸納二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)，發(fā)展敢于質(zhì)疑，善于思考的科學(xué)精神以及同伴交流合作的能力教學(xué)重點(diǎn)理解拋物線的有關(guān)概念，會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象教學(xué)難點(diǎn)探索二次函數(shù)性質(zhì)，尤其是分段討論二次函數(shù)y=ax2中y隨x的增大如何變化教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課問(wèn)題：一次函數(shù)的圖象是什么?生：一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條經(jīng)過(guò)(0，b)的直線問(wèn)題：通常怎樣畫一個(gè)函數(shù)的圖象?生：列表，描點(diǎn)，連線三個(gè)步驟列表：列出一個(gè)包含白變量和函數(shù)的表，在自變量的取值范圍內(nèi)隨機(jī)列出一些自變量的值，通過(guò)函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)(3)連線：按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑的曲線順次連接，向兩端無(wú)限延伸設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶一次函數(shù)的研究方法，讓學(xué)生掌握研究函數(shù)的基本方法為本節(jié)課探究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)做了鋪墊，滲透了類比的思想二、合作探究，獲取新知像研究一次函數(shù)一樣，現(xiàn)在我們來(lái)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合圖象討論性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)的重要方法，我們將從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2開始，逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題：用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=x2的圖象在二次函數(shù)y=x2中，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)列表x...-3-2-10123...y=x2...9410149...描點(diǎn)(3)連線學(xué)生嘗試畫圖，叫兩位同學(xué)板演，教師關(guān)注學(xué)生畫圖情況，學(xué)生畫完后在組內(nèi)交流展示師生共同觀察，可以看出，二次函數(shù)y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃時(shí)或擲鉛球時(shí)球在空中所經(jīng)過(guò)的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做拋物線y=x2。實(shí)際上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線，它們的開口或者向上或者向下。一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c問(wèn)題：觀察二次函數(shù)y=x2的圖象，你可以發(fā)現(xiàn)它具有哪些性質(zhì)呢?學(xué)生觀察，交流分享，總結(jié)匯報(bào)(1)y軸是拋物線y=x2的對(duì)稱軸(2)拋物線y=x2與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)（0，0）叫做拋物線y=x2的頂點(diǎn)，它是拋物線的最低點(diǎn)實(shí)際上，每條拋物線都有對(duì)稱軸，拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)。問(wèn)題：進(jìn)一步觀察，y隨x的變化如何變化呢?學(xué)生觀察，思考，交流討論，教師啟發(fā)學(xué)生從圖象，點(diǎn)坐標(biāo)的變化和列表三個(gè)方面進(jìn)行分析，師生共同得出結(jié)論從二次函數(shù)y=x2的圖象可以看出：在對(duì)稱軸的左側(cè)，拋物線從左到右下降；在對(duì)稱軸的右側(cè)，拋物線從左到右上升。也就是說(shuō)，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，觀察，思考交流，總結(jié)歸納，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力和應(yīng)用能力，結(jié)合圖象探究函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的研究問(wèn)題的方法例題解析，應(yīng)用新知例：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2和y=2x2的圖象學(xué)生用描點(diǎn)法自主畫圖y=x2(1)列表；(2)描點(diǎn)；(3)連線x...-4-3-2-101234...y=x2...84.520.500.524.58...y=2x2(1)列表；(2)描點(diǎn)；(3)連線x...-2-1.5-1-0.500.511.52...y=2x2...84.520.500.524.58...問(wèn)題:觀察三個(gè)函數(shù)的圖象，它們之間有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢?學(xué)生觀察，思考，交流匯報(bào)共同點(diǎn):三條拋物線都開口向上，對(duì)稱軸都是y軸，頂點(diǎn)都是坐標(biāo)原點(diǎn)，且原點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大不同點(diǎn)：拋物線開口大小不同，拋物線的開口和a值有關(guān)，a越大，即a越大，拋物線的開口越小歸納：由以上三個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)推廣到一般情況，得到二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象和性質(zhì)一般的，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2的開口向上，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，a越大，拋物線的開口越小師：探究完a>0的情況，下面我們探究a<0的情況，同學(xué)們，根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)從哪個(gè)函數(shù)入手比較簡(jiǎn)單呢?生：從二次函數(shù)y=-x2的圖象和性質(zhì)開始探究師：你能用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=-x2的圖象，再結(jié)合圖象來(lái)探究性質(zhì)嗎?學(xué)生嘗試用列表法畫圖，教師關(guān)注學(xué)生畫圖情況(1)列表x...-3-2-10123...y=-x2...-9-4-10-1-4-9...(2)描點(diǎn)(3)連線師：你能在剛才的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x2和y=-2x2圖象嗎？學(xué)生嘗試自己畫圖，并在組內(nèi)交流討論學(xué)生用描點(diǎn)法自主畫圖y=-x2(1)列表；(2)描點(diǎn)；(3)連線x...-4-3-2-101234...y=-x2...-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8...y=-2x2(1)列表；(2)描點(diǎn)；(3)連線x...-2-1.5-1-0.500.511.52...y=-2x2...-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8...問(wèn)題：觀察三個(gè)函數(shù)的圖象，它們之間有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢?學(xué)生觀察思考，交流討論一般的，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2的開口向下，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，a越小，拋物線的開口越小問(wèn)題：結(jié)合a>0和a<0兩種情況，你能歸納出二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)嗎?學(xué)生嘗試歸納，互相補(bǔ)充一般地，拋物線y=ax2的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)。對(duì)于拋物線y=ax2，|a|越大，拋物線的開口越小從二次函數(shù)y=ax2的圖象可以看出：如果a>0，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；如果a<0，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小師：以上性質(zhì)，可以用表格的形式來(lái)總結(jié)y=ax2a>0a<0圖象位置開口開口向上，在x軸上方開口向下，在x軸下方|a|越大，開口越小對(duì)稱性關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是直線x=0頂點(diǎn)最值頂點(diǎn)（0，0）是最低點(diǎn)頂點(diǎn)（0，0）是最高點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=0當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=0增減性在對(duì)稱軸左側(cè)，拋物線從左到右下降，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)，拋物線從左到右上升，y隨x取值的增大而增大在對(duì)稱軸左側(cè)，拋物線從左到右上升，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，拋物線從左到右下降，y隨x取值的增大而減小設(shè)計(jì)意圖：二次函數(shù)的性質(zhì)是本節(jié)課的重點(diǎn)，探究性質(zhì)是本節(jié)課的難點(diǎn)，先由特殊函數(shù)的性質(zhì)推廣到一般情況，滲透了由特殊到一般的情況，對(duì)于每一種情況通過(guò)描點(diǎn)法畫圖再探究性質(zhì)，讓學(xué)生掌握了最基本的研究函數(shù)的思路和方法以圖表的形式總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，同時(shí)使本節(jié)課的知識(shí)形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)，我們的研究方法是先用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖像，再結(jié)合圖像探究函數(shù)的性質(zhì)，在探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注四個(gè)方面：開口方向及大小，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，增減性教學(xué)反思本節(jié)課從回顧一次函數(shù)的圖象及畫法，逐步推廣到二次函數(shù)的研究過(guò)程中，類比畫一次函數(shù)圖象的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟，畫出二次函數(shù)的圖象，然后學(xué)生根據(jù)既定圖象自主探究，由y=x2和y=-x2的圖象和性質(zhì)推廣到一般情況，得出了二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)，滲透了由特殊到一般的思想本節(jié)課在探究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的過(guò)程中，本著知識(shí)問(wèn)題化，問(wèn)題活動(dòng)化的原則，教師先提出問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主探究，合作交流得出結(jié)論，并通過(guò)小組討論和展示評(píng)價(jià)的方式修正完善結(jié)論，提高了學(xué)生